高等数学习题chap7

第七章 空间解析几何与向量代数 一、基本内容要求 1． 理解空间直角坐标系，培养空间想象力，能熟练地运用两点间的距离公式，定 比分点公式等解决几何问题； 2． 理解向量的概念及其几何 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，熟练掌握向量的运算，并能运用向量的平行， 垂直的充要条件讨论和证明几何问题； 3． 掌握各种形式的平面方程，利用所给的直接或间接条件会求出平面方程。理解 空间点与平面、平面与平面的位置关系，会求点到平面的距离； 4． 熟记空间直线方程的各种表示形式，并掌握它们之间的相互转换方法，会求直 线方程。理解平面与直线，直线与直线的相互位置关系； 5． 理解空间曲面，曲线的定义及相对应的方程，掌握常用二次曲面的方程及其相 对应的几何图形，会求旋转曲面与柱面的方程； 6． 培养自己对几何图形的空间想象力，理解空间中点、曲线、曲面的相关位置， 能熟练地画出平面上几条相交曲线围成的区域及空间曲面的图形。 二、选择练习题 1.空间点 关于 轴的对称点是 A B C D 2.空间点 关于 坐标平面的对称点是 A B C D 3.空间点 关于坐标原点的对称点是 A B C D 4.自点 作 轴的垂线，则垂足的坐标为 A B C D 5.自点 作 平面的垂线，则垂足的坐标为 A B C D 6.在空间直角坐标系中，点 位于 A 第5卦限 B 第4卦限 C 第2卦限 D 第3卦限 7.点 到 轴的距离为 A B C D 8.在 坐标面上与已知三点 ， 和 等距的点是 A B C D 9.若两个非零向量 与 满足 则 A 与 平行 B 与 垂直 C D 10.已知两点 和 ，则 等于 A 2 B 4 C D 1 三、填空 1. 点 关于坐标平面 的对称点的坐标为 ，关于 轴的对称点的坐标为 ，向量 在 上的投影为 。 2.如果向量 的始点为 ，则终点 的坐标为 。 3.已知向量 ， ，并且向量 与 轴垂直，则 。 4.设向量 ，向量 与 共线且反向， =75，则向量 的坐标为 。 5.设向量 ，则向量 在 上的射影为 。 6.已知向量 单位向量 同时垂直于 与 ，则 = 。 7.在平行四边形 中，三顶点 的坐标分别为 EMBED Equation.3 ，则 的对顶点 的坐标为 ，对角线交点 的坐标为 。 8.球面的中心为 ，且球面通过坐标原点，则球面的方程为 。 9.通过点 且与 坐标面平行的平面方程为 。 10.通过点 和 轴的平面方程为 。 11.通过两平行直线 ， 的平面方程为 。 12.通过点 与坐标原点的直线的对称式方程为 ，参数方程为 。 13.通过点 ，垂直于直线 EMBED Equation.3 ，平行于平面 （ 不垂直于 ）的直线方程为 。 14.直线 垂直于 轴的充要条件为 ，和 重合的充要条件是 。 15.直线 与平面 的夹角为 ，交点为 。 16.（1）在空间直角坐标系下，方程 的图形是 ， 的图形是 ， 的图形是 ， 的图形是 ， 的图形是 ， 的图形是 。 （2）圆 的圆心为 ，半径为 。 （3）一直径的两端点为 的球面方程为 。 （4）点 绕 轴， 轴和直线 旋转所生成的圆的方程分别为 ， ， 。 （5）直线 绕 轴和 轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为 ， 。 17.方程 所表示的曲面叫做 ； 方程 表示的曲面叫做 ； 方程 表示的曲面叫做 ； 方程 表示的曲面叫做 ； 方程 表示的曲面叫做 。 18.二次曲面 被 坐标平面截得的曲线方程为 ，被 坐标面截得的曲线方程为 ，被 坐标面截得的曲线方程为 ，被平面 截得的曲线方程为 ，被 截得的曲线方程为 。 19.曲面 关于 对称。 20.二次锥面 的直母线方程为 。 四、计算 1.一边长为 的立方体放置在 坐标面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点分别在 轴和 轴上，求它各顶点的坐标。 2.求点 到各坐标轴的距离。 3.向量 与 轴交成钝角，与已知向量 ， 都垂直，且 ，求向量 。 4.已知线段 被点 与 三等分，试求线段两个端点 与 的坐标。 5.设动点到 轴的距离是3，到 坐标面的距离为2，且在 轴正侧一侧运动，求动点的轨迹方程。 6.设 ， ，求（1） 及 ；（2） 及 ；（3） 。 7.设 是单位向量，且满足 ，求 。 8.已知三点 和 求与 ， 同时垂直的单位向量。 9.求向量 在向量 上的投影。 10.已知向量 ，求三角形 的面积。 11.已知两点 ，求 及平行于 的单位向量。 12.已知向量 ，计算 （1） ；（2） ；（3） 。 13.将 坐标面上的抛物线 绕 轴旋转一周生成旋转曲面，求其方程。 14.将 坐标面上的圆 绕 轴旋转一周生成旋转曲面，求其方程。 15.将 坐标面上的双曲线 分别绕 轴、 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 16.画出下列各方程所表示的曲面。 （1） （2） （3） （4） 17.分别求出母线平行于 轴及 轴而且通过曲线 的柱面方程。 