第12章
双正交小波及小波包
我们在上一章给出了正交小波的构造方法。正交小波有许多好的性质,如
,
,
,此外,尺度函数和小波函数都是紧支撑的,有着高的消失矩等等。Daubechies给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN,SymN,CoifN)。但是,正交小波也有不足之处,即
和
都不是对称的,尽管SymN和CoifN接近于对称,但毕竟不是真正的对称,因此,这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。
和
的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组
和
的不对称性。我们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念,给出了可准确重建的双正交滤波器组的
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
方法。本章,我们把这些内容引入到小波分析,给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件,给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法,最后简要讨论小波包的基本概念
12.1
双正交滤波器组
现在,我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。所谓“小波变换的需要”是指在用
对
分解时需要将
和
的系数作时间上的翻转,即用的是
及
,或
,
,见(10.6.1)式及图10.6.2。将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来,我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。注意,图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的
和
,而是
和
,它们分别是
和
的对偶滤波器。有关“对偶”的概念见1.6节,在下面的讨论中将涉及对偶滤波器的作用。
现在我们来分析该图中各信号之间的关系及实现PR的条件。由第七章关于两通道滤波器组的理论,我们有
图12.1.1 双正交滤波器组
(12.1.1a)
(12.1.1b)
(12.1.2)
将(12.1.1)式代入(12.1.2)式,有
(12.1.3)
(12.1.1)式是用一组向量
对
作分析,(12.1.3)式是用一组对偶向量
对
作综合。(12.1.3)式还可表为
(12.1.4)
显然,如果
(12.1.5a)
(12.1.5b)
则
从而实现了准确重建。(12.1.5)式的含意是,在图12.1.1中,同一条支路上的两个滤波器
或
的偶序号位移之间是正交的。但是该式没有涉及上下支路两个滤波器之间的关系。我们更关心的是这些滤波器系数的移位可否构成小波分析中的基函数。下面的两个定理清楚地回答了该问题。
定理12.1
对图12.1.1所示的两通道滤波器组,对任意的输入信号
,其准确重建的充要条件是:
(12.1.6a)
及
(12.1.6b)
证明:仿照(7.1.5)式的导出,有
(12.1.7)
式中
、
分别是
和
的
变换,
是混迭分量。因此,为消除混迭失真,应有
(12.1.8a)
为保证系统的准确重建,应有
(12.1.8b)
式中
和
均为常数。令
,
,(12.1.8)式对应的频率表示是:
于是定理得证。
对比图7.1.1的两通道滤波器组,其对应的PR条件是(见(7.1.5)式):
(12.1.9a)
(12.1.9b)
将(12.1.9)和(12.1.8)式相比较可以看出,在双正交滤波器组的情况下,我们分别用
、
代替了
和
,并在分析滤波器组中,用
、
分别代替了
和
。其实,(12.1.8)式导出的原理和(12.1.9)式是完全一样的。
由(12.1.6a)式,有
(12.1.10)
可求出
(12.1.11)
式中
(12.1.12)
显然,为了保证对偶滤波器
和
是稳定的,
在
的范围内应该非零。为了保证
和
是FIR的,
应取纯延迟的形式。
仿照(7.2.16)式对
和
的定义,我们可给出在双正交条件下对偶滤波器和分析滤波器之间的关系:
(12.1.13a)
(12.1.13b)
或
(12.1.14a)
(12.1.14b)
假定
,它们对应的时域关系是
(12.1.15a)
(12.1.15b)
注意,上述时域、频域关系均是在图12.1.1中的交叉方向上给出的,它正好反映了双正交滤波器组的特点。
将(12.1.13)式代入(12.1.6)式,我们可得到如下的关系:
(12.1.16a)
或
(12.1.16b)
及
(12.1.17a)
或
(12.1.17b)
至此,我们给出了在双正交滤波器组中的若干基本关系,即
(1)
去除混迭条件:(12.1.6a)式;
(2)
PR条件
:(12.1.6b)式;
(3) 保证PR条件和滤波器均为FIR的情况下,四个滤波器在时域和频域的关系:(12.1.13)式~(12.1.17)式。
回顾在共轭正交滤波器组的情况下,我们经常用到的功率互补关系,即
,
或
(12.1.18)
显然,若
,则(12.1.16a)式即变成(12.1.18)式,也即双正交滤波器组变成了正交滤波器组。
有了以上讨论的基础,我们可给出在小波分析中要用到的“基”的概念。
定理12.2[8] 如果图12.1.1中的四个滤波器
,
,
和
满足准确重建条件,且它们的傅里叶变换均是有界的,则
和
是
中的双正交Riesz基。
证明:为证明
、
、
及
的偶序号项移位是双正交的,我们需要证明如下三个关系成立:
(12.1.19a)
(12.1.19b)
及
(12.1.19c)
由(12.1.16a)式,有
该式对应的时域关系是
(12.1.20)
于是(12.1.19a)式得证。同理,由(12.1.16b)式可证明(12.1.19b)式,而(12.1.17)式对应的时域关系即是(12.1.19c)式。这样,(12.1.19)式给出了三组正交关系。
若
,
,
,
的偶序号位移能够构成
中的双正交Riesz基,它们还需满足如下的条件:
,有
(12.1.21)
此即(10.2.11)式。式中
,
,
是
的傅里叶变换,此处
代表
,
,
或
。由本定理所给的条件,即它们的傅里叶变换都是有界的,所以(12.1.21)式满足,因此
,
,
及
的偶序号移位构成
中的双正交Riesz基。于是定理得证。
我们之所以说这些序列为“双正交”基,是因为在图12.1.21中的滤波器组中,上下支路各自是正交的,即
和其对偶
正交,
和其对偶
正交;同时,上下支路交叉正交,即
正交于
,
正交于
。注意,在双正交滤波器中,我们并没有强调
和
之间的正交关系,而这一正交关系是共轭正交滤波器组中的基本关系。由此读者可搞清正交和双正交的区别。总之,在小波的多分辨率分析中,使用正交滤波器组时,分解滤波器和重建滤波器是相同的,而在双正交小波分析中,分析滤波器是
和
,而综合滤波器是它们的对偶,即
和
。
此外,(12.1.19a)和 (12.1.19b)的双正交关系与本章开头所给出的(12.1.5)式的关系是一致的,只不过(12.1.19)式更简洁。
12.2
双正交小波
上一节我们讨论了双正交滤波器的基本概念、PR条件及各滤波器时域、频域的关系。本节,我们将把双正交滤波器组的概念引入双正交小波变换,给出类似第十章的多分辨率分析。
由(9.8.18)和 (9.8.19)式,信号
