高中数学 第一章 统计案例 1.2.1 条件概率与独立事件学案 北师大版选修1-2

§2　独立性检验 2．1　条件概率与独立事件 1．了解条件概率的概念及计算．(重点) 2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ．(重点) 3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．(难点) [基础·初探] 教材整理1　条件概率 阅读教材P17～P18部分，完成下列问题． 1．概念 已知事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 2．公式 当P(B)＞0时，P(A|B)＝eq \f(PAB,PB). 从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　) A．eq \f(1,8)　　 B．eq \f(1,4)　　 C．eq \f(2,5)　　 D．eq \f(1,2) 【解析】　从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法，事件A包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B包含(2,4)一个基本事件，故P(A)＝eq \f(4,10)，P(AB)＝eq \f(1,10).所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,4). 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】　B 教材整理2　相互独立事件 阅读教材P19“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定义 对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立． 2．性质 如果A，B相互独立，则A与eq \x\to(B)，eq \x\to(A)与B，eq \x\to(A)与eq \x\to(B)也相互独立． 3．如果A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为(　　) A．eq \f(1,6) B．eq \f(2,5) C．eq \f(2,15) D．eq \f(5,6) 【解析】　记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B，则事件A，B是相互独立事件，故P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(2,4)×eq \f(2,6)＝eq \f(1,6). 【答案】　A [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________ 解惑：___________________________________________________ 疑问2：___________________________________________________ 解惑：___________________________________________________ 疑问3：___________________________________________________ 解惑：___________________________________________________ [小组合作型] ,条件概率 　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A，事件“第二次抽到黑球”为B． (1)分别求事件A，B，AB发生的概率； (2)求P(B|A)． 【精彩点拨】　解答本题可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求概率． 【自主解答】　由古典概型的概率公式可知： (1)P(A)＝eq \f(2,5)， P(B)＝eq \f(2×1＋3×2,5×4)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)， P(AB)＝eq \f(2×1,5×4)＝eq \f(1,10). (2)P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq \f(1,4). 用定义法求条件概率P(B|A)的步骤是： (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(AB)； (3)代入公式求P(B|A)＝eq \f(PAB,PA). [再练一题] 1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是(　　) A．eq \f(1,4)　　　　　 B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3) 【解析】　一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)． 记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}． 于是可知P(A)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,4).问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求 P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝eq \f(\f(1,4),\f(3,4))＝eq \f(1,3). 【答案】　D ,事件独立性的判断 　判断下列各对事件是否是相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． 【精彩点拨】　利用相互独立事件的定义判断． 【自主解答】　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq \f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq \f(4,7)；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq \f(5,7)，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． 判断两事件是否具有独立性的三种方法： (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． [再练一题] 2．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 (2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 【解析】　(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件． (2)事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}． 所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件． 【答案】　(1)A　(2)B [探究共研型] ,相互独立事件同时发生的概率 探究1　甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求：甲、乙都未击中的概率． 【提示】　记A＝“甲击中”，B＝“乙击中”，C＝“甲、乙都没有击中”．由题意，甲击中与否并不影响乙，由此可认为A与B是相互独立的，则eq \x\to(A)，eq \x\to(B)也是相互独立的，则 P(C)＝P(eq \a\vs4\al(\x\to(A)) eq \a\vs4\al(\x\to(B)))＝P(eq \x\to(A))·P(eq \x\to(B))＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2. 探究2　上述问题中如何求敌机被击中的概率？ 【提示】　记D＝“敌机被击中”， 则P(D)＝1－P(eq \a\vs4\al(\x\to(A)) eq \a\vs4\al(\x\to(B)))＝1－0.2＝0.8. 　某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： 【导学号：67720003】 (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码． 【精彩点拨】　eq \x(明确已知事件的概率及其关系)→ eq \x(把待求事件的概率 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成已知事件的概率)→eq \x(选择公式计算求值) 【自主解答】　设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB． (1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5. (2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(Aeq \x\to(B))＋(eq \x\to(A)B)表示．由于事件Aeq \x\to(B)与eq \x\to(A)B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为 P(Aeq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A)B)＝P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B) ＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095. 即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095. (3)法一　“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(Aeq \x\to(B))＋(eq \x\to(A)B)表示．由于事件AB，Aeq \x\to(B)和eq \x\to(A)B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为 P(AB)＋P(Aeq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A)B)＝0.002 5＋0.095＝0.097 5. 法二　1－P(eq \a\vs4\al(\x\to(A)) eq \a\vs4\al(\x\to(B)))＝1－(1－0.05)2＝0.097 5. 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5. 求P(AB)时注意事件A，B是否相互独立，求P(A＋B)时同样应注意事件A，B是否互斥，对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路：(1)分类讨论；(2)求对立事件，利用P(eq \x\to(A))＝1－P(A)来运算． [再练一题] 3．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为eq \f(1,3)、eq \f(1,4).求： (1)两个人都破译出密码的概率； (2)两个人都破译不出密码的概率； (3)恰有一人破译出密码的概率； (4)至多一人破译出密码的概率； (5)至少一人破译出密码的概率． 【解】　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”． (1)两个人都破译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12). (2)两个人都破译不出密码的概率为 P(eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B)) ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,2). (3)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即Aeq \x\to(B)＋eq \x\to(A)B， ∴P(Aeq \x\to(B)＋eq \x\to(A)B)＝P(Aeq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A)B) ＝P(A)P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))P(B) ＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12). (4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴1－P(AB)＝1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12). (5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码，∴1－P(eq \a\vs4\al(\x\to(A)) eq \a\vs4\al(\x\to(B)))＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). [构建·体系] 1．