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ＩＭＯ国际奥林匹克数学竞赛试题31

ＩＭＯ国际奥林匹克数学竞赛试题311. 弦AB,CD相交于圆内一点E，M是线段EB上的一点，过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC,AC于F,G。设t=AM/AB，试用t表示EF/EG。 2. 设n>=3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。 3. 试找出所有大于1的正整数n满足(2n+1)/n2也是整数。 4. 试构造一个从正...

1. 弦AB,CD相交于圆内一点E，M是线段EB上的一点，过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC,AC于F,G。设t=AM/AB，试用t 表示EF/EG。 2. 设n>=3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。 3. 试找出所有大于1的正整数n满足(2n+1)/n2也是整数。 4. 试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数f使 f(xf(y))=f(x)/y 对任何x,y都成立。 5. 给定一个初始整数n0>1，两个玩家A,B根据下述规则交替的选择整数n1,n2,n3,...： a. 设B已选择n2k，则A选择n2k+1满足 n2k<=n2k+1 <=n2k2； b. 设A已选择n2k+1，则B选择n2k+2满足 n2k+1/n2k+2=pr 对某个p及r>=1成立。若A选到了数1990就获胜；若B选到了1就获胜。分别求除满足下述条件之一的n0： (1) A有必胜策略； (2) B有必胜策略； (3) A,B都没有必胜策略。 6. 求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是12,22,...,19902（顺序不定）。

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