考研数学历年真题赛尔水木0303数2

2003年全国硕士研究生入学统一考试理工 数学二试题详解及评析 1、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） 若 时， 与 是等价无穷小，则a= . 【答】 -4 【详解】 当 时， ， . 于是，根据题设有 ， 故 a=-4. （2） 设函数y=f(x)由方程 所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 . 【答】 x-y=0 【详解】 等式 两边直接对x求导，得 ， 将x=1,y=1代入上式，有 故过点(1,1)处的切线方程为 ，即 （3） 的麦克劳林公式中 项的系数是______. 【答】 【详解】 因为 ， ， ， 于是有 ， 故麦克劳林公式中 项的系数是 （4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于 从0变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 ______. 【答】 【详解】 所求面积为 = EMBED Equation.3 . （5） 设 为3维列向量， 是 的转置. 若 ，则 = . 【答】 3 【详解】 方法一： 由 = ， 知 ， 于是 方法二： 设 则 ， 由题设 所以 （6） 设三阶方阵A,B满足 ，其中E为三阶单位矩阵，若 ，则 ______ . 【答】 【详解】 由 知， ，即 ， 易知矩阵A+E可逆，于是有 再两边取行列式，得 ， 因为 , 所以 . 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 均为非负数列，且 , , ,则必有 (A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立. (C) 极限 不存在. (D) 极限 不存在. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 用举反例法，取 ， ， ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D). （2）设 , 则极限 等于 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 因为 = = ， 可见 = （3）已知 是微分方程 的解，则 的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式为 （A） (B) (C) (D) 【 】 【答】 应选（A） 【详解】方法一： 将 代入微分方程 ，得 ，即 . 令 lnx=u，有 ，故 = 应选(A). 方法二： 令 ， 即有 从而 而 为解，得 两边求导，得 （4）设函数f(x)在 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. 【 】 【答】 应选（C） y O x 【详解】 方法一： 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 方法二： 设 的的根从左至右为 ，导数不存在的点为0，以上述点将 分为若干个区间列表如下： 0 + 0 － 0 + － 0 + 极大值 极小值 极大值 极小值 （5）设 , , 则 (A) (B) (C) (D) 【 】 【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x，于是 ， ， 从而有 ， ， 可见有 且 ，可排除(A),(C),(D)， 故应选(B). （6）设向量组I： 可由向量组II： 线性表示，则 (A) 当 时，向量组II必线性相关. (B) 当 时，向量组II必线性相关. (C) 当 时，向量组I必线性相关. (D) 当 时，向量组I必线性相关. [ D ] 【详解】 用排除法：如 ，则 ，但 线性无关，排除(A)； ，则 可由 线性表示，但 线性无关，排除(B)； ， 可由 线性表示，但 线性无关，排除(C). 故正确选项为(D). 三 、（本题满分10分） 设函数 问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？ 【详解】 = = = 令 ，有 ，得 或 . 当a=-1时， ，即f(x)在x=0处连续. 当a=-2时， ，因而x=0是f(x)的可去间断点. 四 、（本题满分9分） 设函数y=y(x)由参数方程 所确定，求 【详解】由 ， ， 得 所以 = = 当x=9时，由 及t>1得t=2, 故 五 、（本题满分9分） 计算不定积分 【详解】 方法一： 设 ，则 = = 又 = = ， 故 因此 = = 方法二： 本题也可用分布积分法： = = = = ， 移项整理得 = 六 、（本题满分12分） 设函数y=y(x)在 内具有二阶导数，且 是y=y(x)的反函数. (1) 试将x=x(y)所满足的微分方程 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解. 【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 ，于是有 = = . 代入原微分方程得 ( * ) (2) 方程( * )所对应的齐次方程 的通解为 设方程( * )的特解为 ， 代入方程( * )，求得 ，故 ，从而 的通解是 由 ，得 . 故所求初值问题的解为 七 、（本题满分12分） 讨论曲线 与 的交点个数. 【详解】 设 EMBED Equation.3 ， y 则有 4-k 不难看出，x=1是 的驻点. O 1 x 当 时， ，即 单调减少；当x>1时， ，即 单调增加，故 为函数 的最小值. 当k<4，即4-k>0时， 无实根，即两条曲线无交点； 当 k=4，即4-k=0时， 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k>4，即4-k<0时，由于 ； ， 故 有两个实根，分别位于(0,1)与 内，即两条曲线有两个交点. 方法二： 问题等价于讨论方程 的实根个数. 设 则 令 又 从而 当k<4，即4-k>0时，方程 无实根，即两条曲线无交点； 当 k=4，即4-k=0时，方程 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k>4，即4-k<0时，由于 ； 所以方程 有两个实根分别位于（0，1）和 内，即两曲线有两个交点. 八 、（本题满分12分） 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点 ，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程； (2) 已知曲线y=sinx在 上的弧长为 ，试用 表示曲线y=f(x)的弧长s. 【详解】 (1) 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为 ， 其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. 令X=0，则 ， 故Q点的坐标为 由题设知 ，即 积分得 (C为任意常数). 由 知C=1，故曲线y=f(x)的方程为 (2) 曲线y=sinx在[0， ]上的弧长为 曲线y=f(x)的参数方程为 故 ， 令 ，则 = 九 、（本题满分10分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以 的速率向容器内注入液体时， 液面的面积将以 的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）. (1) 根据t时刻液面的面积，写出t与 之间的关系式； (2) 求曲线 的方程. (注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.) 