综合测评复习题高等数学（工专）Paper2

高等数学（工专）--综合测评 题目 一 二 三 四 五 六 七 分数 得分 一、单选题 （每题4分，共100分） 1．函数$y=10^(x-1)-2$的反函数是（） A．$y=lg(x+2)+1$ B．$y=10^(x-1)-2$ C．$y=lg(x+2)$ D．$y=10^(x-1)$ 2．设$f(x)={(x , x in[0,1)),(sinx , x in[1,2]):}$，那么$g(x)=f(x-1)+1$的定义域为（） A．$[0,1)$ B．$[1,2]$ C．$[1,3]$ D．$[0,2]$ 3．$sum_(n=1)^oo((ln3)/(2))^(n)=$（） A．$(ln3)/(ln3-2)$ B．$(ln3)/(2-ln3)$ C．$(1)/(2-ln3)$ D．$((ln3)^(n))/(2-ln3)$ 4．在区间$(-1,0)$内，下列函数中单调增加的是（） A．$y=-4x+1$ B．$y=5x-3$ C．$y=x^(2)+1$ D．$y=|x|+2$ 5．设${(x=3e^(-t)),(y=2e^(t)):}$，则$(dy)/(dx)=$（） A．$2/3e^(2t)$ B．$2/3e^(-2t)$ C．$-x/y$ D．$-y/x$ 6．曲线$y=cosx$上点$(pi/3,1/2)$处的法线的斜率等于（） A．$sqrt3$ B．$sqrt3/3$ C．$2/3sqrt3$ D．$2/3$ 7．不定积分$int(cosx-sinx)^2dx$=（） A．$x+1/2cos2x$ B．$x+1/2cos2x+C$ C．$x+1/2sin2x+C$ D．$x+2cos(1/2x)+C$ 8．求定积分$int_(pi/4)^(pi/3)x/(sin^(2)x)dx=$（） A．$1/2ln(3/2)+(9-4sqrt(3))/36pi$ B．$1/2ln(3/2)$ C．$(9-4sqrt(3))/36pi$ D．$1/2ln(3/2)+(9+4sqrt(3))/36pi$ 9．定积分$int_0^pisqrt(sin^3x-sin^5x)dx$=（） A．$4/5$ B．$2/5$ C．$1/5$ D．$5/4$ 10．在下列矩阵中，可逆的矩阵是（） A．$[(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]$ B．$[(1,0,0),(1,1,1),(1,0,1)]$ C．$[(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)]$ D．$[(1,1,0),(2,2,1),(0,0,1)]$ 11．当$lambda$=（）时，线性方程组${(lambdax+y+z=0),(x+2y=0),(x-y+z=0):}$有非零解。 A．0 B．1 C．2 D．3 12．设矩阵$A=[(1,2),(4,3)]$ ，$B=[(x,1),(2,y)]$ ，若$AB=BA$，则$x$与$y$之间具有关系（） A．$2x=y$ B．$y=x+1$ C．$y=x+2$ D．$y=x-1$ 13．线性方程组${(x_(1)+2x_(2)=1),(-3x_(1)+lambdax_(2)=2):}$ 无解，则（） A．$lambda!=-6$ B．$lambda=-6$ C．$lambda=6$ D．$lambda=8$ 14．下列命题中正确的是（） A．若级数$sum_(n=1)^oou_n$是收敛的，则必有$lim_(n->oo)u_n=0$ B．若$lim_(n->oo)u_n=0$，则必有级数$sum_(n=1)^oou_n$是收敛的 C．若级数$sum_(n=1)^oou_n$是发散的，则级数$sum_(n=100)^oou_n$是收敛的 D．若级数$sum_(n=1)^oou_n$是收敛的，$v_n=u_n+1(n=1,2,…)$，则级数$sum_(n=1)^oov_n$是收敛的 15．若$f(1/x)=((x+1)/x)^2$，则$f(x)=$（） A．$(x/(x+1))^2$ B．$((x+1)/x)^2$ C．$(1+x)^2$ D．$(1-x)^2$ 16．$f(x)={(e^x(sinx+2cos^2x-1),x<=0),(2x+a,x>0):}$在$(-oo,+oo)$内连续，则a=（） A．2 B．0 C．1 D．-1 17．