的离散小波变换是:
(12.2.1)
令
,则
称为小波系数,也即
的DWT。我们可由
重建
。由(9.8.20)式,有
(12.2.2)
式中
是
的对偶小波。由以上两式可以看出,小波
用于信号的分析,对偶小波
用于信号的综合。在正交小波的情况下,
。
我们在第十章详细讨论了离散小波变换的多分辨率分析,引出了尺度函数
,证明了在
中存在正交基
和
,给出了
、
和正交滤波器组的关系,即二尺度差分方程和(10.4.7)和(10.4.8)式的频域关系。在双正交滤波器组的情况下,分解滤波器(
,
)和重建滤波器(
,
)将产生两个尺度函数(
,
)和两个小波函数(
,
)。其中
和
对应信号的分解,而
和
对应信号的重建。它们和
,
,
及
相应的时域和频域的关系是:
(12.2.3a)
(12.2.3b)
(12.2.4a)
(12.2.4b)
及
(12.2.5a)
(12.2.5b)
(12.2.6a)
(12.2.6b)
定理10.3给出了在正交滤波器组情况下
和
的关系,即(10.5.1)式。对应双正交滤波器组,这一关系变成:
(12.2.7)
此即(12.1.6a)式。由(12.1.13)式,令
,则分解和重建滤波器之间有如下关系:
,或
(12.2.8a)
,或
(12.2.8b)
同正交小波时一样,我们要求
和
都是低通的,
和
都是带通的。对应的,要求
和
是低通的,
和
是高通的,即
(12.2.9a)
(12.2.9b)
(12.2.10a)
(12.2.10b)
由(12.1.16)式,有
,及
(12.2.11a)
,及
(12.2.11b)
类似(10.4.14)式,可由(12.2.5)式导出
(12.2.12a)
(12.2.12b)
类似(10.4.15)式,可由(12.2.6)式导出
(12.2.13a)
(12.2.13b)
由上面的讨论可知,在“双正交”的情况下,我们在第七章及第十章所讨论的滤波器组及两尺度差分方程各增加了一套“对偶”,即
,
;
,
;
,
和
,
。上面各节给出了它们所应满足的时域及频域关系。下面的定理将给出双正交小波基的存在性。
定理12.3[42,5,8] 假定存在两个恒正的三角多项式
和
,使得
(12.2.14a)
(12.2.14b)
并假定
、
在
内非零,则
1. 由(12.2.12)式定义的
和
属于
,且满足双正交关系
(12.2.15)
2. 两个小波函数序列
和
是
中的双正交Riesz基,即
(12.2.16)
该定理的证明见文献[42]。有了
中的双正交基,我们可对
作如下的分解:
(12.2.17)
既然
,
是
中的Riesz基,则必然存在常数
,
,使得
(12.2.18a)
(12.2.18b)
由上面的讨论可知,在双正交的情况下,我们并不要求
和
之间是正交的,也不要求
和
之间,以及其对偶函数
和
之间是正交的,仅要求
和
之间以及
和
之间是正交的,也即(12.2.15)和(12.2.16)式。正交性的放宽是使
及
具有线性相位,从而使
和
更具有对称性,从而减小了相位失真。
在第十章的多分辨率分析中,我们假定
(12.2.19a)
(12.2.19b)
并有
,
(12.2.19c)
在双正交情况下,尺度函数
及其对偶
将产生两个空间。除了(12.2.19a)和(12.2.19b)式的关系外,还有
(12.2.20a)
及
(12.2.20b)
和
的嵌套关系是
(12.2.21a)
(12.2.21b)
此时,
不再是
的正交补空间,但
,
,
和
之间有如下关系:
,
(12.2.22a)
,
(12.2.22b)
由1.7节关于正交基的性质,有
(12.2.23a)
(12.2.23b)
双正交小波下的快速算法和正交基小波下的快速算法基本相同,区别是在重建时使用的是对偶滤波器
和
。具体的分解方程和重建方程是:
(12.2.24a)
(12.2.24b)
(12.2.25)
式中
,
分别是
,
作二插值得到的序列,见图12.1.1。
12.3 双正交小波的构造
双正交小波的构造包括
,
,
及
的构造,而它们又都源于分解滤波器
、
及用于重建的对偶滤波器
和
。(12.1.14)式给出了
、
和
及
的关系,因此,双正交小波构造的核心问题是
和
的构造,这和正交小波的构造过程是一样的。如同第十一章关于正交小波的讨论,在具体给出双正交小波的构造方法之前,先讨论一下有关支撑范围、消失矩等有关的有关问题。
1. 支撑范围
如果
和
都是FIR滤波器,由(12.2.3)和(12.2.4)式,
,
,
及
将都具有有限支撑。若
和
的支撑范围分别是
,
,则
和
的支撑范围分别是
和
,而小波函数
和
的支撑范围分别是[8]
和
它们的长度都是
2. 消失矩
和
消失矩的数目取决于
和
在
处零点的数目。由定理11.1,若
在
处有
阶零点,则
有
阶消失矩。同理,若
在
处有
阶零点,则
有
阶消失矩。因此,在构造
和
时,应尽量让它们在
处有高阶的重零点。
3.
规则
编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf
性
此处不再详细讨论,其一般结论是:
a) 由(12.2.4a)式,
和
有着相同的规则性;
b)
和
的规则性随着
在
处零点数的增加而增加;
c)
和
的规则性也是随着
在
处零点数的增加而增加;
d) 如果
和
在
处有不同的零点数,则
和
的规则性也不相同。
4. 对称性
之所以使用双正交小波,其目的是使
,
及其对偶滤波器具有线性相位,同时也使
和
都具有对称性。除Haar小波外,在正交小波的情况下,上述对称性是不可能实现的。如果
,
具有奇数长且以
为对称,则
和
是以
为对称的,而
和
是相对位移位中心为对称的。如果
,
具有偶数长且以
为中心作对称,则
和
是以
为中心作对称,而
和
以其位移中心作反对称。
显然,若
,
是对称的,则图12.1.1中的
,
都可改记为
和
,也即在对
作分解时无需再将
和
翻转。
5.
及
的构造
由于要求
及
具有线性相位,因此,它们的频率响应可表为:
(12.3.1a)
(12.3.1b)
这是和Daubechies正交小波的一个主要区别。在实际工作中,我们总选取
和
为实值序列。因此,又有
,
(12.3.2)
由(12.2.12)式,必有
。同理,我们总是选择
为实函数,因此又有
,即尺度函数
以
为对称。同样的结论适用于
。
若
和
以
为对称,例如,Haar小波的尺度函数即是如此。此时要求
、
仍是偶对称,但要增加一个移位因子,即
,
(12.3.3)
现在的问题是,如何找到合适的
及
,使其所形成的滤波器组为双正交滤波器组,也即保证
、
及
,
的双正交条件,即满足:
也即(12.1.16a)式。习惯上将该式两边取共轭,即
(12.3.4)
Cohen,Daubechies给出了不同类型的双正交小波的结构方法[42, 5],其要点是:
(1).
令
固定,假定
是(12.3.4)式的解,若
,则
也是(12.3.4)式的解。将该式代入(12.3.4)式即可验证。
(2).
因为
、
是实序列,
、
满足(12.3.2)式,所以
、
均应是实系数的三角多项式,它们可分别写成
(12.3.5a)
和
(12.3.5b)
的形式。
若
、
按(12.3.3)式的形式对称,则它们可表为
(12.3.6a)
(12.3.6b)
的形式。
(3).
将(12.3.5)和(12.3.6)式分别代入(12.3.4)式,有
(12.3.7)
对应(12.3.5)式,
;对应(12.3.6)式,
。
由于
,所以
,
均可以表示为
的函数,再令
(12.3.8)
则(12.3.7)式可表示为:
(12.3.9)
(4).