【详解】 方法一： (1) 设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知： 此时液面的面积为 , 从而 (2) 液面的高度为y时，液体的体积为 上式两边对y求导，得 ，即 解此微分方程，得 ，其中C为任意常数， 由 知C=2, 故所求曲线方程为 方法二： （1） 在t 时刻液面面积为 由题意 的关系为： （2） 设液面高度为y，在t ~ t + d t 时间间隔为液体体积的变化为： 解此微分方程得 从而 由 又 曲线方程为 十 、（本题满分10分） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限 存在，证明： (1) 在(a,b)内f(x)>0; (2) 在(a,b)内存在点 ，使 ； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中 相异的点 ，使 【详解】 方法一： (1) 因为 存在，故 又 ，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故 (3) 设F(x)= , , 则 ， 故 满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点 ，使 ， 即 . (3) 因 ，在 上应用拉格朗日中值定理，知在 内存在一点 ，使 ，从而由(2) 的结论得 ， 即有 方法二： （1） 同证法一. （2） 设 显然F (x) 在 [a, b] 上联学，在 (a, b) 内可导，且 由罗尔定理， 即 （3） 由（1）、（2）知 由拉个朗日定理， 使得 十 一、（本题满分10分） 若矩阵 相似于对角阵 ，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使 【详解】 矩阵A的特征多项式为 = ， 故A的特征值为 由于A相似于对角矩阵 ，故对应 应有两个线性无关的特征向量，即 ，于是有 由 ， 知a=0. 于是对应于 的两个线性无关的特征向量可取为 ， 当 时， ， 解方程组 得对应于 的特征向量 令 ，则P可逆，并有 十二 、（本题满分8分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 ， ， . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 【详解】 方法一：必要性 设三条直线 交于一点，则线性方程组 (*) 有唯一解，故系数矩阵 与增广矩阵 的秩均为2，于是 由于 = , 但根据题设 ，故 充分性：由 ，则从必要性的证明可知， ，故秩 由于 = ， 故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩 =2. 因此方程组(*)有唯一解，即三直线 交于一点. 方法二：必要性 设三直线交于一点 ，则 为Ax=0的非零解，其中 于是 . 而 = , 但根据题设 ，故 充分性：考虑线性方程组 (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 (* *) 因为 =- , 故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线 交于一点. _1105464978.unknown _1105511070.unknown _1105516060.unknown _1192275936.unknown _1192278361.unknown _1192280247.unknown _1192281478.unknown _1192281770.unknown _1192282240.unknown _1192282441.unknown _1192282627.unknown _1192282823.unknown _1192282618.unknown _1192282326.unknown _1192281845.unknown _1192282103.unknown _1192281844.unknown _1192281643.unknown _1192281652.unknown _1192281551.unknown _1192280640.unknown _1192281329.unknown _1192281428.unknown _1192280672.unknown _1192280456.unknown _1192280578.unknown _1192280330.unknown _1192278503.unknown _1192280137.unknown _1192280138.unknown _1192278905.unknown _1192278428.unknown _1192278502.unknown _1192278427.unknown _1192277877.unknown _1192278213.unknown _1192278291.unknown _1192278292.unknown _1192278290.unknown _1192278074.unknown _1192278145.unknown _1192278146.unknown _1192278144.unknown _1192278143.unknown _1192278071.unknown _1192278072.unknown _1192277923.unknown _1192277181.unknown _1192277542.unknown _1192277760.unknown _1192277385.unknown _1192276721.unknown _1192276722.unknown _1192277089.unknown _1192275998.unknown _1105519527.unknown _1105534252.unknown _1105536103.unknown _1105536712.unknown _1105536895.unknown _1105537046.unknown _1192275840.unknown _1192275841.unknown _1105537099.unknown _1105537138.unknown _1105537064.unknown _1105536938.unknown _1105537006.unknown _1105536920.unknown _1105536760.unknown _1105536874.unknown _1105536742.unknown _1105536551.unknown _1105536654.unknown _1105536672.unknown _1105536592.unknown _1105536207.unknown _1105536469.unknown _1105536158.unknown _1105535004.unknown _1105535371.unknown _1105535457.unknown _1105535476.unknown _1105535456.unknown _1105535223.unknown _1105535283.unknown _1105535011.unknown _1105534830.unknown _1105534881.unknown _1105534928.unknown _1105535003.unknown _1105534872.unknown _1105534739.unknown _1105534795.unknown _1105534261.unknown _1105528277.unknown _1105528861.unknown _1105534088.unknown _1105534251.unknown _1105534118.unknown _1105529055.unknown _1105533552.unknown _1105533575.unknown _1105529017.unknown _1105528779.unknown _1105528817.unknown _1105528749.unknown _1105527220.unknown _1105527373.unknown _1105528237.unknown _1105527337.unknown _1105526939.unknown _1105527089.unknown _1105519528.unknown _1105518836.unknown _1105519093.unknown _1105519261.unknown _1105519310.unknown _1105519141.unknown _1105518977.unknown _1105519085.unknown _1105518903.unknown _1105518685.unknown _1105518776.unknown _1105518797.unknown _1105518738.unknown _1105518571.unknown _1105518645.unknown _1105516079.unknown _1105514260.unknown _1105514734.unknown _1105514815.unknown _1105515880.unknown _1105516024.unknown _1105515428.unknown _1105515253.unknown _1105515328.unknown _1105515082.unknown _1105514773.unknown _1105514796.unknown _1105514759.unknown _1105514620.unknown _1105514703.unknown _1105514716.unknown _1105514679.unknown _1105514584.unknown _1105514601.unknown _1105514274.unknown _1105513073.unknown _1105513414.unknown _1105513541.unknown _1105513765.unknown _1105513476.unknown _1105513273.unknown _1105513377.unknown _1105513223.unknown _1105513215.unknown _1105513222.unknown _1105513114.unknown _1105511595.unknown _1105511657.unknown _1105513027.unknown _1105511607.unknown _1105511349.unknown _1105511574.unknown _1105511142.unknown _1105473515.unknown _1105475112.unknown _1105475709.unknown _1105510173.unknown _1105510352.unknown _1105511054.unknown _1105510300.unknown _1105510091.unknown _1105510151.unknown _1105475797.unknown _1105475337.unknown _1105475378.unknown _1105475438.unknown _1105475346.unknown _1105475300.unknown _1105475319.unknown _1105475189.unknown _1105474145.unknown _1105474552.unknown _1105474973.unknown _1105475063.unknown _1105474860.unknown _1105474246.unknown _1105474298.unknown _1105474183.unknown _1105473666.unknown _1105474093.unknown _1105474112.unknown _1105473689.unknown _1105473607.unknown _1105473647.unknown _1105473551.unknown _1105469143.unknown _1105470549.unknown _1105470834.unknown _1105470956.unknown _1105471002.unknown _1105470918.unknown _1105470599.unknown _1105470633.unknown _1105470577.unknown _1105470268.unknown _1105470478.unknown _1105470514.unknown _1105470456.unknown _1105470006.unknown _1105470075.unknown _1105469178.unknown _1105468355.unknown _1105469058.unknown _1105469097.unknown _1105468479.unknown _1105468958.unknown _1105469023.unknown _1105468480.unknown _1105468462.unknown _1105468085.unknown _1105468129.unknown _1105468318.unknown _1105468118.unknown _1105467390.unknown _1105467636.unknown _1105468043.unknown _1105467361.unknown _1105430582.unknown _1105447667.unknown _1105448324.unknown _1105464837.unknown _1105464886.unknown _1105464924.unknown _1105464870.unknown _1105448766.unknown _1105448899.unknown _1105448382.unknown _1105447965.unknown _1105448256.unknown _1105448305.unknown _1105448018.unknown _1105447911.unknown _1105447927.unknown _1105447820.unknown _1105447275.unknown _1105447597.unknown _1105447643.unknown _1105447366.unknown _1105447387.unknown _1105447332.unknown _1105446806.unknown _1105446865.unknown _1105447053.unknown _1105446831.unknown _1105431041.unknown _1105446273.unknown _1105446308.unknown _1105431361.unknown _1105431869.unknown _1105446252.unknown _1105431886.unknown _1105431482.unknown 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