线段和差的最值问题解题策略

菁优网 Http://www.jyeoo.com 线段和差的最值问题解题策略 © 2011 菁优网 一、解答题（共4小题） 1、（2008•福州）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1）直接写出点E、F的坐标； （2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 2、（2009•济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2） （1）求这条抛物线的函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式； （2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标； （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 3、（2009•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个机战的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E． （1）求D点的坐标； （2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明） 4、（2009•内江）如图所示，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：y=k（x+1）的一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）对于动点Q（1，m），求PQ+QB的最小值； （3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值． 答案与评分标准 一、解答题（共21小题） 1、（2008•福州）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1）直接写出点E、F的坐标； （2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，则CF=3﹣2=1，因而E、F的坐标就可以求出． （2）顶点为F的坐标根据第一问可以求得是（1，3），因而抛物线的解析式可以设为y=a（x﹣1）2+2，以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，应分EF是腰和底边两种情况进行讨论． 当EF是腰，EF=PF时，已知E、F点的坐标可以求出EF的长，设P点的坐标是（0，n），根据勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐标． 当EF是腰，EF=EP时，可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系，只有当EF大于E到y轴的距离，P才存在． 当EF是底边时，EP=FP，根据勾股定理就可以得到关于n的方程，就可以解得n的值． （3）作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点． 求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值． 解答：解：（1）E（3，1）；F（1，2）． （2）在Rt△EBF中，∠B=90°， ∴EF=． 设点P的坐标为（0，n），其中n＞0， ∵顶点F（1，2）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+2（a≠0）． ①如图①，当EF=PF时，EF2=PF2， ∴12+（n﹣2）2=5． 解得n1=0（舍去）；n2=4． ∴P（0，4）． ∴4=a（0﹣1）2+2． 解得a=2． ∴抛物线的解析式为y=2（x﹣1）2+2 ②如图②，当EP=FP时，EP2=FP2， ∴（2﹣n）2+1=（1﹣n）2+9． 解得（舍去） ③当EF=EP时，EP=，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x﹣1）2+2． （3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小． 如图③，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′， 连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点． ∴E′（3，﹣1），F′（﹣1，2），NF=NF′，ME=ME′． ∴BF′=4，BE′=3． ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=． 又∵， ∴FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值是． 点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题． 2、（2009•济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2） （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标； （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）已知抛物线过C（0，﹣2）点，那么c=﹣2；根据对称轴为x=﹣1，因此﹣=﹣1，然后将A点的坐标代入抛物线中，通过联立方程组即可得出抛物线的解析式． （2）本题的关键是确定P点的位置，由于A是B点关于抛物线对称轴的对称点，因此连接AC与抛物线对称轴的交点就是P点．可根据A，C的坐标求出AC所在直线的解析式，然后根据得出的一次函数的解析式求出与抛物线对称轴的交点即可得出P点的坐标． （3）△PDE的面积=△OAC的面积﹣△PDC的面积﹣△ODE的面积﹣△AEP的面积 三角形OAC中，已知了A，C的坐标，可求出三角形OAC的面积． 三角形PDC中，以CD为底边，P的横坐标的绝对值为高，即可表示出三角形PDC的面积． 三角形ODE中，可先用m表示出OD的长，然后根据三角形ODE与三角形OAC相似，求出OE的长，根据三角形的面积计算公式可用m表示出三角形ODE的面积． 三角形PEA中，以AE为底边（可用OE的长表示出AE），P点的纵坐标的绝对值为高，可表示出三角形PEA的面积． 