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数学易错题举例解析
淄博十七中 朱博
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。
1、 忽视隐含条件，导致结果错误
例1 求函数y=
的值域
错解 （用判别式法）
将原函数变形得：(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0 ①
当y=1时，①式化为 –3x=9,有解x=3;
当y≠1时，∵①式中x∈R
∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0
即：25y2-20y+4≥0, 解这个不等式得y∈R
综上：原函数值域为：y∈R
分析 没有注意定义域对值域的影响，扩大了y的取值范围。
事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x-6≠0即x≠2且x≠-3,在此前提下，原函数可化为：y=
=
(y-1)x=2y+1
∴y≠1 且x=
≠-3 解得y≠1且y≠
∴原函数值域为：y∈(-∞,
)∪(
,1)∪(1,+∞)
例2 已知(x+2)2+
=1,求x2+y2的取值范围。
错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12，
因此 x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+
)2+
∴当x=-
时，x2+y2有最大值
即x2+y2的取值范围是(-∞,
]
分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+
=1得(x+2)2=1-
≤1，∴-3≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是[1,
]
2、 忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
例3 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+
)2+(b+
)2的最小值。
错解 (a+
)2+(b+
)2=a2+b2+
+
+4
≥2ab+
+4≥4
+4=8
∴(a+
)2+(b+
)2的最小值是8
分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=
,第二次等号成立的条件是ab=
，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
事实上，原式= a2+b2+
+
+4=( a2+b2)+(
+
)+4
=[(a+b)2-2ab]+[(
+
)2-
]+4
=(1-2ab)(1+
)+4
由ab≤(
)2=
得：1-2ab≥1-
=
,且
≥16，1+
≥17
∴原式≥
×17+4=
(当且仅当a=b=
时，等号成立)
∴(a+
)2+(b+
)2的最小值是
。
例4 甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。
（1） 把全程运输成本y（元）
表
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示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
错解 （1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是
，全程运输成本为 y=a
+bv2
=s(
+bv) 故所求函数即定义域为y= s(
+bv) , 0＜v≤c
（2）由题意s,a,b,v均为正数，故s(
+bv)≥2s
（当且仅当
=bv时，即 v=
时，等号成立）∴v=
时，全程运输成本最小。
分析 在（2）中，结论成立的条件是v=
，但速度
能否达到呢？没有注意实际问题中的条件限制，使解答不够完整。应分以下两种情况讨论：①若
≤c,则当v=
时，全程运输成本最小。②若
＞c,当0＜v≤c时,易证y是v的增函数，因此，当v=c时，全程运输成本最小。事实上，
s(
+bv)- s(
+bc)=s[a(
-
)+b(v-c)]=
(c-v)(a-bcv)
∵c-v≥0且a＞bc2 ∴a-bcv≥a-bc2＞0
∴s(
+bv)≥s(
+bc) （当且仅当v=c时，等号成立）
综上所述，为使全程运输成本最小，当
≤c时，行驶速度v=
；当
＞c时，行驶速度v=c。
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