下列函数曲线中，在$(-oo,+oo)$内是凸的曲线为（） A．$y=2x^2+e^x$ B．$y=(1-x)^4$ C．$y=x^3-3x^2-9x+9$ D．$y=4x-x^2$ 18．$f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-99)$，则$f’(0)$=（） A．$99!$ B．$-99!$ C．-99 D．99 19．设曲线$y=x^2+x-1$在点M的切线的斜率为3，则点M的坐标为（） A．(1,1) B．(0,1) C．(1,0) D．(0,-1) 20．设函数$f(x)=int_0^x2(t-1)dt$，则f(x)有（） A．极小值-1 B．极小值1 C．极大值1 D．极大值-1 21．设$intf(x)dx=e^(-2x+1)+C$，则$intf(2x+1)dx$=（） A．$1/2e^(-4x-1)+C$ B．$-e^(-2x+1)+C$ C．$e^(-2x+1)+C$ D．$1/2e^(-4x+3)+C$ 22．下列反常积分收敛的是（） A．$int_0^(+oo)2^xdx$ B．$int_0^(+oo)e^xdx$ C．$int_0^(+oo)xdx$ D．$int_0^(+oo)1/(1+x^2)dx$ 23．设3阶行列式$D=|(a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|$，下列运算中错误的是（） A．$2D=|(2a_11,2a_12,2a_13),(2a_21,2a_22,2a_23),(2a_31,2a_32,2a_33)|$ B．$2D=|(2a_11,2a_12,2a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|$ C．$D=D^’=|(a_11,a_21,a_31),(a_12,a_22,a_32),(a_13,a_23,a_33)|$ D．$D=|(0,0,0),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|+|(a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|$ 24．设有矩阵方程$AX=B$，其中A为2阶可逆矩阵，则X=（） A．$B/A$ B．$B/|A|$ C．$A^-1B$ D．$BA^-1$ 25．设线性方程组${(x_1+x_2+x_3=4,),(x_1+bx_2+x_3=3,),(x_1+2bx_2+x_3=4,):}$有无穷多个解，则（） A．$b!=1/2$ B．$b=1/2$ C．$b=1$ D．$b=0$ 试卷答案 一、单选题 1．函数$y=10^(x-1)-2$的反函数是（） A．$y=lg(x+2)+1$ B．$y=10^(x-1)-2$ C．$y=lg(x+2)$ D．$y=10^(x-1)$ 答案： A 答案要点： $y=10^(x-1)-2$ $10^(x-1)=y+2$ $x-1=lg(y+2)$ $x=lg(y+2)+1$ $y=lg(x+2)+1$ 2．设$f(x)={(x , x in[0,1)),(sinx , x in[1,2]):}$，那么$g(x)=f(x-1)+1$的定义域为（） A．$[0,1)$ B．$[1,2]$ C．$[1,3]$ D．$[0,2]$ 答案： C 答案要点： 由原题知 $f(x)$的定义域为$[0,2]$，则$x-1in[0,2]$即$0<=x-1<=2$，则$1<=x<=3$，那么$g(x)=f(x-1)+1$的定义域为$[1,3]$ 3．$sum_(n=1)^oo((ln3)/(2))^(n)=$（） A．$(ln3)/(ln3-2)$ B．$(ln3)/(2-ln3)$ C．$(1)/(2-ln3)$ D．$((ln3)^(n))/(2-ln3)$ 答案： B 答案要点： 因为，级数$sum_(n=1)^(oo)((ln3)/2)^(n)$是等比级数，且$|(ln3)/2|<1$ 所以，$sum_(n=1)^(oo)((ln3)/2)^(n)=((ln3)/2)/(1-(ln3)/2)=(ln3)/(2-ln3)$ 所以选B。 4．在区间$(-1,0)$内，下列函数中单调增加的是（） A．$y=-4x+1$ B．$y=5x-3$ C．$y=x^(2)+1$ D．