令
,则(12.3.9)式又可表为如下的Bezout方程:
(12.3.10)
该方程和(11.4.5)式是一样的,区别只是
所表示的内容。只要能求出
,由(12.3.8)式,即可得到
和
,从而可按(12.3.5)或(12.3.6)式构造出
和
。
(5).
(12.3.10)式的解由下式给出:
(12.3.11)
这和(11.4.7)式的结果是一样的,式中
是一奇对称多项式,即
。
当
时,
、
以
为对称
时,
、
以
为对称
选用不同的R,对
作不同的分解可得到不同类型的双正交小波。Daubechies重点给出了基于样条函数的双正交小波的构造方法,同时也给出了
、
长度接近相等的基于样条函数的双正交小波的构造方法,现分别给以讨论。
12.4
双正交样条小波
样条函数是分段光滑且在连结点处具有一定光滑性的一类函数,它在数值逼近方面获得了广泛的应用。其中基数B样条(Cardinal B-Spline)函数具有最小的支撑范围且又容易在计算机上实现,因此被认为是构造小波函数的最佳候选者之一。
次B样条函数
是一阶B样条函数
自身作
次卷积所得到的,而
正是Haar小波的尺度函数,即
(12.4.1)
所以
(12.4.2)
(12.4.3)
依次类推,有
(12.4.4)
Battle和Lemarie用上述的样条函数构造了小波[8],其思路是令尺度函数
等于
。考虑到
往往以
为对称,所以令
(12.4.5)
(12.4.6)
(12.4.7)
时的
如图12.4.1所示。由该图可以看出,
是不连续的,
连续但一阶导数不连续,而
的一阶导数是连续的,曲线已比较光滑。当
增大时,
会变得更光滑。
图12.4.1 由
得到尺度函数
很容易证明(12.4.4)式所决定的
的傅里叶变换是
(12.4.8)
而对移位后的
,其傅里叶变换为
(12.4.9)
如果
为偶数,式中
,若
为奇数,则式中
。
分析(12.4.6)式,我们发现
(12.4.10)
满足我们在第十章所讨论的二尺度差分方程。同时,可求出
(12.4.11)
是有界的。当
时,
(12.4.12)
同样也满足二尺度差分方程,同理可求出
(12.4.13)
因此,在
时不同的
可构成一个多分辨率分析。由1.7节关于正交基频域的性质,由于(12.4.11) 和(12.4.13)式的右边不等于1,因此
的整数移位之间不构成正交基。由(9.8.40)式,我们可将
“正交化”,即令
(12.4.14)对
作反变换,得尺度函数
,则
,
可形成一族正交基。再由第十章的方法可得到正交归一的小波函数。
在双正交的情况下,我们可不必对
作(12.4.14)式的正交化,而直接用
作适当移位后的
作为尺度函数,如(12.4.5)~(12.4.7)式所示。这样选定
后,Daubechies令(12.3.11)式中的
等于零,并令
。
,从而得到了在双正交条件下样条小波分析滤波器
和重建滤波器
的系数,即
,
(12.4.15a)
,
(12.4.15b)
,
(12.4.16a)
,
(12.4.16b)
(12.4.15a)和 (12.4.15b)分别对应(12.3.5b)式和 (12.3.6b)式,而(12.4.16)式是(12.3.5a)式、(12.3.6a)式和(12.3.11)式的结合。
由(12.4.15)式可以看出,
仅和
有关,而和
无关;由(12.4.16)式,
不但和
有关,而且还和
有关,也即
取决于
和
。给定不同的
和
,就可求出一对
和
。将(12.4.15)式和(12.4.8)及(12.4.9)式相比较可以看出,尺度函数
的傅里叶变换的“阶次
”和
中的
等价,也即
即是得到
时由
卷积的次数,或称之为
的“阶次”。
现给出不同
和
组合情况下
、
、
、
、
和
的系数。
情况1.
令
,则必有
,由(12.4.15b)式,有
所以
,
即
令
,则必有
,由(12.4.16b)式,有
[注]:Daubechies在文献[5]中令
,故和本
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
定义的
有区别。
所以
即
在
时的尺度函数
即是Haar尺度函数,即
,对
,其余为零。又由于在
时的
,由(12.2.12b)式,必有
。
易知在该情况下的小波函数即是Haar小波,即
我们知道, Haar小波属正交小波,即DB1,但因为它是对称的,故又属双正交小波。我们记在该情况下的
,
,
和
分别为
,
,
及
。前面的1代表
,后面的1代表
,以下均相同。
在
的情况下,我们再令
,则必有
,由(12.4.16b)式,有
所以
因为
仍为1,所以,
不变,
,
及
可由上一节的公式推出。但MATLAB中的wavefun.m文件可用来产生这些函数,如图12.4.2所示。
情况2:令
,则
,由(12.4.5a)式,有
再令
,则
,由(12.4.16a)式,有
即
按此方法类推,读者不难得出在不同
和
的组合下的
及
,如表12.4.1所示。
和
的合适组合是:
,
,
,
由该表可以看出,
和
,特别是
,若不考虑前面的
,其分母的系数都是2的整次幂,因此有利于在计算机上快速实现。此外,在不同的
值下,
都是精确已知的,这些都是样条点双正交小波的优点。在不同组合下的
,
,
及
如图12.4.2~12.4.6所示。其中图12.4.2给出的是
,
和5时的
及
。图中左边标的“bior 1.3 phi-D”,即是指双正交小波的尺度函数
,对应
,
,“D”代表分解,右边图标的“psi”指的是“
”。以下各图的标法均相同。另外,图中的横坐标是MATLAB按正的坐标求出的,这和12.3节所给出的支撑范围有区别。
图12.4.2
,
时用于分解的
和
图12.4.5给出的是
,
,
和
时的
(图中标为phi-R,R代表重建)。显然,
时的
即是Haar尺度函数,它即是图12.4.1的(a)图。而
时的
即是图12.4.1(b),
时的
即是图12.4.1(c)。它们分别是
,
和
。显然,图中
时的
应是
。注意,
只和
有关,而和
无关。
图12.4.6给出的是
,
;
,
;
,
和
,
时的
。显然,
不仅和
有关,而且也和
有关。
图12.4.3,
,
时用于分解的
和
图12.4.4,
,
时用于分解的
和
12.4.5,
时用于重建的
图12.4.6,
,
;
,
;
,
和
,
时用于重建的
表12.4.1给出了在
时
取不同值时
,
的系数,由于在
,
和8,
,
和9时的
的系数过长,故表中没有列入,详细数据可参考文献[5]。
由以上讨论可知,按(12.4.15)或(12.4.16)式构造出的
及
的长度差别甚大,且
越大,这一差别越明显。由(12.1.15a)式,
的长度决定了
的长度。这样,一对分解滤波器
和
的长度将会有着明显的不同。这在一些应用中将会带来不便和麻烦,特别是在语音和图像处理方面。
和
长度不同的原因在于对
的分解,即(12.4.15)和(12.4.16)式是在假定
,
情况下得到的。若对
作另外形式的分解,即
,
,
(12.4.17)
然后将
和
分别代入(12.3.5)和(12.3.6)式,则可得到保证在双正交条件下且长度接近的
和
。Daubechies令[5]
(12.4.18)
表12.4.1
,
的系数
1
1
3
5
2
2
4
3
1
3
式中
为
的一阶实根,
是
的共扼复根,然后在保证
、
系数始终为实数的情况下,考虑
,
对
和
的分配。
在
,
,即
的情况下,有
即
它有两个实根,即
,
,两对共扼复根,即
,
。又由于
令
,则上式等效为
。它即属于
,也属于
。若将上面分解出的零点
和
赋给
,则
的长度为7。将余下的
和
赋给
,则
的长度为9。这样,二者的长度基本相等,即满足了(12.3.9)式,且又具有对称性。
当
,
时,存在两种分解方式。相应的系数如表12.4.2所示。
,
时的
,
,
和
如图12.4.7所示,
时的
,
,
和
如图12.4.8所示。
图12.7.7
,
时用于分解的
,
及用于重建的
,
以上除双正交小波外,Daubechies还构造了接近于正交基的双正交基函数,详细内容见文献[5],此处不再讨论。
图12.4.8
,
时用于分解的
,
及用于重建的
,
表11.4.2 具有接近长度的双正交小波对应的滤波器系数
,
=4
=4
0
-1,1
-2,2
-3,3
-4,4
0.78848561640637
0.41809227322204
-0.04068941760920
-0.06453888262976
0
0.85269867900889
0.37740285561283
-0.11602440441844
-0.02384946501956
0.03782845554969
=5
=5
0
-1,1
-2,2
-3,3
-4,4
-5,5
0.89950610974865
0.47680326579848
-0.09350469740094
-0.13670658466433
-0.00269496688011
0.01345670945912
0.73666018142821
0.34560528195603
-0.05446378846824
0.00794810863724
0.03968708834741
0
=5
=5
0
-1,1
-2,2
-3,3
-4,4
-5,5
0.54113273169141
0.34335173921766
0.06115645341349
0.00027989343090
0.02183057133337
0.00992177208685
1.32702528570780
0.47198693379091
-0.36378609009851
-0.11843354319764
0.05382683783789
0
12.5
正交小波包
第十章讨论的多分辨率分析将
空间逐层进行分解,如将
分成
和
,再将
分成
和
,其中
,
,及
。对同一尺度
,
是低频空间,
是高频空间,因此,信号
在
中的展开系数
反映了信号的“概貌”,而在
中的展开系数
反映了信号的“细节”,也即
的小波系数。由于这种分解具有恒
性质,即在高频端可获得很好的时域分辨率而在低频端可获得很好的频域分辨率,因此,这种分解相对均匀滤波器组和短时傅里叶变换有着许多突出的优点,因此获得了广泛的应用。
但这种分解仅是将
逐级往下分解。而对
不再作分解。将
和
相比,显然,
对应最好的时域分辨率,但是有着最差的频域分辨率。这在既想得到好的时域分辨率又想得到好的频域分辨率的场合是不能满足需要的。当然,在任何情况下,时域-频域分辨率之间都要受到不定原理的制约,但是,我们毕竟可根据工作的需要在二者之间取得最好的折中。例如,在多分辨率分解的基础上,我们可将
