考研数学历年真题赛尔水木9898数2

1998年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析 一、填空题 （1） . 【答】 . 【详解1】 用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换， 因 【详解2】 采用洛必达法则， 注： 可求出 【详解3】 采用 的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当 时 所以 时 于是 （2）曲线 与 轴所围成的图形的面积 . 【答】 . 【详解】 因为 所以 （3） . 【答】 【详解】 用分部积分法，有 （4）设 连续，则 . 【答】 . 【详解】 令 当 时， 当 时， ； 故 （5）曲线 的渐进线方程为 . 【答】 【详解】 故此曲线的渐进线方程为 . 二、选择题 设数列 与 满足 则下列断言正确的是 （A） 若 发散，则 必发散. （B） 若 无界，则 必有界. （C） 若 有界，则 必有无穷小. （D） 若 为无穷小，则 必为无穷小. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 方法一： 由极限运算性质知 所以（D）为正确选项. 方法二： 取数列 ，排除（A） 若取数列 便排除了（B） 对于（C），若数列 ，则 可为任意数列，所以（C）项也不正确. 故应选（D）. （2）函数 不可导点的个数是 （A）3. （B）1. （C）2. （D）0. 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 因为 可见 在 处不可导，而在 处是可导的， 故 的不可导点的个数为2. （3）已知函数 在任意点 处的增量 且当 时， 是 的高阶无穷小， ，则 等于 （A） . （B） . （C） . （D） 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 由 ，有 令 ，得 ， 解此微分方程并利用初始条件由 得 故 （4）设函数 在 的某个邻域内连续，且 为其几大值，则存在 ，当 时，必有 （A） （B） （C） （D） 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 由题设，存在邻域 ，使当 时，有 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 当 时， 当 时， 因此（A）、（B）不成立. 考虑到（C）、（D）两项中分母均大于零，而分子部分有 所以必有（C）成立. （5）设 是任一 阶方阵， 是其伴随矩阵，又 为常数，且 ，则必有 . （A） （B） （C） （D） 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 方法一： 采用加条件的技巧，设 可逆，则由 知 于是 所以应选（B） 题设 ， ，主要是为了做到4个选项只有1个正确的. 方法二： 由 的定义，设 ，其元素 的代数余子式记作 ，则矩阵 ， 若其元素的代数余子式记作 ，由行列式性质有 从而 EMBED Equation.DSMT4 三、 求函数 在区间 内的间断点，并判断其类型. 【详解】 在区间 内不存在的点为 各点， 在区间 内的间断点是 不存在的点， 即 各点. 在 处， 在 处， 故 ， 处， 为第二类间断点. 在 处， 在 处， 为 的可去间断点. 但相应的函数在上两点处无定义，故 ， 为 的可去间断点. 四、确定常数 的值，使 【详解】当 时， ，且存在而不为零, 故 因此 必为0. 因若 则在 内， ； 若 ，则在 内， 利用洛必达法则有 若 ，则上式为 ，与条件不符， 故 从而再用洛必达法则有 得 ； 因此 五、利用代换 将方程 化简，并求处原方程的通解. 【详解】 方法一： 有 两端对 求导，得 于是原方程化为 其通解为 从而原方程得通解为 方法二： 代入原方程得 以下同方法一. 六、计算积分 . 【详解】 因此 七、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 （从海平面算起）与下沉速度 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 体积为 海水比重为 仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 .试建立 与 所满足的微分方程，并求出函数关系式 【详解】 取沉放点为原点 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 这是可降阶的二阶微分方程，其中 . 令 则 于是原方程可化为 分离变量得 积分得 再根据初始条件 得 故所求函数关系为 八、设 是区间 上的任一非负连续函数. （1）试证存在 使得再区间 上以 为高的矩形面积，等于再区间 上以 为曲边的梯形面积. （2）又设 在区间 内可导，且 ，证明（1）中的 试唯一的. 【详解】 （1）令 则 在闭区间 上连续，在开区间 内 可导； 又 由罗尔定理知，存在 使 即 也即 （2）令 则 即 在 内严格单调增加，从而 的点 必唯一，故（1）中的 试唯一的. 九、设有曲线 ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的表面积. 【详解】 设切点的横坐标为 则切点为 ，曲线 在此点的切线斜率为 ， 于是切线方程为： 又因它经过原点，以点 代入，得 解得 于是切线方程为 即 切点为 ，由曲线段 EMBED Equation.DSMT4 绕 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 由直线 段绕 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 因此，所求旋转体的表面积为 十、设 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点 处的曲率为 ，且此曲线上点 处的切线方程为 ，求该曲线的方程，并求函数 的极值. 【详解】 因曲线向上凸，故 ； 由题设，得 即 曲线经过点 ，故 又因在该点处的切线方程为 ，即切线斜率为1，于是 问题归结为求 的特解. 