已知P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,5)，则P(AB)等于(　　) A．eq \f(5,6)　　 B．eq \f(9,10)　　 C．eq \f(2,15)　　 D．eq \f(1,15) 【解析】　由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，得P(AB) ＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15). 【答案】　C 2．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为(　　) A．1－a－b B．1－ab C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b) 【解析】　∵2道工序相互独立， ∴产品的正品率为(1－a)(1－b)． 【答案】　C 3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于________. 【解析】　P(AB)＝eq \f(1,4)，P(A)＝eq \f(1,2)，∴P(B|A)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2). 【答案】　eq \f(1,2) 4．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为eq \f(9,10)，eq \f(4,5)，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在 同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________. 【解析】　P＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝eq \f(49,50). 【答案】　eq \f(49,50) 5．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为eq \f(1,3)，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率． 【解】　设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(C)＝eq \f(2,3). 停车一次即为事件eq \x\to(A)BC＋Aeq \x\to(B)C＋ABeq \x\to(C)， 故概率为P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq \f(7,18). 我还有这些不足： (1) ___________________________________ (2) ___________________________________ 我的课下提升 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ： (1) ___________________________________ (2) ___________________________________ 学业分层测评(二)　 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是(　　) A．0.56　　 B．0.48　　 C．0.75　　 D．0.6 【解析】　设甲击中为事件A，乙击中为事件B． ∵A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56. 【答案】　A 2．下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝eq \f(PB,PA)是可能的 C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0 【解析】　由条件概率公式P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)及0＜P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝eq \f(PB,PA)，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B． 【答案】　B 3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A．eq \f(1,10) B．eq \f(2,10) C．eq \f(8,10) D．eq \f(9,10) 【解析】　某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝eq \f(9×1,10×9)＝eq \f(1,10)，所以选A． 【答案】　A 4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与eq \x\to(A2)是(　　) A．相互独立事件 B．不相互独立事件 C．互斥事件 D．对立事件 【解析】　由题意可得eq \x\to(A2)表示“第二次摸到的不是白球”，即eq \x\to(A2)表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与eq \x\to(A2)是相互独立事件． 【答案】　A 2．如图1­2­1，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是(　　) 图1­2­1 A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.06 【解析】　系统可靠即A，B，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994. 【答案】　B 二、填空题 6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________. 【解析】　设掷两枚骰子点数不同记为事件A，有一个是6点记为事件B．则P(B|A)＝eq \f(2×5,30)＝eq \f(1,3). 【答案】　eq \f(1,3) 7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________. 【解析】　设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”， ∴P(A)＝1－P(eq \x\to(A))＝1－(1－0.80)×(1－0.90) ＝1－0.2×0.1＝0.98. 【答案】　0.98 8．如图1­2­2，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”．则： 【导学号：67720004】 图1­2­2 (1)P(A)＝________； (2)P(B|A)＝________. 【解析】　正方形的面积为2，圆的面积为π. (1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， ∴P(A)＝eq \f(2,π). (2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”， ∴P(AB)＝eq \f(1,2π)， ∴P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,4). 【答案】　(1)eq \f(2,π)　(2)eq \f(1,4) 三、解答题 9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率． 【解】　画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数． ∴P(A)＝eq \f(18,36)＝eq \f(1,2)， P(A∩B)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)， ∴P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq \f(1,3). 则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为eq \f(1,3). 10．集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 【解】　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个． 其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个， 所以所求概率P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5). [能力提升] 1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是eq \f(1,3)，从乙口袋内摸出1个白球的概率是eq \f(1,2)，从两个口袋内各摸出1个球，那么eq \f(5,6)等于(　　) A．2个球都是白球的概率 B．2个球都不是白球的概率 C．2个球不都是白球的概率 D．2个球中恰有1个是白球的概率 【解析】　记从甲口袋内摸出1个白球为事件A，从乙口袋内摸出1个白球为事件B，则A，B是独立事件，于是P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故eq \f(5,6)为2个球不都是白球的概率． 【答案】　C 2．如图1­2­3，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq \f(1,2)且互相独立，灯亮的概率为(　　) 图1­2­3 A．eq \f(3,16)　　　　　　　 B．eq \f(3,4) C．eq \f(13,16) D．eq \f(1,4) 【解析】　因为灯不亮的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)×\f(1,2))) ＝eq \f(3,16)，所以灯亮的概率为1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16). 【答案】　C 3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率为________. 【解析】　设第1次抽到A为事件M，第2次也抽到A为事件N，则MN表示两次都抽到A， P(M)＝eq \f(4,52)＝eq \f(1,13)， P(MN)＝eq \f(4×3,52×51)＝eq \f(1,13×17)， P(N|M)＝eq \f(PMN,PM)＝eq \f(1,17). 【答案】　eq \f(1,17) 4．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为eq \f(4,5)，eq \f(5,6)，eq \f(2,3)，且三个项目是否成功互相独立． (1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率． 【解】　(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 eq \f(4,5)×eq \f(5,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq \f(2,9)， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq \f(2,3)＝eq \f(4,45)， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq \f(5,6)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,9)， ∴恰有两个项目成功的概率为 eq \f(2,9)＋eq \f(4,45)＋eq \f(1,9)＝eq \f(19,45). (2)三个项目全部失败的概率为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq \f(1,90)， ∴至少有一个项目成功的概率为1－eq \f(1,90)＝eq \f(89,90). PAGE 14