平面向量题型归纳总结

平面向量 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型归纳总结平面向量题型归纳一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：或。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么（向量可以平移）。例：已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。(与共线的单位向量是)；5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；如图，在平行四边形中，下列结论中正确的是（  ）A.      B.C.   D.7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－、。例：下列命题：（1）若，则。（2）若，则。（6）若，则。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。其中正确的是_______题型1、基本概念1：给出下列命题：若||＝||，则=；向量可以比较大小；方向不相同的两个向量一定不平行；④若=，=，则=；⑤若角形法则：；；（指向被减数）9.平行四边形法则：以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。题型2.向量的加减运算1、化简。2、已知,,则的最大值和最小值分别为、。3、在平行四边形中，若，则必有 (   )A.   B.  C.是矩形  D.是正方形题型3.向量的数乘运算1、计算：（1）    （2）题型4.作图法求向量的和1、已知向量，如下图，请做出向量和。题型5.根据图形由已知向量求未知向量1、已知在中，是的中点，请用向量表示。2、在平行四边形中，已知，求。题型6.向量的坐标运算1、已知，则。练习：若物体受三个力,,,则合力的坐标为。2、已知，，则点的坐标是。3、.已知，，求，，。2、已知,向量与相等，求的值。5、已知是坐标原点，，且，求的坐标。3．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1、已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A. B. C. D.练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）(A)  (B)(C)  (D)2、.已知，能与构成基底的是（  ）A. B. C. D.3、知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x－y的值等于4、设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为    （  ）A．3x+2y-11=0  B．(x-1)2+(y-2)2=5  C．2x-y=0  D．x+2y-5=0四．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。例1、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____例2、已知中，点在边上，且，，则的值是2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3．向量的运算律：1．交换律：，，；2．结合律：，；3．分配律：，。题型8：有关向量数量积的判断1：判断下列各命题正确与否：（1）；（2）若，则当且仅当时成立；（3）；（4）对任意向量都成立；（5）若，则；（6）对任意向量，有。(7)m（）=m+m 其中正确的序号是。2、下列命题中：①；②；③；④若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______题型9、求单位向量     【与平行的单位向量：】1.与平行的单位向量是。2.与平行的单位向量是题型10、数量积与夹角公式：； 向量的模：若，则，，1、△ABC中，，，，则_________2、已知，与的夹角为，则等于____3、已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）。4、已知是两个非零向量，且，则的夹角为____5、已知，求与的夹角。6、已知，，，求。7、已知非零向量满足，则的夹角为8：已知中,,则与的夹角为9：已知向量与向量的夹角为120°，若向量=+，且⊥，则的值为10：★已知||＝1||＝2，|＋|＝2，则与2-的夹角余弦值为．11：已知向量｜｜=，｜｜=2，和的夹角为，当向量+与+的夹角为锐角时，求的取值范围。题型11、求向量的模的问题如向量的模：若，则，，1、已知零向量2、已知向量满足3、已知向量，4、已知向量的最大值为5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，(A)8      (B) 4     (C)2     (D)1 6、设向量，满足及，求的值练习：已知向量满足求7、设向量，满足8、已知向量、满足，，则|－|的最大值是最小值是。题型12、结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。2.已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标。五、平行与垂直 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ：；题型13：向量共线问题1、已知平面向量，平面向量若∥，则实数2、设向量若向量与向量共线，则3、已知向量若平行，则实数的值是（  ）A．-2  B．0  C．1  D．2练习：设，则k＝_____时，A,B,C共线5、已知不共线，，如果∥，那么k=,与的方向关系是练习：已知，，，且，则x＝______6、已知向量∥，则题型14、向量的垂直问题1、已知向量，则实数的值为2、已知向量练习：已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值3、已知单位向量4、练习：∥，5、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________题型15、在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。1、已知，，且，则向量在向量上的投影为______2、已知，是单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影为。练习：已知，的夹角，则向量在向量上的投影为题型16、三点共线问题1.已知，，，求证：三点共线。2.设，求证：三点共线。练习：已知，则一定共线的三点是。3.已知，，若点在直线上，求的值。4.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立5：是平面内不共线两向量，已知，若 三点共线，则=6：★设O是直线外一定点，A、B、C在直线上，且,则=7：设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t=时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上。8：如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为__________________．9:在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使||∶||＝1∶3，||∶||＝1∶4，设线段AN与BM交于点P，记＝a，＝b，用a，b表示向量.练习：如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.(1)用a、b表示；(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.六、线段的定比分点：1．定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；2．的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PP上时>0；当P点在线段PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；例1、若点分所成的比为，则分所成的比为_______3．线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式。题型17、定比分点2、若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______3、已知，直线与线段交于，且，则等于七、平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系（2）向量平移具有坐标不变性，题型18、平移1、按向量把平移到，则按向量把点平移到点______2、函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________八、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，①若，则其重心的坐标为。如1、若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______②为的重心，特别地为的重心；③为的垂心；④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；⑤的内心；（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如2、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______题型19、判断多边形的形状1.若，，且,则四边形的形状是。2.已知，，，，证明四边形是梯形。3.已知，，，求证：是直角三角形。4、在△ABC中，若，则△的形状为       （）A．等腰三角形  B．等边三角形  C．等腰直角三角形 D．直角三角形5、在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。6、平面四边形中，，，，，且，判断四边形的形状．题型20：三角形四心1、已知的三个顶点A、B、C及所在平面内的一点P，若则点P是ABC的                          （ ）A．重心    B．垂心  C．内心  D．外心2.已知点是三角形所在平面上一点，若,则是三角形的（  ）（A）内心     （B）外心     （C）重心       （D）垂心3、已知点是三角形所在平面上一点，若，则是三角形的（  ）（A）内心     （B）外心      （C）重心       （D）垂心练习、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（ ）（A）重心外心垂心 （B）重心外心内心 （C）外心重心垂心 （D）外心重心内心4、★在平面内有ABC和点O，若，则点O是ABC的 A．重心   B．垂心  C．内心  D．外心           5、已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（  ）（A）内心     （B）外心    （C）重心       （D）垂心6、已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（  ）（A）内心     （B）外心      （C）重心      （D）垂心7、已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（  ）（A）内心     （B）外心    （C）重心       （D）垂心8、已知平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（  ）（A）内心     （B）外心      （C）重心       （D）垂心题型21.平面向量与三角函数结合题1、已知向量，，设函数⑴求函数的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值．练习：已知向且（1）求函数的解析式；（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出相应的的值练习2、.已知向量,，且⑴求的值（2）求函数的值域2、已知，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为、、。(I)若，求角的值；(II)当时，求的值。5、已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足=+.(1)求证:A,B,C三点共线;(2)求的值;(3)已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx),x∈,f(x)=·-||的最小值为-,求实数m的值.