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50学时复变讲稿课件ppt工程数学50pdf第五讲.docx

50学时复变讲稿课件ppt工程数学50pdf第五讲

天新
2018-09-10 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《50学时复变讲稿课件ppt工程数学50pdf第五讲docx》,可适用于高等教育领域

第五讲原函数与不定积分Cauchy积分公式§原函数与不定积分原函数与不定积分的概念积分计算公式原函数与不定积分的概念由§基本定理的推论知:设f(z)在单连通积分Cf(z)dz区域B内解析则对B中任意曲线C,与路径无关只与起点和终点有关。当起点固定在z,终点z在B内变动,Cf(z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数记作zzf()dF(z)()定理设f(z)在单连通区域B内解析则F(z)在B内解析且F'(z)f(z)定义'(z)若函数(z)在区域B内的导数等于f(z)即f(z),称(z)为f(z)在B内的原函数zzF(z)f()d上面定理表明原函数。是f(z)的一个设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数G(z)H(z)'G'(z)H'(z)f(z)f(z)(c为任意常数)G(z)H(z)c,(见第二章§例)这表明:f(z)的任何两个原函数相差一个常数。定义设F(z)是f(z)的一个原函数称F(z)c(c为任意常数)为f(z)的不定积分记作f(z)dzF(z)c积分计算公式定理设f(z)在单连通区域B内解析F(z)是f(z)的一个原函数则(z,zB)z公式类似于微积分学中的牛顿-莱布尼兹公式但要求函数是解析的,比以前的连续条件强zf(z)dzF(z)F(z)例计算下列积分:fz(t)z'(t)dtf(z)dzCC)dzz其中C为半圆周:z,Rez,ei)(令z起点为–i,终点为iiiiiedC解:dzdeizei在Rezz上解析,解)ziz|i故Cidzzdz)zC其中C为单连通区域D:argz内起点为,终点为z的任意曲线在D内解析,又lnz是的一个原函数解zzdzlnzlnlnz(zD)故zC例计算下列积分:ziizdzii|innzndzzn|nniizsinzdzzdcosz|izcoszsinzsiniicosi小结求积分的方法n(定义)(z)dzlimf(k)zk()()()fffcnkvdyiudxudy(z)dz(z)dzdzvdx(复数一般形式)c(参方形式)fz(t)z(t)dtcidzn=(常见公式)nCzz()z)n)n(z(zzrB,则()若f(z)解析,B单连通,闭曲线Cf(z)dzc()复合闭路定理、闭路变形原理()若f(z)在B内解析,B单连通,则(CG定理)(利用原函数)zzF'(z)f(z)f(z)dzF(z),zz§Cauchy积分公式内容简介利用CauchyGoursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式从而成为研究解析函数的有力工具而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法设D单连通,f(z)在D内解析,zD,C是D内围绕z的一条闭曲线,则分析f(z)f(z)一般在z不解析Cdzzzzz由复合闭路定理得,任意包含z在内部的DC曲线C的内部Czf(z)f(z)CCCdzdzzzzz特别取(可充分小)}C{zzzf(z)的连续性,在C上的函数值f(z)当时,f(z)f(z)CD∴猜想积分zCf(z)f(z)dzCCdzzzzziff(z)dz(z)zzC这个猜想是对的,这就是下面的定理定理(Cauchy积分公式))设f(z)在D内处处解析,zzC)C是D内任意一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,Cfzdz)z为C内任意一点izz证明设KR}C的内部{zzzf(z)f(z)CKdz与K的半径R无关,dzzzzzf(z)只须证明:limRKdzif(z)zz()f(z)特例dzi即要证:,,zzRf(z)if(z)dzzzKf(z)f(z)kk(z)kdzif(z)dzfdzzzzzz–z(z)f(z)f(z)dsff(z)RkKdzdszzzzKlimf(z)zz,f(z)Rz–zf(z)f(z)f(z)f(z)dzif(zlimR))f(zdzzzizzKC()若定理条件改为f(z)在C所围区域B内解析,及在CBB上连续,Cauchy积分公式仍成立()Cauchy积分公式表明函数在C内部任一点的值可以用它在边界的在区域边界上的值一经内部任一处的值也就确值来表示即若f(z)确定,则它在区域定了i()若C:zzRe则f(z)f(z)dziz–zCif(zRe)idRieReif(zReii)d一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值sinzz)(z求:))dz例dzizzzsinzsinz)dz解izzzdzzzz)()dzdzzzzzf(z)及iiiz例求dzzzCC为包含在内的任意简单正向曲线zzdzzdzzdzC解z–zzz–z–zCCzzyzzdzCdzzzCzz由C积分公式ixizzzziCCCo设C表圆周xy例d,,f(z)zC求f'(i)z解z在全平面上处处解析,zCdf(z)zi(zz),zzz又'(z)fi(z)(i)故f'(i)i(i)§解析函数的高阶导数内容简介本节研究解析函数的无穷次可导性并导出高阶导数计算公式。研究表明:一个解析函数不仅有一阶导数而且有各阶导数它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。形式上对积分公式ff(z))(zdz(zD)izzC两边在积分号下对z求导得f(z)CCf'(z)dz)i!(zzf(z)f"(z)dz)in!(z–zf(z)(n)(z)(n,,)fdzniC(zz)以下将对这些公式的正确性加以证明。定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为(n,,)n)i(zzC其中C为在f(z)的解析区域D内围绕z的任意正向简单闭曲线,而且它的内部D证明用数学归纳法和导数定义。先证n的情形f(zz)f(z)zD)limzf'(zzf(n)(z)n!f(z)dzf(z)C由柯西积分公式f(z)dzizzf(z)Cf(zz)dzizzzdzf(zz)f(z)f(z)dzf(z)izzzzzzzCCf(z)dzCi(zzz)(zz)令为If(z)dzC)i(zz下证limIzzf(z)dziC(zzz)(zz)zf(z)dzCI)(zzz)(zzzf(z)dszzzzzCf(z)在C上解析f(z)在C上连续d,则M,stM,(有界)设d取zminzzf(z),则有zCzzd,注:(z)z与z,z无关zzddzz–zzzz,zz–zdMML(LC的长度)zdszIdddC显然limz,从而有If(zz)f(z)f(z)dzC(*)f'(z)lim)iz(zzz再利用()式及推导()的方法可证n的情形'(zz)ff'(z))f''(zlimzz依次类推用数学归纳法可得!f(z)Cdz)i(zzn!f(z)dz(n)(zC)f)ni(zz定理表明f(z)在z平面上D内解析f(z)在D内具有各阶导数,即在D内解析无穷次可导一个解析函数的导数仍为解析函数。if(z)(n)(zC用途:可计算积分dzf))n(zzn!例求下列积分值C:zrezcosz)C)Cdzdz(z)z)(解)cosz在全平面处处解析coszi(cosz)()Cdz(z)()!zi–)(i!ez在zi处不解析取C:)zi(z)C,C不相交且在C的内部zC:iezezezdzdzdz(z)ez(z)(z)CCCez(zi)–i)(zCCdzdz(zi)(zi)ezezii()!()!(zi)(zi)zizi(i)iei(i)(i)(eiiei)(i)(cossin)isin()ezC)求下列积分值,C:zr,dziznn,原式in,原式(n()!–coszz)求下列积分值,dz)iz(z)作业•P()()()()()()()()

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