2019-2020学年高中数学第三章导数应用2.2最大值最小值问题教学案北师大版选修2
1．问题：如何确定你班哪位同学最高？
提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题1：试说明y＝f(x)的极值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？
提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．
问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．
提示：在极值点或端点中．
1．最值点
(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．
(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．
2．最值
函数的最大值与最小值统称为最值．
(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上有最大值与最小值．
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．
(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．
求函数的最值
[例1] (1)求函数f(x)＝x3－
(2)求函数f(x)＝
[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值．
[精解详析] (1)因为f(x)＝x3－
所以f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－
因为f
所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.
(2)因为f(x)＝
所以f′(x)＝
令f′(x)＝0，解得x1＝
因为f(0)＝0，f
所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.
[一点通] 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数的导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的全部实根x0；
(3)将f(x0)的各个值与f(a)，f(b)进行比较，确定f(x)的最大值与最小值．
1．函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1,1]上的最大值为________．
解析：因为f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3>0，
∴函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增，
∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值f(1)＝－6.
答案：－6
2．求函数f(x)＝sin 2x－x在
解：f′(x)＝2cos 2x－1.
令f′(x)＝0，x∈
解得x＝－
而f
f
所以函数f(x)的最大值为
3．已知函数f(x)＝
解：当a＝
f′(x)＝
令f′(x)＝0，得x＝2.
当x∈[1,2)时，f′(x)<0，故f(x)在[1,2)上是减少的；当x∈(2，e]时，f′(x)>0，故f(x)在(2，e]上是增加的．∴f(x)在区间(1，e]上有唯一的极小值点，故f(x)min＝f(x)极小值＝f(2)＝ln 2－1.
∵f(1)＝0，f(e)＝
∴f(x)在区间[1，e]上的最大值为0.
已知函数的最值求参数的值
[例2] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[思路点拨] 利用导数求出f(x)的最值(用a，b
表
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示)，列方程求a，b的值．
[精解详析] 显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
最大值
－16a＋b
∴当x＝0时，f(x)取得最大值．∴b＝3.
又∵f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，即a＝2.
②当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－7a＋b
最小值
－16a＋b
∴当x＝0时，f(x)取得最小值．
∴b＝－29.
又∵f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)，∴当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，即a＝－2.
综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
[一点通] 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．
4．如果函数f(x)＝x3－
解析：f′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
当－1
0，则f(x)为增函数；
当00.求a的值．
解：f(x)的定义域为(－a，＋∞)．
f′(x)＝1－
由f′(x)＝0，解得x＝1－a>－a.
当－a1－a时，f′(x)>0，f(x)在(1－a，＋∞)上是增加的．
因此f(x)在x＝1－a处取得最小值，
由题意知f(1－a)＝1－a＝0，故a＝1.
6．设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为
解：函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝
(1)当a＝1时，f′(x)＝
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝
即f(x)在(0,1]上单调递增．
故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝
生活中的优化问题
[例3] 某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[精解详析] (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，
又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
令f′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12.
当x变化时，f′(x)，f(x)如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9 072
极小值
极大值
0
因为f(0)＝9 0720)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为( )
A.
C.
解析：设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0
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