由此可表示出三角形ODE的面积，即可得出关于S，m的函数关系式．然后根据函数的性质求出三角形的最大面积以及对应的m的值． 解答：解：（1）由题意得， 解得， ∴此抛物线的解析式为y=x2+x﹣2． （2）连接AC、BC． 因为BC的长度一定， 所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小． B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=﹣1的交点即为所求的点P． 设直线AC的表达式为y=kx+b， 则， 解得， ∴此直线的表达式为y=﹣x﹣2， 把x=﹣1代入得y=﹣ ∴P点的坐标为（﹣1，﹣）． （3）S存在最大值， 理由：∵DE∥PC，即DE∥AC． ∴△OED∽△OAC． ∴，即， ∴OE=3﹣m，OA=3，AE=m， ∴S=S△OAC﹣S△OED﹣S△AEP﹣S△PCD =×3×2﹣×（3﹣m）×（2﹣m）﹣×m×﹣×m×1 =﹣m2+m=﹣（m﹣1）2+ ∵ ∴当m=1时，S最大=． 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似等重要知识点； （3）中无法直接求出三角形的面积时，可用其他图形的面积经过“和，差”的关系来求出其面积． 3、（2009•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个机战的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E． （1）求D点的坐标； （2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明） 考点：坐标与图形变化-对称；坐标与图形性质。 专题：综合题；压轴题；数形结合。 分析：（1）借助△DMC∽△AOC，根据相似三角形的性质得点D的坐标； （2）先说明四边形CDFE是菱形，且其对称中心为对角线的交点M，则点B与这一点的连线即为所求的直线，再结合全等三角形性质说明即可，由点B、M的坐标求得直线BM的解析式； （3）过点A作MB的垂线，该垂线与y轴的交点即为所求的点G，再结合由OB、OM的长设法求出∠BAH，借助三角函数求出点G的坐标，本题第三问是难点，学生主要不会确定点G的位置． 解答：解： （1）∵A（﹣6，0），C（0，4） ∴OA=6，OC=4 设DE与y轴交于点M 由DE∥AB可得△DMC∽△AOC 又CD=AC ∴ ∴CM=2，MD=3 同理可得EM=3 ∴OM=6 ∴D点的坐标为（3，6）； （2）由（1）可得点M的坐标为（0，6） 由DE∥AB，EM=MD 可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线 ∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上 ∴ED与CF互相垂直平分 ∴CD=DF=FE=EC ∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心 作直线BM，设BM与CD、EF分别交于点S、点T 可证△FTM≌△CSM ∴FT=CS ∵FE=CD ∴TE=SD ∵EC=DF ∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS ∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形， 由点B（6，0），点M（0，6）在直线y=kx+b上，可得直线BM的解析式为y=﹣x+6． （3）确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点 由OB=6，OM=6 可得∠OBM=60° ∴∠BAH=30° 在Rt△OAG中，OG=AO•tan∠BAH=2 ∴G点的坐标为．（或G点的位置为线段OC的中点） 点评：本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题，其中本题第三问是难点，学生主要不会确定点G的位置． 4、（2009•内江）如图所示，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：y=k（x+1）的一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）对于动点Q（1，m），求PQ+QB的最小值； （3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值． 考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。 分析：（1）根据题意可知tan∠BAC=3，所以可求得点C的坐标，根据待定系数法，即可求得二次函数的解析式； （2）因为点P在抛物线上，所以可求得m的值，即可求得直线l的解析式，根据题意可得点Q在直线x=1上，可知点Q在抛物线的对称轴上，有两点间线段最短可知直线AP与抛物线的对称轴的交点即是点Q；求得AP得值即可； （3）可首先求得△APM的最大值，利用图形面积的拼凑方法即可求得，再根据面积公式求得h的最大值即可． 解答：解：（1）∵tan∠BAC=3， ∴==3， ∴OC=3 ∴点C的坐标为（0，3）， ∴t=3 将点A、B、C的坐标代入二次函数解析式得：， 解得： ∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）∵点P（2，m）在抛物线上 ∴m=3 ∴点P的坐标为（2，3） ∴3=3k， ∴k=1 ∴直线l的坐标为y=x+1 ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4 ∴此函数的对称轴为x=1 ∴点Q在抛物线的对称轴上 ∴点B关于对称轴的对称点为点A， ∴设直线AP的解析式为y=kx+b ∴， ∴ ∴直线AP的解析式为y=x+1 ∴点Q的坐标为（1，2） ∴PQ+QB=PA==3； （3）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3） ∴S△APM=S△AKM+S梯形PNKM﹣S△PNA=（1+x）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣（x2﹣x﹣2）=﹣（x﹣）2+ ∴△APM的最大值为， ∴△AMP的边AP上的高h的最大值为． 点评：此题考查了二次函数的综合应用，要注意待定系数法球函数的解析式，还要注意利用二次函数求最大值，注意数形结合思想的应用． 菁优网 版权所有 仅限于学习使用，不得用于任何商业用途 ©2010 箐优网