空间再作分解,如图12.5.1所示。
图12.5.1
空间的逐级分解
在该图的分解中,任取一组空间进行组合,如果这一组空间:①能将空间
覆盖;②相互之间不重合,则称这一组空间中的正交归一基的集合构造了一个小波包(wavelet packet)。显然,小波包的选择不是唯一的,也即对信号分解的方式不是唯一的。如在图12.5.1中,我们可选择
①
,
,
,
,
,
,
,
;
②
,
,
,
,
;
③
,
,
等不同空间来组合,它们都可覆盖
,相互之间又不重合。如何决定最佳的空间组合及寻找这些空间中的正交归一基便是小波包中的主要研究内容。
图12.5.1的空间分解可用图12.5.2的滤波器组来实现。注意,在实现各级的卷积时,图中滤波器
的系数要事先翻转,即将
变成
。
图12.5.2 图12.5.1的滤波器组实现
由该图可以看出,基于小波包的信号分解也是用一对滤波器
和
来实现的。在第十章的多分辨率分析中,我们详细讨论和论证了在
和
中分别存在正交归一基
和
,它们和共轭正交镜像滤波器组
、
有如下关系:
(12.5.1a)
(12.5.1b)
当
时,有
(12.5.2a)
(12.5.2b)
此即二尺度差分方程。式中,
、
有如下关系:
(12.5.3)
在上述的多分辨率分析中,当将
分解成
和
时,
中的正交归一基基
产生了两个正交归一基
和
,它们分别属于
和
,生成办法即是(12.5.1)式的二尺度差分方程。由此我们可以设想,在图12.5.1中,将
分解生成
和
时,
中的正交归一基
也将会依照二尺度差分方程分别生成
和
中的正交归一基。如果这一结论正确,则图12.5.1中的各个子空间将都存在正交归一基。文献[8]证明了这个一般结论。该结论可由下述定理来描述:
定理12.5
令
是空间
中的正交归一基,
,
是满足(12.5.3)式的一对共轭正交滤波器,令
(12.5.4a)
(12.5.4b)
则
是
中的正交归一基。
该定理的证明见文献[8]。显然,令
,
分别是
和
所产生的空间。自然有
(12.5.5)
在图12.5.1中,
中有正交基
,
中有正交基
,
中有正交基
。按定理12.5,由
可生成
,
中的正交基。依次类推,我们可得到图12.5.1中任一子空间中的正交归一基。
对于给定的尺度
,在图12.5.1中,共有
个子空间。为了讨论的方便,我们将图中的子空间统一标记为
,
,
。如
,共有
,
,
个子空间。显然,
对应每一次剖分的低频部分,而
对应其高频部分,
。令每一个子空间的正交归一基为
。由(12.5.1) 及(12.5.4)式,有
(12.5.6a)
(12.5.6b)
及
(12.5.7a)
(12.5.7b)
由(12.5.5)式,有
(12.5.8)
显然,当
时,
即是空间
,基函数
即是
中的正交归一基
,也即尺度函数。由图12.5.1也可看出,
即是我们在第十章讨论过的多分辨率分析中的空间
,因此
中的正交归一基
即是
中的正交归一基
,也即小波函数。由(12.5.6)式,令
,则
(12.5.9a)
(12.5.9b)
按照上述思路,只要我们给定了
中的尺度函数
及相应的小波函数
,由(12.5.6),或(12.5.9)式即可递推地求出小波包分解中各个子空间中的基函数
和
。
例12.5.1
对Harr小波,
,
,
由(12.5.6)式,有
当
时,
当
时,
,
的宽度都是
,而
的宽度为
。
时的
分别示于图12.5.3a,b和c。
图12.5.3
由Harr小波生成的小波包
(a)
,
(b)
(c)
例12.5.2
令
空间中的
为“DB5”小波对应的尺度函数,当
时,求出
中的小波基
如图12.5.4所示。
图12.5.4
时,由“DB5”小波生成的
上述两例的分解过程可以形象地表为一个二进制的树结构,如图12.5.5所示。图中结点处的数值即为
。MATLAB中的plottree命令文件可画出此结构图。
令
,则
(12.5.10)
是
在空间
中的“概貌”。我们把它当作一个树状滤波器组的输入信号。在小波
图12.5.5
时的二进制树结构图
包的分解中,对任意的结点
,则
为
在该结点(或子空间
)处的小波包系数,它是
和基函数
作内积的结果。下述定理给出了小波包系数的快速计算方法。
定理12.6
在小波包的分解中,在结点
处的小波包系数由下式给出
(12.5.11a)
(12.5.11b)
而在结点
处的小波包系数
可由下式重建:
(12.5.12)
式中
和
分别是
和
每两个点插入一个零后所得到的序列。
该定理的证明类似于定理10.6和定理10.7,此处不再讨论。
时的分解与重建如图12.5.6a和b所示。图中
即是
。在图(a)中,当实现各级的卷积时,图中滤波器
的系数同样要事先翻转,即将
变成
。
图12.5.6 基于滤波器组的小波包分解与重建
(a)小波包分解, (b) 小波包重建
例12.5.3
信号
是MATLAB中所给的信号noisdopp.mat,如图12.5.7a的第一个图所示。令
,我们可得到对
作小波包分解后的各个子空间的系数
。由此可看出信号
在各个频带上的时域行为。图中所用小波均是“DB5”正交小波。图a对应
,图b对应
,图c对应
。
图12.5.7信号的小波包分解,
(a) 原信号
,
和
;(b)
,
,
及
;(c)
。
由该图可以看出,当
时,
反映了
的概貌,它相当于多分辨率分析中的
空间的
。而
相当于
空间的
,它是
中的噪声分量,也即高频成分;当
时,
仍是信号的概貌,但比
含有较少的噪声,
,
及
也属于噪声分量,当
时,反映概貌的
已几乎不含噪声,
属于噪声成分,但其幅值已很小。
上述分解是将
及3时的分解系数全部求出。实际上,根据小波包的定义,我们只需取部分互不重迭且又能覆盖
的子空间即可,这即是所谓“最佳小波包”的选择问题。一个最佳小波包的选择取决于三个因素:
(1) 信号本身的性质;
(2) 信号分解的目的;
(3) “最佳”原则的选择。
显然,一个最佳的小波包应使信号
在其各个子空间中的投影(即
)尽可能地大。至于说由哪几个空间组成一个最佳的小波包,显然取决于信号
能量随频率的分布。从应用的角度看,分解的目的若是为了去噪,那就应舍弃噪声能量较大的子空间,选择不但信号能量大而且噪声也小的空间;分解的目的若是为了数据的压缩,则应选择信号能量集中的空间。但是,无论何种目的,在决定“最佳小波包”的过程中,我们总要确定一个“代价函数”,从而使在各种小波包选择的可能中,所选择的一种具有最小的代价函数。
至今,人们已提出了代价函数的多种选择方法,如“编码率-失真(R-D)指标”[21],“Shannon熵判据”[21],“范数(Norm)”判据等。若令
为信号
在某一子空间正交基上的投影,则定义
(12.5.13)
为
的Shannon熵,定义
(12.5.14)
为
的
范数。此外,还可定义,
(12.5.15)
为
的对数能量熵。这样,对给定的信号
,我们可求出它在每一个子空间中的“熵”或范数,并把它们作为代价函数来决定小波包的选择。文献[21]以
为例介绍了一种自底向顶的快速搜索方法。如图12.5.8所示。上方的空间为“母空间”,下方的空间为“子空间”。在每一个空间都标上了由(12.5.13)~(12.5.15)式中任一式求出的代价函数。如果子空间的代价总和小于母空间的代价,这说明这一分解是值得的,因此,该子空间应预以保留。反之,若子空间的代价总和大于母空间的代价,则这一分解是不适当的,应加以放弃,即保留“母空间”。
由于
加上
中的代价为3,小于
的代价11,所以由
至
和
的分解应加以保留;
加上
的代价为7,小于
的代价12,所以这一分解也应保留。同理,
加
的代价为11,小于
的代价13,应加以保留,但
加
的代价为15,大于
的代价14,因此这一分解应该放弃。依次往上类推,最后选中的应是子空间
,
,
,
及
,由它们构成在所给定意义上最佳的“小波包”。其中,选中的
,
和
由于可由
所覆盖,故可以放弃。
图12.5.8
最佳小波包选择
图中阴影部分为最后所选择的小波包
MATLAB中的wavelet Toolbox中有着丰富的有关小波包的命令,其中
Wentropy.m:用来计算所给定信号在各个子空间分解后的熵;
Besttree.m:在指定所用的熵的基础上用来确定最佳小波包的选择。实际上给出的是最佳树的选择;
Wpdec.m:对给定的信号
和熵,确定分解的树结构和分解后的数据结构;
Wpcoef.m:由上面的数据结构得到在各子空间的分解系数(即
);
Wprec.m:由上述分解系数重建信号
。
例12.5.4
令
仍然为MATLAB中的noisdopp.mat。如图12.5.5(a)的第一个图
所示。用如下三个命令可得到对
的最佳二进制树结构:
[wpt,wpd]=wpdec(x,3,‘wname’);
%:对
作分解,wpt中含树结构,wpd中含数据结构,使用“Shannon”熵;
%:‘wname’指定要选的小波。本例中,wname=DB1。3表示
。
[t1,d1,e,n]=besttree(wpt,wpd);
%:找最佳树结构,存t1中,d1含新的数据结构,e中含各结点的熵,n为波合并%:的结点索引序号;
[t,d]=wp2wtree(
,
);
%:抽取最佳树结构t,并得到相应的数据结构;
Plottree(t);
%:画出该树结构。如图12.5.9所示。
图12.5.9
时的最佳树结构。(a) 最佳树结构, (b) 分解的区间
由该图可以看出,结点(1.1)没有再分解,结点(2.1)也没有再分解,所分解的空间如图(b)所示。因此,我们可选
,
,
及
作最佳小波包。当然,也可选
,
及
作最佳小波包,但这对应的是
的分解,而不是
的分解。
H1(z)
� EMBED Equation.3 ���
H0(z)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
↑2
↓2
H1 (z-1)
↑2
H0 (z-1)
↓2
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
V0
V1(L) W1(H)
V21(LL) W21(HL) V22(LH) W22(HH)
W34(HHH)
V34(HHH)
V31(LLL)
W31(HLL)
W33(HLH)
V33(LLH)
W32(HHL)
V32(LHL)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
↓2
H0
↓2
H1
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
↓2
H0
↓2
H0
↓2
H1
↓2
H1