令 于是得 分离变量解得 以 代入， 得 所以 再积分，得 以 代入，得 故所求曲线方程为 取其含有 在内的连续的一支为 当 或 时， ， 故此函数无极小值. 当 时， 为极大， 极大值为 十一、设 ，证明： （1） （2） . 【详解】 （1） 令 则有 所以 从而 即 （2）令 则有 由(1)知， <0， 当 时.于是推知在 内， 单调减少.又 在区间 上连续，且 . 故当 时， 不等式左边证毕. 又 故当 时， 不等式右边证毕. 十二、设 其中 是4阶单位矩阵， 是4阶矩阵 的转置矩阵. 求 . 【详解】 由题设得 即 由于 , 故 可逆. 于是 十三、已知 EMBED Equation.DSMT4 ，问 （1） 取何值时， 不能由 ， ， 线性表示？ （2） 取何值时， 能由 ， ， 线性表示？并写出其表达式. 【详解】 因为 所以 （1）当 时，线性方程组 无解， 此时 不能由 线性表示； （2）当 时，线性方程组 有唯一解： 于是 可唯一表示为： 当 时，线性方程组 有无穷多个解： （ 为任意常数） 这时 可由 线性表示： （ 为任意常数 _1193034081.unknown _1193036209.unknown _1193037683.unknown _1193039068.unknown _1193043275.unknown _1193045081.unknown _1193045936.unknown _1193046317.unknown _1193046464.unknown _1193046849.unknown _1193046952.unknown _1193047032.unknown _1193047108.unknown _1193047152.unknown _1193047039.unknown _1193046985.unknown _1193046856.unknown _1193046745.unknown _1193046806.unknown _1193046819.unknown _1193046698.unknown _1193046465.unknown _1193046366.unknown _1193046424.unknown _1193046438.unknown _1193046439.unknown _1193046437.unknown _1193046389.unknown _1193046344.unknown _1193046054.unknown _1193046123.unknown _1193046246.unknown _1193046074.unknown _1193045981.unknown _1193046016.unknown _1193045959.unknown _1193045560.unknown _1193045807.unknown _1193045844.unknown _1193045909.unknown _1193045823.unknown _1193045767.unknown _1193045786.unknown _1193045690.unknown _1193045283.unknown _1193045432.unknown _1193045466.unknown _1193045284.unknown _1193045245.unknown _1193045282.unknown _1193045173.unknown _1193045196.unknown _1193043962.unknown _1193044228.unknown _1193044566.unknown _1193044673.unknown _1193044686.unknown _1193044584.unknown _1193044320.unknown _1193044348.unknown _1193044270.unknown _1193044134.unknown _1193044185.unknown _1193044210.unknown _1193044153.unknown _1193044065.unknown _1193044083.unknown _1193044004.unknown _1193043657.unknown _1193043781.unknown _1193043890.unknown _1193043919.unknown _1193043848.unknown _1193043705.unknown _1193043740.unknown _1193043685.unknown _1193043460.unknown _1193043577.unknown _1193043621.unknown _1193043503.unknown _1193043420.unknown _1193043337.unknown _1193043388.unknown _1193040160.unknown _1193043115.unknown _1193043167.unknown _1193043187.unknown _1193043242.unknown _1193043143.unknown _1193042816.unknown _1193042951.unknown _1193043066.unknown _1193043073.unknown _1193042905.unknown _1193040215.unknown _1193042743.unknown _1193040214.unknown _1193039834.unknown _1193039989.unknown _1193040064.unknown _1193040159.unknown _1193040048.unknown _1193039893.unknown _1193039940.unknown _1193039842.unknown _1193039384.unknown _1193039715.unknown _1193039757.unknown _1193039520.unknown _1193039149.unknown _1193039222.unknown _1193039077.unknown _1193038218.unknown 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