2019届高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲导数的概念及运算学案

2019版高考数学一轮复习全册学案 第10讲　导数的概念及运算 板块一　知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 1．定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx(－f(x0(,Δx)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′| x＝x0， 即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx(－f(x0(,Δx). 2．几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 考点2　基本初等函数的导数公式 考点3　导数的运算法则 　 若y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x(,g(x()))′＝eq \f(f′(x(g(x(－f(x(g′(x(,[g(x(]2)(g(x)≠0)． [必会结论] 1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (2)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．(　　) (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq \f(π,3).(　　) (4)若(ln x)′＝eq \f(1,x)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝ln x．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．[课本改编]f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于(　　) A.eq \f(19,3) B.eq \f(16,3) C.eq \f(13,3) D.eq \f(10,3) 答案　D 解析　因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝eq \f(10,3).故选D. 3．[2018·九江模拟]已知曲线y＝eq \f(x2,4)－3ln x的一条切线的斜率为－eq \f(1,2)，则切点的横坐标为(　　) A．3 B．2 C．1 D.eq \f(1,2) 答案　B 解析　因为y＝eq \f(x2,4)－3ln x，所以y′＝eq \f(x,2)－eq \f(3,x).再由导数的几何意义，令eq \f(x,2)－eq \f(3,x)＝－eq \f(1,2)，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故选B. 4．[课本改编]若曲线y＝ex＋ax＋b在点(0,2)处的切线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a＋b＝(　　) A．3 B．－1 C．1 D．－3 答案　A 解析　因为直线x＋3y＋1＝0的斜率为－eq \f(1,3)，所以切线l的斜率为3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲线过点(0,2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.故选A. 5．[2018·秦皇岛模拟]函数f(x)＝exln x在点(1，f(1))处的切线方程是(　　) A．y＝2e(x－1) B．y＝ex－1 C．y＝e(x－1) D．y＝x－e 答案　C 解析　f(1)＝0，∵f′(x)＝exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln x＋\f(1,x)))，∴f′(1)＝e，∴切线方程是y＝e(x－1)．故选C. 6．[2018·烟台诊断]已知曲线y＝asinx＋cosx在x＝0处的切线方程为x－y＋1＝0，则实数a的值为________． 答案　1 解析　因为y′＝acosx－sinx，y′|x＝0＝a，根据题意知a＝1. 板块二　典例探究·考向突破 考向　导数的基本运算 例　1　求下列函数的导数： (1)y＝eq \f(cosx,ex)； (2)y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))； (3)y＝x－sineq \f(x,2)coseq \f(x,2)； (4)y＝ln x＋eq \f(1,x). 解　(1)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′＝eq \f((cosx(′ex－cosx(ex(′,(ex(2) ＝－eq \f(sinx＋cosx,ex). (2)因为y＝x3＋eq \f(1,x2)＋1，所以y′＝3x2－eq \f(2,x3). (3)因为y＝x－eq \f(1,2)sinx，所以y′＝1－eq \f(1,2)cosx. (4)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln x＋\f(1,x)))′＝(ln x)′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2). 触类旁通 导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． 【变式训练】　已知函数f(x)在x＝1处的导数为－eq \f(1,2)，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝eq \f(1,2)x2－ln x B．f(x)＝xex C．f(x)＝(3x2－4x)(2x＋1) D．f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \r(x) 答案　D 解析　A中f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－ln x))′＝x－eq \f(1,x)， B中f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex， C中f(x)＝6x3－5x2－4x，所以f′(x)＝18x2－10x－4， D中f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\r(x)))′＝－eq \f(1,x2)＋eq \f(1,2\r(x)). 分别将x＝1代入检验，知D符合． 考向　导数几何意义的应用 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命题角度1　求切线的方程 例　2　[2017·全国卷Ⅰ]曲线y＝x2＋eq \f(1,x)在点(1,2)处的切线方程为________． 答案　x－y＋1＝0 解析　∵y′＝2x－eq \f(1,x2)，∴y′|x＝1＝1， 即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1， ∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0. 命题角度2　求切点的坐标 例　3　[2018·江西模拟]若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________． 答案　(e，e) 解析　设P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝1＋ln x．∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e)． 命题角度3　求参数的值 例　4　已知f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 答案　D 解析　∵f′(x)＝eq \f(1,x)， ∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0， ∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq \f(1,2)xeq \o\al(2,0)＋mx0＋eq \f(7,2)，m＜0，于是解得m＝－2.故选D. 触类旁通 求解曲线切线方程应注意的问题 (1)对于曲线的切线方程的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握． (2)对于已知的点，首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解． 核心规律 1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即[f(x0)]′＝0. 2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 满分策略 1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆． 2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点. 板块三　启智培优·破译高考 易错警示系列3——求曲线的切线方程考虑不全面致错 [2018·浙江杭州质检]若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9都相切，则a等于(　　) A．－1或－eq \f(25,64) B．－1或eq \f(21,4) C．－eq \f(7,4)或－eq \f(25,64) D．－eq \f(7,4)或7 错因分析　(1)审题不仔细，未对(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，不知所措，无法与导数的几何意义联系． 解析　∵y＝x3，∴y′＝3x2. 设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，xeq \o\al(3,0))， 则在该点处的切线斜率为k＝3xeq \o\al(2,0)，所以切线方程为： y－xeq \o\al(3,0)＝3xeq \o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq \o\al(2,0)x－2xeq \o\al(3,0). 又点(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝eq \f(3,2). 当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9相切可得a＝－eq \f(25,64)； 当x0＝eq \f(3,2)时，由y＝eq \f(27,4)x－eq \f(27,4)与y＝ax2＋eq \f(15,4)x－9相切，得a＝－1. 综上，a＝－1或a＝－eq \f(25,64).故选A. 