↓2
H0
↓2
H1
↓2
H0
↓2
H0
↓2
H1
↓2
H1
↓2
H0
↓2
H1
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
↓2
H0(z)
↓2
H1(z)
↓2
H0(z)
↓2
H0(z)
↓2
H1(z)
↓2
H1(z)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
↑2
H1(z)
↑2
H0(z)
↑2
H0(z)
↑2
H0(z)
↑2
H1(z)
↑2
H1(z)
� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� 20
� EMBED Equation.3 ��� 22
� EMBED Equation.3 ��� 11
� EMBED Equation.3 ��� 12
� EMBED Equation.3 ��� 14
� EMBED Equation.3 ��� 13
1
2
3
4
5
6
7
8
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
W03
W13
W02 W12
W01 W11
PAGE
- 394 -
_1040540066.unknown
_1040562559.unknown
_1040573007.unknown
_1040579683.unknown
_1043047865.unknown
_1043129166.unknown
_1044452683.unknown
_1044625046.unknown
_1044795792.unknown
_1044796011.unknown
_1046086239.unknown
_1046086272.unknown
_1045336015.unknown
_1045336022.unknown
_1046086071.unknown
_1045336018.unknown
_1045336014.unknown
_1044795917.unknown
_1044795957.unknown
_1044795804.unknown
_1044795810.unknown
_1044795797.unknown
_1044795699.unknown
_1044795729.unknown
_1044795742.unknown
_1044625339.unknown
_1044795685.unknown
_1044453108.unknown
_1044453514.unknown
_1044453531.unknown
_1044625024.unknown
_1044453522.unknown
_1044453486.unknown
_1044453503.unknown
_1044453461.unknown
_1044453473.unknown
_1044453081.unknown
_1044453097.unknown
_1044452770.unknown
_1044453054.unknown
_1044452705.unknown
_1044450758.unknown
_1044450905.unknown
_1044452674.unknown
_1044452643.unknown
_1044452659.unknown
_1044452630.unknown
_1044450857.unknown
_1044450893.unknown
_1044450769.unknown
_1044450829.unknown
_1044430661.unknown
_1044447115.unknown
_1044450729.unknown
_1044447088.unknown
_1044447102.unknown
_1044447077.unknown
_1044430555.unknown
_1044430587.unknown
_1044430621.unknown
_1044430571.unknown
_1043129275.unknown
_1044430520.unknown
_1043127756.unknown
_1043127917.unknown
_1043128168.unknown
_1043129111.unknown
_1043127928.unknown
_1043127814.unknown
_1043127835.unknown
_1043127788.unknown
_1043062428.unknown
_1043063212.unknown
_1043066779.unknown
_1043063078.unknown
_1043062252.unknown
_1043062332.unknown
_1043048550.unknown
_1043043338.unknown
_1043045761.unknown
_1043047484.unknown
_1043047517.unknown
_1043047857.unknown
_1043047506.unknown
_1043047241.unknown
_1043047465.unknown
_1043045782.unknown
_1043044529.unknown
_1043045687.unknown
_1043045730.unknown
_1043045390.unknown
_1043043543.unknown
_1043043548.unknown
_1043043428.unknown
_1040580364.unknown
_1040583111.unknown
_1040628998.unknown
_1040630617.unknown
_1040632852.unknown
_1040644674.unknown
_1040646687.unknown
_1040647187.unknown
_1040647418.unknown
_1043043316.unknown
_1040647664.unknown
_1040647734.unknown
_1040647712.unknown
_1040647472.unknown
_1040647332.unknown
_1040647399.unknown
_1040647259.unknown
_1040647017.unknown
_1040647085.unknown
_1040647149.unknown
_1040647043.unknown
_1040646746.unknown
_1040646760.unknown
_1040646703.unknown
_1040645435.unknown
_1040645848.unknown
_1040646082.unknown
_1040646112.unknown
_1040645985.unknown
_1040645648.unknown
_1040645814.unknown
_1040645506.unknown
_1040644717.unknown
_1040645067.unknown
_1040645380.unknown
_1040644915.unknown
_1040644101.unknown
_1040644610.unknown
_1040644399.unknown
_1040644583.unknown
_1040644158.unknown
_1040643944.unknown
_1040644031.unknown
_1040644047.unknown
_1040643974.unknown
_1040643883.unknown
_1040643609.unknown
_1040643666.unknown
_1040632064.unknown
_1040632356.unknown
_1040632641.unknown
_1040632770.unknown
_1040632561.unknown
_1040632194.unknown
_1040632293.unknown
_1040632165.unknown
_1040631493.unknown
_1040631985.unknown
_1040631908.unknown
_1040631932.unknown
_1040631296.unknown
_1040631311.unknown
_1040631260.unknown
_1040629744.unknown
_1040630113.unknown
_1040630348.unknown
_1040630504.unknown
_1040630557.unknown
_1040630239.unknown
_1040630273.unknown
_1040630188.unknown
_1040630162.unknown
_1040629954.unknown
_1040630070.unknown
_1040629876.unknown
_1040629440.unknown
_1040629586.unknown
_1040629611.unknown
_1040629487.unknown
_1040629329.unknown
_1040629376.unknown
_1040629289.unknown
_1040626237.unknown
_1040628115.unknown
_1040628582.unknown
_1040628812.unknown
_1040628882.unknown
_1040628695.unknown
_1040628358.unknown
_1040628400.unknown
_1040628296.unknown
_1040626505.unknown
_1040628016.unknown
_1040628057.unknown
_1040627911.unknown
_1040626310.unknown
_1040626341.unknown
_1040626250.unknown
_1040583862.unknown
_1040584093.unknown
_1040584139.unknown
_1040625973.unknown
_1040626011.unknown
_1040584132.unknown
_1040583989.unknown
_1040584054.unknown