$y=|x|+2$ 答案： B 答案要点： 因为，在区间$(-1,0)$内$y^(’)=5>0$ 所以，$y=5x-3$在区间$(-1,0)$内单调增加 5．设${(x=3e^(-t)),(y=2e^(t)):}$，则$(dy)/(dx)=$（） A．$2/3e^(2t)$ B．$2/3e^(-2t)$ C．$-x/y$ D．$-y/x$ 答案： D 答案要点： $(dy)/(dx)=((dy)/(dt))/((dx)/(dt))=(2e^(t))/(-3e^(-t))=-y/x$ 6．曲线$y=cosx$上点$(pi/3,1/2)$处的法线的斜率等于（） A．$sqrt3$ B．$sqrt3/3$ C．$2/3sqrt3$ D．$2/3$ 答案： c 答案要点： 曲线的法线斜率$=-1/(y’)|_(x=pi/3)$$=1/sinx|_(x=pi/3)=2/3sqrt3$ 7．不定积分$int(cosx-sinx)^2dx$=（） A．$x+1/2cos2x$ B．$x+1/2cos2x+C$ C．$x+1/2sin2x+C$ D．$x+2cos(1/2x)+C$ 答案： b 答案要点： $int(cosx-sinx)^2dx=int(cos^2x+sin^2x-2sinxcosx)dx=int(1-sin2x)dx$ $=x+1/2cos2x+C$ 8．求定积分$int_(pi/4)^(pi/3)x/(sin^(2)x)dx=$（） A．$1/2ln(3/2)+(9-4sqrt(3))/36pi$ B．$1/2ln(3/2)$ C．$(9-4sqrt(3))/36pi$ D．$1/2ln(3/2)+(9+4sqrt(3))/36pi$ 答案： A 答案要点： $int_(pi/4)^(pi/3)x/(sin^(2)x)dx=int_(pi/4)^(pi/3)xcsc^(2)xdx=-int_(pi/4)^(pi/3)xdcotx$ $=int_(pi/4)^(pi/3)cotxdx-xcotx|_(pi/4)^(pi/3)$ $=ln|sinx||_(pi/4)^(pi/3)-(pi/3cot(pi/3)-pi/4cot(pi/4))$ $=ln|sin(pi/3)|-ln|sin(pi/4)|-(pi/3sqrt(3)/3-pi/4)$ $=ln(sqrt(3)/2)*2/sqrt(2)-sqrt(3)/9pi+pi/4$ $=1/2ln(3/2)+(1/4-sqrt(3)/9)pi$ $=1/2ln(3/2)+(9-4sqrt(3))/36pi$ 9．定积分$int_0^pisqrt(sin^3x-sin^5x)dx$=（） A．$4/5$ B．$2/5$ C．$1/5$ D．$5/4$ 答案： a 答案要点： $int_0^pisqrt(sin^3x-sin^5x)dx=int_0^pisqrt(sin^3x(1-sin^2x))dx= int_0^pisqrt(sin^3xcos^2x)dx$ $=int_0^(pi/2)sin^(3/2)xcosxdx$$-int_(pi/2)^pisin^(3/2)xcosxdx=$$int_0^(pi/2)sin^(3/2)x dsinx-$$int_(pi/2)^pisin^(3/2)xdsinx$ $=2/5sin^(5/2)x|_0^(pi/2)-$$2/5sin^(5/2)x|_(pi/2)^pi$$=2/5-(-2/5)=4/5$ 10．在下列矩阵中，可逆的矩阵是（） A．$[(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]$ B．$[(1,0,0),(1,1,1),(1,0,1)]$ C．$[(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)]$ D．$[(1,1,0),(2,2,1),(0,0,1)]$ 答案： B 答案要点： 因为$|(1,0,0),(1,1,1),(1,0,1)|=1!=0$ 所以$[(1,0,0),(1,1,1),(1,0,1)]$可逆. 11．当$lambda$=（）时，线性方程组${(lambdax+y+z=0),(x+2y=0),(x-y+z=0):}$有非零解。 A．0 B．1 C．2 D．3 答案： c 答案要点： 若所给齐次方程组有非零解，则其系数行列式$D=0$ 而$|(lambda,1,1),(1,2,0),(1,-1,1)|=$$|(lambda-1,2,0),(1,2,0),(1,-1,1)|=2lambda-4$ 由$D=0$，得$lambda=2$ 12．