18.求球面 与平面 的交线在 面上的投影的方程。 19.求螺旋线 在三个坐标面上的投影的直角坐标方程。 20.求上半球体 与圆柱体 EMBED Equation.3 的公共部分在 面和 面上的投影。 21.求旋转抛物面 EMBED Equation.3 在三个坐标面上的投影。 22.试求空间圆 的圆心与半径。 23.求过三点 和 的平面方程。 24.求平面 与各坐标面的夹角的余弦。 25.分别按下列条件求平面的方程。 （1） 行 面且过点 ； （2） 通过 轴和点 ； （3） 平行于 轴且经过两点 和 。 26.求点 到平面 的距离。 27.求通过点 垂直于平面 且与直线 平行的平面方程。 28.求过两点 和 的直线方程。 29.分别用对称式与参数方程表示直线 。 30.求过点 且与直线 垂直的平面方程。 31.求直线 与直线 的夹角的余弦。 32.求过点 且与两平面 和 平行的直线方程。 33.试确定下列各组中的直线与平面间的关系。 （1） 和 ； （2） 和 ； （3） 和 。 34.求点 在平面 上的投影。 35.求直线 在平面 上的投影直线的方程。 36.求过点 且与直线 垂直相交的直线方程。 37.曲线 在 面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线。 38.列各曲面所围成的立体的图形。 （1） ； （2） （在第1卦限内）。 39．求准线为 且母线平行于 轴的柱面方程。 40.求锥面 与柱面 所围立体在三个坐标面上的投影。 五、证明题 1.证明以三点 为顶点的三角形是等腰直角三角形。 2.证明 ，并说明它的几何意义。 3.证明 。 4.试证，若 ，则 与 共线。 5.求证以直线 为轴，半径为 的圆柱面方程为 。 6.试证两直线 与 相交，并求交点坐标。 其中 : : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 : : 。 7.设从坐标原点到平面 的距离为 ，求证 。 8.设平面 为 ，它与连接二点 和 的直线相交点 ，且 。 求证： 。 9.一直线与三坐标轴间的角分别为 。求证： 。 10.一直线与三坐标面的交角为 。 求证： 。 11.试证一个关于 的齐次方程总是顶点在坐标原点的锥面。 12.试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写为： 与 其中 为参数。 六、模拟（自测练习） 1.设向量 有公共始点，试写出一个与 共面且平分 与 的夹角的向量。 2.若 ，求：（1） ；（2） 。 3.设 ， 与 的夹角为 ，求 。 4.一直线过点 且与向量 平行，求点 到该直线的距离。 5.求过原点且经过两平面： 和 的交的平面方程。 6.若两个一次方程 和 表示同一个平面，试确定 的值。 7.求过直线 且与球面 相切的平面方程。 8.已知 的方向角分别为 ，试证过 且垂直 的平面方程为： 。 第七章 空间解析几何与向量代数练习题答案 二．选择练习 1B；2A；3D；4C；5A；6D；7A；8A；9B；10A 三．填空 1． ；2. ；3.2； 4． ； 5.-4； 6. 7. ；8. ；9. ；10. ；11. ；12. ；13. ；14. ；15. ；16.(1)母线平行于 轴的椭圆柱面；母线平行于 轴的抛物柱面；顶点在原点的二次锥面；两个分别平行于 和 坐标面的平面；过点 且平行于 轴的直线； 坐标面上的双曲线。（2）圆心 ，半径 。（3） ； （4） ， ， ； （5） EMBED Equation.3 。 17.方程 表示双叶双曲面； 方程 表示椭球面； 方程 表示单叶双曲面； 方程 表示椭圆抛物面； 方程 表示双曲抛物面。 18.二次曲面 被 坐标面截得的曲线方程为 ，截线为双曲线；被 坐标面截得的曲线方程为 ，截线为椭圆；被 坐标面截得的曲线方程为 ，截线为双曲线；被平面 截得的曲线方程为 ，截线为椭圆；被 截得的曲线方程为 ，截线为两相交直线。19.曲面 关于 坐标面， 坐标面以及 轴对称。20.二次锥面 的直母线方程为 ，其中 不全为零。 四．计算 1．立方体各顶点的坐标依次是 ， ， ， ， ， ， ， 。 2．点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，到 轴的距离为5。 3． 4． 。 5．动点的轨迹是平面 上的圆 。 6．（1） ； （2） ， ；（3） 。 7． 。 8． 。 9． ， 10． 11． ，与 平行的单位向量 或 。 12．（1） ； （2） ； （3） 2。 13． 。 14． 。 15． ； 。 16．略 17． ； 。 18． 。 19． ， ， 。 20． ； 。 21． ， ， 。 22．圆心 ，半径 。 23. 。 24． 。 25．（1） ；（2） （3） 。 26．所求点到平面的距离为1。 27． 。 28． 。 29． ； 。 30． 。 31． 32． 。 33．（1）平行；（2）垂直；（3）直线在平面上。 34． 。 35． 。 36． 或 。 37．投影曲线方程为 ，原曲线是平面 上的抛物线。 38．略。 39． 