_1040583902.unknown
_1040583463.unknown
_1040583586.unknown
_1040583666.unknown
_1040583490.unknown
_1040583223.unknown
_1040583403.unknown
_1040583165.unknown
_1040581430.unknown
_1040582021.unknown
_1040582798.unknown
_1040583075.unknown
_1040582940.unknown
_1040582971.unknown
_1040582733.unknown
_1040582586.unknown
_1040581853.unknown
_1040581930.unknown
_1040581950.unknown
_1040582002.unknown
_1040581885.unknown
_1040581788.unknown
_1040581840.unknown
_1040581735.unknown
_1040581761.unknown
_1040581617.unknown
_1040580905.unknown
_1040581137.unknown
_1040581291.unknown
_1040580982.unknown
_1040580700.unknown
_1040580767.unknown
_1040580365.unknown
_1040580234.unknown
_1040580272.unknown
_1040580305.unknown
_1040580329.unknown
_1040579915.unknown
_1040580143.unknown
_1040580175.unknown
_1040580082.unknown
_1040580119.unknown
_1040579945.unknown
_1040579865.unknown
_1040579854.unknown
_1040575668.unknown
_1040577880.unknown
_1040578813.unknown
_1040579314.unknown
_1040579552.unknown
_1040579587.unknown
_1040579378.unknown
_1040578869.unknown
_1040579268.unknown
_1040578842.unknown
_1040578519.unknown
_1040578557.unknown
_1040578781.unknown
_1040578532.unknown
_1040578383.unknown
_1040578456.unknown
_1040578262.unknown
_1040576130.unknown
_1040577682.unknown
_1040577823.unknown
_1040577461.unknown
_1040577673.unknown
_1040577390.unknown
_1040575868.unknown
_1040575997.unknown
_1040576025.unknown
_1040575914.unknown
_1040575735.unknown
_1040575766.unknown
_1040574082.unknown
_1040575104.unknown
_1040575586.unknown
_1040575426.unknown
_1040575527.unknown
_1040575406.unknown
_1040574760.unknown
_1040574989.unknown
_1040575081.unknown
_1040574888.unknown
_1040574624.unknown
_1040574274.unknown
_1040574305.unknown
_1040574093.unknown
_1040573458.unknown
_1040573858.unknown
_1040573961.unknown
_1040573976.unknown
_1040574040.unknown
_1040573917.unknown
_1040573701.unknown
_1040573728.unknown
_1040573677.unknown
_1040573267.unknown
_1040573317.unknown
_1040573437.unknown
_1040573294.unknown
_1040573222.unknown
_1040573239.unknown
_1040573182.unknown
_1040565924.unknown
_1040566959.unknown
_1040567466.unknown
_1040572592.unknown
_1040572829.unknown
_1040572920.unknown
_1040572699.unknown
_1040572489.unknown
_1040572563.unknown
_1040572397.unknown
_1040567154.unknown
_1040567261.unknown
_1040567305.unknown
_1040567186.unknown
_1040567054.unknown
_1040567140.unknown
_1040567044.unknown
_1040566321.unknown
_1040566791.unknown
_1040566920.unknown
_1040566946.unknown
_1040566895.unknown
_1040566534.unknown
_1040566680.unknown
_1040566705.unknown
_1040566579.unknown
_1040566453.unknown
_1040566162.unknown
_1040566227.unknown
_1040566298.unknown
_1040566202.unknown
_1040566002.unknown
_1040566065.unknown
_1040565973.unknown
_1040565050.unknown
_1040565228.unknown
_1040565303.unknown
_1040565329.unknown
_1040565444.unknown
_1040565317.unknown
_1040565248.unknown
_1040565272.unknown
_1040565240.unknown
_1040565164.unknown
_1040565201.unknown
_1040565218.unknown
_1040565179.unknown
_1040565097.unknown
_1040565137.unknown
_1040565081.unknown
_1040563967.unknown
_1040564558.unknown
_1040564814.unknown
_1040565023.unknown
_1040564784.unknown
_1040564449.unknown
_1040564493.unknown
_1040564425.unknown
_1040564357.unknown
_1040564390.unknown
_1040563354.unknown
_1040563407.unknown
_1040563779.unknown
_1040563396.unknown
_1040563166.unknown
_1040563345.unknown
_1040563094.unknown
_1040544924.unknown
_1040558997.unknown
_1040560868.unknown
_1040561768.unknown
_1040562229.unknown
_1040562448.unknown
_1040562476.unknown
_1040562396.unknown
_1040562418.unknown
_1040562168.unknown
_1040561423.unknown
_1040561503.unknown
_1040561696.unknown
_1040561458.unknown
_1040561046.unknown
_1040561172.unknown
_1040561124.unknown
_1040561155.unknown
_1040561164.unknown
_1040561067.unknown
_1040561006.unknown
_1040559788.unknown
_1040560590.unknown
_1040560849.unknown
_1040560859.unknown
_1040560817.unknown
_1040560345.unknown
_1040560495.unknown
_1040559817.unknown
_1040559250.unknown
_1040559547.unknown
_1040559752.unknown
_1040559325.unknown
_1040559110.unknown
_1040559199.unknown
_1040559045.unknown
_1040545539.unknown
_1040546195.unknown
_1040546303.unknown
_1040558669.unknown
_1040558860.unknown
_1040558268.unknown
_1040546274.unknown
_1040546291.unknown
_1040545886.unknown
_1040546106.unknown
_1040546132.unknown
_1040546157.unknown
_1040546063.unknown
_1040545565.unknown
_1040545576.unknown
_1040545547.unknown
_1040545104.unknown
_1040545394.unknown
_1040545488.unknown
_1040545133.unknown
_1040545037.unknown