设矩阵$A=[(1,2),(4,3)]$ ，$B=[(x,1),(2,y)]$ ，若$AB=BA$，则$x$与$y$之间具有关系（） A．$2x=y$ B．$y=x+1$ C．$y=x+2$ D．$y=x-1$ 答案： B 答案要点： 因为$AB=[(1,2),(4,3)][(x,1),(2,y)]=[(x+4,1+2y),(4x+6,4+3y)]$ $BA =[(x,1),(2,y)][(1,2),(4,3)]=[(x+4,2x+3),(2+4y,4+3y)]$ $AB=BA$ 所以${(1+2y=2x+3),(4x+6=2+4y):}$，则$y=x+1$. 13．线性方程组${(x_(1)+2x_(2)=1),(-3x_(1)+lambdax_(2)=2):}$ 无解，则（） A．$lambda!=-6$ B．$lambda=-6$ C．$lambda=6$ D．$lambda=8$ 答案： B 答案要点： $[(1,2,1),(-3,lambda,2)]->[(1,2,1),(0,lambda+6,5)]$ 当$lambda=-6$时，以上矩阵最后一行相当于方程组中的方程$0=5$ 对任何$x_(1),x_(2)$该方程均不成立，从而原方程组无解。 14．下列命题中正确的是（） A．若级数$sum_(n=1)^oou_n$是收敛的，则必有$lim_(n->oo)u_n=0$ B．若$lim_(n->oo)u_n=0$，则必有级数$sum_(n=1)^oou_n$是收敛的 C．若级数$sum_(n=1)^oou_n$是发散的，则级数$sum_(n=100)^oou_n$是收敛的 D．若级数$sum_(n=1)^oou_n$是收敛的，$v_n=u_n+1(n=1,2,…)$，则级数$sum_(n=1)^oov_n$是收敛的 答案： a 答案要点： 因为$lim_(n->oo)u_n=0$是级数$sum_(n=1)^oou_n$收敛的必要条件，所以A正确；$lim_(n->oo)u_n=0$不是级数$sum_(n=1)^oou_n$收敛的充分条件，例如调和级数$sum_(n=1)^oo(1/n)$满足$lim_(n->oo)u_n=0$，但它是发散的，所以B错误；根据收敛级数的性质：在级数中去掉、添加或改变有限项，不会改变级数的敛散性，所以$sum_(n=1)^oou_n$与$sum_(n=100)^oou_n$应具有相同的敛散性，故C错误；因为级数$sum_(n=1)^oou_n$收敛知$lim_(n->oo)u_n=0$，从而$lim_(n->oo)v_n=lim_(n->oo)(u_n+1)=1!=0$，所以$sum_(n=1)^oov_n$发散，故D错误。 15．若$f(1/x)=((x+1)/x)^2$，则$f(x)=$（） A．$(x/(x+1))^2$ B．$((x+1)/x)^2$ C．$(1+x)^2$ D．$(1-x)^2$ 答案： c 答案要点： $f(1/x)=((x+1)/x)^2=(1+(1/x))^2$,在上式中用$x$替换$1/x$，即得$f(x)=(1+x)^2$. 16．$f(x)={(e^x(sinx+2cos^2x-1),x<=0),(2x+a,x>0):}$在$(-oo,+oo)$内连续，则a=（） A．2 B．0 C．1 D．-1 答案： c 答案要点： 因为函数$f(x)$在$(-oo,+oo)$内连续，所以在x=0处连续，由连续定义，应有$lim_(x->0^-)f(x)=lim_(x->0^+)f(x)=f(0)$，由此得a=1. 17．下列函数曲线中，在$(-oo,+oo)$内是凸的曲线为（） A．$y=2x^2+e^x$ B．$y=(1-x)^4$ C．$y=x^3-3x^2-9x+9$ D．$y=4x-x^2$ 答案： d 答案要点： 只需考察函数在$(-oo,+oo)$内二阶导数的符号即可． 选项A：$y^’=4x+e^x,y^’’=4+e^x>0$，不是凸曲线。 选项B：$y^’=-4(1-x)^3,y^’’=12(1-x)^2>=0$，不是凸曲线。 选项C：$y^’=3x^2-6x-9,y^’’=6x-6=6(x-1)$，显然，$x<1$时，二阶导数符号为负， $x>1$时，二阶导数符号为正，故在$(-oo,+oo)$内也不是凸曲线。 选项D:$y^’=4-2x,y^’’=-2<0$，是凸曲线。 