答案　A 答题启示　(1(求曲线的切线方程，首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异. (2(求解切线问题时，无论是已知切线的斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在. 跟踪训练 [2018·山西师大附中质检]已知曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3). (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程． 解　(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2))＝4. 所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率为y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0))＝xeq \o\al(2,0). 所以切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq \o\al(2,0)(x－x0)， 即y＝xeq \o\al(2,0)·x－eq \f(2,3)xeq \o\al(3,0)＋eq \f(4,3). 因为点P(2,4)在切线上，所以4＝2xeq \o\al(2,0)－eq \f(2,3)xeq \o\al(3,0)＋eq \f(4,3)， 即xeq \o\al(3,0)－3xeq \o\al(2,0)＋4＝0，所以xeq \o\al(3,0)＋xeq \o\al(2,0)－4xeq \o\al(2,0)＋4＝0， 所以xeq \o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 板块四　模拟演练·提能增分 [A级　基础达标] 1．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是(　　) A．(0,1) B．(1，－1) C．(1,3) D．(1,0) 答案　C 解析　由题意知y′＝eq \f(3,x)＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，故点P0的坐标是(1,3)． 2．[2018·海南文昌中学模拟]曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1 C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1 答案　A 解析　依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.故选A. 3．[2018·大同模拟]已知函数f(x)＝xsinx＋ax，且f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案　A 解析　∵f′(x)＝sinx＋xcosx＋a，且f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1， ∴sineq \f(π,2)＋eq \f(π,2)coseq \f(π,2)＋a＝1，即a＝0. 4．[2018·陕西检测]已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 答案　B 解析　因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－eq \f(3,x)＝－1，得x＝1或x＝－eq \f(3,2)(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B. 5．[2018·金版创新]已知f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋2xf′(2017)＋2017ln x，则f′(1)＝(　　) A．2016 B．6045 C．2017 D．6048 答案　D 解析　因为f′(x)＝－x＋2f′(2017)＋eq \f(2017,x)，所以f′(2017)＝－2017＋2f′(2017)＋eq \f(2017,2017)，即f′(2017)＝2017－1＝2016. 故f′(x)＝－x＋2×2016＋eq \f(2017,x)，f′(1)＝－1＋2×2016＋2017＝6048.故选D. 6．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为(　　) A．1 B．2 C．5 D．－1 答案　A 解析　由题意可得3＝k＋1,3＝1＋a＋b，则k＝2.又曲线的导函数y′＝3x2＋a，所以3＋a＝2，解得a＝－1，b＝3，所以2a＋b＝1.故选A. 7．[2018·上饶模拟]若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　) A．1 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(3) 答案　B 解析　因为定义域为(0，＋∞)，所以y′＝2x－eq \f(1,x)＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2). 8．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 答案　1 解析　因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋1，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，因为点(2,7)在切线上，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 9．直线x－2y＋m＝0与曲线y＝eq \r(x)相切，则切点的坐标为________． 答案　(1,1) 解析　∵y＝eq \r(x)＝xf (1,2) eq \s\up15( ) ，∴y′＝eq \f(1,2)xf (1,2) eq \s\up15(－ ) ，令y′＝eq \f(1,2)xf (1,2) eq \s\up15(－ ) ＝eq \f(1,2)，则x＝1，则y＝eq \r(1)＝1，即切点坐标为(1,1)． 10．[2018·江苏模拟]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋eq \f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________． 答案　－3 解析　由曲线y＝ax2＋eq \f(b,x)过点P(2，－5)，得 4a＋eq \f(b,2)＝－5.① 又y′＝2ax－eq \f(b,x2)，所以当x＝2时，4a－eq \f(b,4)＝－eq \f(7,2)，② 由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))所以a＋b＝－3. [B级　知能提升] 1．[2018·南昌模拟]已知f(x)＝2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．y＝0 B．y＝2x C．y＝x D．y＝－2x 答案　B 解析　∵f(x)＝2exsinx，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)，∴f′(0)＝2，∴曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x. 2．曲线f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为eq \f(3π,4)，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 答案　C 解析　f′(x)＝eq \f(2x(x＋1(－(x2＋a(,(x＋1(2)＝eq \f(x2＋2x－a,(x＋1(2)， ∵f′(1)＝taneq \f(3π,4)＝－1，即eq \f(3－a,4)＝－1，∴a＝7. 3．[2018·陕西模拟]设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq \f(1,x)(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________． 答案　(1,1) 解析　y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k＝1，又曲线y＝eq \f(1,x)(x＞0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝eq \f(1,x)(x＞0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝eq \f(1,x)(x＞0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝eq \f(1,x)上，所以b＝1，故P(1,1)． 4．已知函数f(x)＝x－1＋eq \f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程． 解　(1)f′(x)＝1－eq \f(a,ex)，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－eq \f(a,e)＝0，解得a＝e. (2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋eq \f(1,ex)，f′(x)＝1－eq \f(1,ex). 设切点为(x0，y0)， ∵f(x0)＝x0－1＋eq \f(1,e x0)＝kx0－1，① f′(x0)＝1－eq \f(1,e x0)＝k，② ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e. ∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1. 5．[2018·苏州十校联考]设函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq \f(7,4)x－3，当x＝2时，y＝eq \f(1,2).又f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq \f(3,x). (2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点， 由f′(x)＝1＋eq \f(3,x2)知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)， 即y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)． 令x＝0得，y＝－eq \f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0))). 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6. PAGE 1