_1040545093.unknown
_1040545015.unknown
_1040543146.unknown
_1040543885.unknown
_1040544778.unknown
_1040544089.unknown
_1040544321.unknown
_1040544513.unknown
_1040544652.unknown
_1040544144.unknown
_1040543935.unknown
_1040543468.unknown
_1040543780.unknown
_1040543813.unknown
_1040543628.unknown
_1040543364.unknown
_1040543417.unknown
_1040543318.unknown
_1040541317.unknown
_1040541634.unknown
_1040542788.unknown
_1040543124.unknown
_1040542597.unknown
_1040541400.unknown
_1040541616.unknown
_1040541332.unknown
_1040540729.unknown
_1040541059.unknown
_1040541306.unknown
_1040540730.unknown
_1040540303.unknown
_1040540586.unknown
_1040540623.unknown
_1040540556.unknown
_1040540129.unknown
_977602195.unknown
_977605810.unknown
_978889582.unknown
_1037628601.unknown
_1037630022.unknown
_1037630116.unknown
_1037630252.unknown
_1037630307.unknown
_1037630353.unknown
_1040540051.unknown
_1037630332.unknown
_1037630272.unknown
_1037630197.unknown
_1037630234.unknown
_1037630178.unknown
_1037630079.unknown
_1037630095.unknown
_1037630059.unknown
_1037628977.unknown
_1037629231.unknown
_1037629993.unknown
_1037630001.unknown
_1037629235.unknown
_1037629239.unknown
_1037629327.unknown
_1037629237.unknown
_1037629233.unknown
_1037629211.unknown
_1037629229.unknown
_1037629003.unknown
_1037628830.unknown
_1037628952.unknown
_1037628691.unknown
_979059143.unknown
_979059746.unknown
_1037628464.unknown
_1037628498.unknown
_979060389.unknown
_979059499.unknown
_979059584.unknown
_979059261.unknown
_979058871.unknown
_979059090.unknown
_979059119.unknown
_979059004.unknown
_979059031.unknown
_979059052.unknown
_979058893.unknown
_978889685.unknown
_978891436.unknown
_978889675.unknown
_977652709.unknown
_977657629.unknown
_977660048.unknown
_977662404.unknown
_977663848.unknown
_977678773.unknown
_977679019.unknown
_977679106.unknown
_977680343.unknown
_977681123.unknown
_977681195.unknown
_977685423.unknown
_978889540.unknown
_977685435.unknown
_977681230.unknown
_977681187.unknown
_977680655.unknown
_977680963.unknown
_977680644.unknown
_977679326.unknown
_977679872.unknown
_977680183.unknown
_977679333.unknown
_977679803.unknown
_977679133.unknown
_977679255.unknown
_977679116.unknown
_977679083.unknown
_977679062.unknown
_977678996.unknown
_977679006.unknown
_977678799.unknown
_977678791.unknown
_977678258.unknown
_977678725.unknown
_977678764.unknown
_977678699.unknown
_977677607.unknown
_977677789.unknown
_977664044.unknown
_977677593.unknown
_977662882.unknown
_977663166.unknown
_977663705.unknown
_977663760.unknown
_977663688.unknown
_977662993.unknown
_977663104.unknown
_977662902.unknown
_977662717.unknown
_977662754.unknown
_977662832.unknown
_977662805.unknown
_977662727.unknown
_977662497.unknown
_977662701.unknown
_977662474.unknown
_977661747.unknown
_977662142.unknown
_977662315.unknown
_977662368.unknown
_977662393.unknown
_977662335.unknown
_977662353.unknown
_977662173.unknown
_977662257.unknown
_977662149.unknown
_977662055.unknown
_977662096.unknown
_977662130.unknown
_977662082.unknown
_977661961.unknown
_977661963.unknown
_977661960.unknown
_977661360.unknown
_977661522.unknown
_977661631.unknown
_977661688.unknown
_977661581.unknown
_977661562.unknown
_977661443.unknown
_977661450.unknown
_977661383.unknown
_977660708.unknown
_977660990.unknown
_977661013.unknown
_977660902.unknown
_977660523.unknown
_977660572.unknown
_977660335.unknown
_977660195.unknown
_977660316.unknown
_977658814.unknown
_977659326.unknown
_977659776.unknown
_977659936.unknown
_977659625.unknown
_977659660.unknown
_977659610.unknown
_977659491.unknown
_977659549.unknown
_977659082.unknown
_977659145.unknown
_977659303.unknown
_977659103.unknown
_977658909.unknown
_977659016.unknown
_977659050.unknown
_977658944.unknown
_977658884.unknown
_977658106.unknown
_977658629.unknown
_977658729.unknown
_977658788.unknown
_977658667.unknown
_977658329.unknown
_977658532.unknown
_977658220.unknown
_977658328.unknown
_977657844.unknown
_977657975.unknown
_977658074.unknown
_977657953.unknown
_977657674.unknown
_977657791.unknown
_977657652.unknown
_977655377.unknown
_977656552.unknown
_977657271.unknown
_977657443.unknown
_977657474.unknown
_977657319.unknown
_977657389.unknown
_977657300.unknown
_977656902.unknown
_977657107.unknown
_977657185.unknown
_977657257.unknown
_977656943.unknown
_977656643.unknown
_977656782.unknown
_977656587.unknown
_977656298.unknown
_977656424.unknown
_977656445.unknown
_977656506.unknown
_977656433.unknown
_977656359.unknown
_977656375.unknown
_977656324.unknown
_977656056.unknown
