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第四章 几个初等函数的性质
一、基础知识
1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0
1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2 分数指数幂：。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当01时，y=logax为增函数。
4．对数的性质（M>0, N>0）；
1）ax=Mx=logaM(a>0, a1)；
2）loga(MN)= loga M+ loga N；
3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，
5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1).
5. 函数y=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a0. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=, i=1, 2, …, n时成立。
例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=的最小值。
2．指数和对数的运算技巧。
例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。
例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.
例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.
例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
例8 解方程组：（其中x, y∈R+）.
例9 已知a>0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
三、基础训练题
1．命题p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。
2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________.
3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________。
4．若log2a<0，则a 取值范围是_________。
5．命题p: 函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件。
6．若00且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8．若x=，则与x最接近的整数是_________。
9．函数的单调递增区间是_________。
10．函数f(x)=的值域为_________。
11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是_________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是_________.
4. 若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=_________.
5. 命题p: 函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件.
6．若00且a1，比较大小：|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|.
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.
8．若x=，则与x最接近的整数是_________.
9．函数y=的单调递增区间是_________.
10．函数f(x)=的值域为_________.
11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是 ________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是________.
4．若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=成立的a, b的取值范围是________.
5．已知an=logn(n+1)，设，其中p, q为整数，且(p ,q)=1，则p·q的值为_________.
6．已知x>10, y>10, xy=1000，则(lgx)·(lgy)的取值范围是________.
7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是________.
8．函数f(x)=的定义域为R，若关于x的方程f‑2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b, c应满足的充要条件是________.
（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则F(x)是________函数（填奇偶性）.
10．已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|<1, |b|<1，则f(a)+f(b)=________.
11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12．设f(x)=|lgx|，实数a, b满足00且a1, f(x)=loga(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n)<(n∈N+)，求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1．如果log2[log(log2x)]= log3[log(log3x)]= log5[log(log5z)]=0，那么将x, y, z从小到大排列为___________.
2．设对任意实数x0> x1> x2> x3>0，都有log1993+ log1993+ log1993> klog1993恒成立，则k的最大值为___________.
3．实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为___________.
4．已知0
表
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示不超过x的最大整数，则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________.
6．设a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，记a, b, c中的最大数为M，则M的最小值为___________.
7．若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=，则，由小到大排列为___________.
8．不等式+2>0的解集为___________.
9．已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).
10．（1）试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象。
（2）若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。
11．对于任意n∈N+(n>1)，试证明：[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、联赛二试水平训练题
1．设x, y, z∈R+且x+y+z=1，求u=的最小值。
2．当a为何值时，不等式log·log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一个解（a>1且a1）。
3．f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立，试确定所有这样的函数f(x).
4. 求所有函数f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5．设m≥14是一个整数，函数f：N→N定义如下：
f(n)=,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6．求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q.
7．是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8．设p, q是任意自然数，求证：存在这样的f(x) ∈Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x, 有
9．设α，β为实数，求所有f: R+→R，使得对任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·f成立。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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