18．$f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-99)$，则$f’(0)$=（） A．$99!$ B．$-99!$ C．-99 D．99 答案： b 答案要点： 因为$f^’(x)=(x-1)(x-2)…(x-99)+x(x-2)…(x-99)+…+x(x-1)…(x-98)$，将$x=0$代入，即得$f^’(0)=(-1)(-2)…(-99)=-99!$. 19．设曲线$y=x^2+x-1$在点M的切线的斜率为3，则点M的坐标为（） A．(1,1) B．(0,1) C．(1,0) D．(0,-1) 答案： a 答案要点： $y^’=2x+1$，根据导数的几何意义，令$2x+1=3$，得点M的横坐标为$(x=1)$，代入曲线方程$y=x^2+x-1$，得点M的横坐标为$(y=1)$，所以点M的坐标为(1,1)． 20．设函数$f(x)=int_0^x2(t-1)dt$，则f(x)有（） A．极小值-1 B．极小值1 C．极大值1 D．极大值-1 答案： a 答案要点： 因为$f(x)=int_0^x2(t-1)dt=(t^2-2t)|_0^x=x^2-2x=(x-1)^2-1$，显然，函数曲线是开口向上的抛物线，顶点坐标为(1,-1)，所以极小值为-1. 21．设$intf(x)dx=e^(-2x+1)+C$，则$intf(2x+1)dx$=（） A．$1/2e^(-4x-1)+C$ B．$-e^(-2x+1)+C$ C．$e^(-2x+1)+C$ D．$1/2e^(-4x+3)+C$ 答案： a 答案要点： 用凑微分法，设$2x+1=u$，则$x=(u-1)/2,dx=1/2du$，于是$intf(2x+1)dx=1/2intf(u)du=1/2e^(-2u+1)+C$ （代回原变量）=$1/2e^(-4x-1)+C$ 22．下列反常积分收敛的是（） A．$int_0^(+oo)2^xdx$ B．$int_0^(+oo)e^xdx$ C．$int_0^(+oo)xdx$ D．$int_0^(+oo)1/(1+x^2)dx$ 答案： d 答案要点： 显然，$int_0^(+oo)1/(1+x^2)dx=arctanx|_0^(+oo)=pi/2$，收敛。其它各项反常积分的值均不存在，是发散的。 23．设3阶行列式$D=|(a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|$，下列运算中错误的是（） A．$2D=|(2a_11,2a_12,2a_13),(2a_21,2a_22,2a_23),(2a_31,2a_32,2a_33)|$ B．$2D=|(2a_11,2a_12,2a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|$ C．$D=D^’=|(a_11,a_21,a_31),(a_12,a_22,a_32),(a_13,a_23,a_33)|$ D．$D=|(0,0,0),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|+|(a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|$ 答案： a 答案要点： 根据行列式的运算性质可知，B、C、D三个选项都是正确的，而对A选项的等号右端进行运算可得$|(2a_11,2a_12,2a_13),(2a_21,2a_22,2a_23),(2a_31,2a_32,2a_33)|=2^3|(a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|=8D$所以A选项是错误的。 24．设有矩阵方程$AX=B$，其中A为2阶可逆矩阵，则X=（） A．$B/A$ B．$B/|A|$ C．$A^-1B$ D．$BA^-1$ 答案： c 答案要点： 因为A可逆，所以$A^-1$存在，在$AX=B$两端同时左乘$A^-1$，得$(A^-1A)X=A^-1B$，即$X=A^-1B$. 25．设线性方程组${(x_1+x_2+x_3=4,),(x_1+bx_2+x_3=3,),(x_1+2bx_2+x_3=4,):}$有无穷多个解，则（） A．$b!=1/2$ B．$b=1/2$ C．$b=1$ D．$b=0$ 答案： b 答案要点：