线段最值问题

【通过做对称求出最小值】 1、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点， 点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的 最小值为          cm． 2、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________ 3、已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，E为AD中点，AB＝6㎝， P为AC上任一点.求PE+PD的最小值是        . 【变式】在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边 AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是           . 【模拟练习】 1、如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是                ．    第1题 2、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，则△AMN的最小周长为__________ 第2题 3、如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为__________ 4、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　  　） A．25°      B．30°    C．35°      D．40° 5、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为　                　． 6、如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为___________ 7、如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为　        　． 8、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________ 9、如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是                    ．    【通过三角形三边关系或圆求最值】 1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为_________ 2、如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为_______ 3、如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为            ． 4、如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC =4，CD= ，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是__________． 5、如图，在矩形 中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB’F，连接B’D，则B’D的最小值是____________                            6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB= 5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是　  　． 【通过点到直线距离，垂线段最短求最小值】 1、已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为___________ 2、如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（    ） A．8          B．12              C．             D． 3、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（－4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（      ） A.                B.    3            C.                D. 4、如图，在△ABC中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，经过点C且与AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是     (      ) A．     B．4.75    C．4.8    D．5 【将图形展开后求线段最短】 1、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___________cm 【高中基本不等式】 1、张华在 一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子 （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，矩形的周长是2（ ）；当矩形成为正方形时，就有x= （x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（ ）=4最小，因此 （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 （x＞0）的最小值是___________ 【其它】 1、如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径的最小值是（      ） A.       B. 2        C.     D. 2、如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为____________ 3、如图，AB=10，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ACP和等边△CBQ，连结PQ，则PQ的最小值是（） A．    5    B．    6    C．    3    D．    4 4、如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为． 5、如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（    ） A．             B．             C．                 D． 6、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，若直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为_______． 7、在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是（      ） A．1    B．    3    C．        D．    2 8、如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（） A．2    B．    1    C．        D．    9、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为． 第7题                      第8题                      第9题 【构造三角形】 1、如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经      小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.) 2、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP＋BP＋PD的最小值为    3、问题情境： 如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离． 探究： 请您结合图2给予证明； 归纳： 圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离． 图中有圆，直接运用： 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ． 图中无圆，构造运用： 如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值． 解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA'=MD，故点A'在以AD为直径的圆上．如图8，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H，（请继续完成下列解题过程） 迁移拓展，深化运用： 如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ． 2、如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15． 继续阅读