平面内曲线平移伸缩变换的技巧
江苏省靖江高级中学 蔡正伟
在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理
方法
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，供同学们学习时参考。
曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x，y在变，且变化的规律与习惯相反。
一、平移
规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y在变，且向下变小，向上变大。下面举例说明。
例1 将函数
的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。求平移后的函数解析式。
解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x变成
；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y变成
。
所以平移后的函数解析式是
。
例2 求
向右平移
个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x变成
，y变成
，
所以平移后的函数解析式是
，
化简后得
。
例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是
。
二、放缩
课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。
具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x变成
；横坐标不变纵坐标变为原来的A倍就是将原来解析式中的y变成
。
例3 （2000年理科全国卷）
经过怎样的平移和伸缩得到
。
解：
。
（变化一）
（1）y变成了2y，故横坐标不变，纵坐标变为原来的
；
（2）x变成了2x，故纵坐标不变，横坐标变为原来的
；
（3）x变成了
，故将图象右移
个单位，需要将
写成
；
（4）y变成了
，故将图象上移
个单位。
变换一和变换二的差别就先放缩后平移还是平移后放缩，变换一的第（3）步比较容易错，如果理解“都是x、y在变，变化规律与习惯相反”的规律后，每一步只需抓住变的实质，就可以轻松处理类似问题。另外，这个结论对于平面内的曲线平移都是适用的。有兴趣的读者不防一试。
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