_977656197.unknown
_977656229.unknown
_977656089.unknown
_977655412.unknown
_977656046.unknown
_977655402.unknown
_977653541.unknown
_977654036.unknown
_977655092.unknown
_977655230.unknown
_977655354.unknown
_977655110.unknown
_977654073.unknown
_977654405.unknown
_977654072.unknown
_977653825.unknown
_977653874.unknown
_977654011.unknown
_977654024.unknown
_977653899.unknown
_977653837.unknown
_977653629.unknown
_977653650.unknown
_977653662.unknown
_977653612.unknown
_977653085.unknown
_977653490.unknown
_977653514.unknown
_977653422.unknown
_977652995.unknown
_977653042.unknown
_977652970.unknown
_977607335.unknown
_977651841.unknown
_977651949.unknown
_977652621.unknown
_977652646.unknown
_977652672.unknown
_977652519.unknown
_977652541.unknown
_977651986.unknown
_977651970.unknown
_977651908.unknown
_977651917.unknown
_977651891.unknown
_977651793.unknown
_977651821.unknown
_977651829.unknown
_977651812.unknown
_977651748.unknown
_977651768.unknown
_977651783.unknown
_977651767.unknown
_977651728.unknown
_977606522.unknown
_977606753.unknown
_977607320.unknown
_977607326.unknown
_977606837.unknown
_977606896.unknown
_977606944.unknown
_977606809.unknown
_977606824.unknown
_977606768.unknown
_977606791.unknown
_977606607.unknown
_977606691.unknown
_977606572.unknown
_977606419.unknown
_977606460.unknown
_977606469.unknown
_977605874.unknown
_977606358.unknown
_977606402.unknown
_977605856.unknown
_977603639.unknown
_977605268.unknown
_977605515.unknown
_977605666.unknown
_977605750.unknown
_977605779.unknown
_977605799.unknown
_977605727.unknown
_977605720.unknown
_977605552.unknown
_977605643.unknown
_977605541.unknown
_977605407.unknown
_977605464.unknown
_977605500.unknown
_977605448.unknown
_977605375.unknown
_977604563.unknown
_977604836.unknown
_977605063.unknown
_977605238.unknown
_977604855.unknown
_977604601.unknown
_977604722.unknown
_977604576.unknown
_977604257.unknown
_977604368.unknown
_977604542.unknown
_977604350.unknown
_977603839.unknown
_977604211.unknown
_977603736.unknown
_977603751.unknown
_977603693.unknown
_977602486.unknown
_977603115.unknown
_977603478.unknown
_977603561.unknown
_977603498.unknown
_977603529.unknown
_977603215.unknown
_977603309.unknown
_977603146.unknown
_977602552.unknown
_977603027.unknown
_977602595.unknown
_977602715.unknown
_977602573.unknown
_977602527.unknown
_977602302.unknown
_977602438.unknown
_977602455.unknown
_977602338.unknown
_977602275.unknown
_977602290.unknown
_977602251.unknown
_977599657.unknown
_977601480.unknown
_977601911.unknown
_977601934.unknown
_977602141.unknown
_977602163.unknown
_977602165.unknown
_977602148.unknown
_977602076.unknown
_977601950.unknown
_977601589.unknown
_977601689.unknown
_977601869.unknown
_977601894.unknown
_977601842.unknown
_977601812.unknown
_977601832.unknown
_977601703.unknown
_977601660.unknown
_977601548.unknown
_977601575.unknown
_977601520.unknown
_977600871.unknown
_977601155.unknown
_977601287.unknown
_977601300.unknown
_977601279.unknown
_977600913.unknown
_977601000.unknown
_977600893.unknown
_977600322.unknown
_977600621.unknown
_977600717.unknown
_977600792.unknown
_977600861.unknown
_977600670.unknown
_977600567.unknown
_977600591.unknown
_977600597.unknown
_977600469.unknown
_977600521.unknown
_977600550.unknown
_977600438.unknown
_977599983.unknown
_977600100.unknown
_977600218.unknown
_977600001.unknown
_977599798.unknown
_977599906.unknown
_977599675.unknown
_977594523.unknown
_977595459.unknown
_977595756.unknown
_977599497.unknown
_977599517.unknown
_977599536.unknown
_977598244.unknown
_977598694.unknown
_977598695.unknown
_977595999.unknown
_977595572.unknown
_977595678.unknown
_977595691.unknown
_977595611.unknown
_977595526.unknown
_977595549.unknown
_977595498.unknown
_977594899.unknown
_977595240.unknown
_977595415.unknown
_977595448.unknown
_977595405.unknown
_977594970.unknown
_977595191.unknown
_977594923.unknown
_977594803.unknown
_977594856.unknown
_977594867.unknown
_977594822.unknown
_977594746.unknown
_977594773.unknown
_977594553.unknown
_977593535.unknown
_977593912.unknown
_977594214.unknown
_977594278.unknown
_977594417.unknown
_977594234.unknown
_977594109.unknown
_977594170.unknown
_977593976.unknown
_977593706.unknown
_977593746.unknown
_977593889.unknown
_977593721.unknown
_977593664.unknown
_977593688.unknown
_977593571.unknown
_977593159.unknown
_977593205.unknown
_977593411.unknown
_977593184.unknown
_977593204.unknown
_977593170.unknown
_977593123.unknown
_977593151.unknown
_977593080.unknown
_977593063.unknown
_977593041.unknown