2016-2017学年高中数学 第2讲 直线与圆的位置关系 第4节 弦切角的性质课后练习 新人教A版选修4-1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列说法中正确的是( )
A．圆的切线上的一点与圆心的连线垂直于切线
B．一个圆的两条切线必相交
C．和三角形各边所在的直线都相切的圆一定是三角形的内切圆
D．以等腰三角形的顶点为圆心，底边上高为半径的圆与底边相切
答案： D
2．如图所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝eq \f(1,2)BC，则sin∠MCA＝( )
A．eq \f(1,2)
B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2)
D．eq \f(\r(5),5)
解析： 由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC．
∵sin∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(AC,\r(AC2＋BC2))＝eq \f(AC,\r(5)AC)＝eq \f(\r(5),5)，故选D．
答案： D
3．如图，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB的延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C为( )
A．45°
B．40°
C．35°
D．30°
解析： 连结BD，∵AB为直径，
∴∠BDA＝90°.
又∵CD为⊙O的切线，切点为D，
由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.
∴∠CDA＝90°＋25°＝115°，
在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°，∴选B．
答案： B
4．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )
A．2
B．3
C．2eq \r(3)
D．4
解析： 连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，
∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，
∴eq \f(AC,AD)＝eq \f(AB,AC)，
∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，
∴AC＝2eq \r(3)，故选C．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知如图，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C、B两点，且PCB过点O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角是 ________、 ________.
解析： 其中：∠B、∠AEC都与∠CAP相等，
连接OA、OE，
则△AOE为等腰三角形．
∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴∠EAC＝∠AEC＝∠CAP.
答案： ∠EAC ∠AEC
6．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝ ________.
解析： 连接OC，∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC．
∵PB＝OB＝2，OC＝2.
∴PC＝2eq \r(3).
∵OC·PC＝OP·CD．
∴CD＝eq \f(2×2\r(3),4)＝eq \r(3).
答案： eq \r(3)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT、AT于C、D．
求证：△CTD为等腰三角形．
证明： ∵PD是∠APT的平分线，
∴∠APD＝∠DPT.
又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A．
又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，
∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，
∴∠TDC＝∠TCD，
∴△CTD为等腰三角形．
8．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.
解析： (1)证明：在△ABE和△ACD中，
AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，
∠BAE＝∠EDC，
∵BD∥MN，
∴∠EDC＝∠DCN，
∵直线MN是圆的切线，
∴∠DCN＝∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE≌△ACD．
(2)∵∠EBC＝∠BCM，
∠BCM＝∠BDC，
∴∠EBC＝∠BDC＝∠BAC，BC＝CD＝4.
又∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC＝∠ACB，
∴BC＝BE＝4，
设AE＝x，易证△ABE∽△DCE，
∴eq \f(DE,x)＝eq \f(DC,AB)＝eq \f(4,6)⇒DE＝eq \f(2,3)x，
又AE·EC＝BE·ED，EC＝6－x，
∴4·eq \f(2,3)x＝x(6－x)，可得x＝eq \f(10,3).
eq \x(尖子生题库)☆☆☆
9．(10分)已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．
(1)求∠ADF的度数；
(2)若AB＝AC，求AC∶BC．
解析： (1)∵AC为圆O的切线，
∴∠B＝∠EAC，
又DC是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠DCB，
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋ACD，
即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，
∴∠DAE＝90°，∠ADF＝eq \f(1,2)(180°－∠DAE)＝45°.
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，
∴△ACE∽△BCA，∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(AE,AB)，
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵在Rt△ABE中，eq \f(AC,BC)＝eq \f(AE,AB)＝tan∠B＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
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