40．投影域分别为 EMBED Equation.3 五．证明略 六．自测练习答案。 1． 。2.（1） ，（2） 。3. 。4. 。5. 。6. 。7. 或 。8.略。 PAGE 1 _1094905494.unknown _1094906055.unknown _1094906333.unknown _1094906459.unknown _1094906565.unknown _1094906620.unknown _1094906704.unknown _1094906855.unknown _1094906990.unknown _1094908933.unknown _1094908936.unknown _1094909113.unknown _1094908924.unknown _1094908929.unknown _1094908874.unknown _1094908875.unknown _1094908675.unknown _1094906972.unknown _1094906976.unknown _1094906856.unknown _1094906877.unknown _1094906847.unknown _1094906851.unknown _1094906853.unknown _1094906854.unknown _1094906852.unknown _1094906849.unknown _1094906850.unknown _1094906848.unknown _1094906843.unknown _1094906845.unknown _1094906846.unknown _1094906844.unknown _1094906764.unknown _1094906841.unknown _1094906842.unknown _1094906840.unknown _1094906755.unknown _1094906700.unknown _1094906702.unknown _1094906703.unknown _1094906701.unknown _1094906698.unknown _1094906699.unknown _1094906696.unknown _1094906697.unknown _1094906695.unknown _1094906591.unknown _1094906602.unknown _1094906610.unknown _1094906617.unknown _1094906605.unknown _1094906597.unknown _1094906599.unknown _1094906594.unknown _1094906580.unknown _1094906586.unknown _1094906589.unknown _1094906583.unknown _1094906571.unknown _1094906578.unknown _1094906568.unknown _1094906511.unknown _1094906537.unknown _1094906551.unknown _1094906558.unknown _1094906561.unknown _1094906555.unknown _1094906545.unknown _1094906548.unknown _1094906541.unknown _1094906525.unknown _1094906531.unknown _1094906534.unknown _1094906528.unknown _1094906518.unknown _1094906522.unknown _1094906514.unknown _1094906483.unknown _1094906498.unknown _1094906504.unknown _1094906507.unknown _1094906501.unknown _1094906489.unknown _1094906493.unknown _1094906486.unknown _1094906470.unknown _1094906477.unknown _1094906480.unknown _1094906474.unknown _1094906472.unknown _1094906465.unknown _1094906468.unknown _1094906462.unknown _1094906391.unknown _1094906419.unknown _1094906435.unknown _1094906444.unknown _1094906455.unknown _1094906438.unknown _1094906427.unknown _1094906430.unknown _1094906432.unknown _1094906423.unknown _1094906405.unknown _1094906411.unknown _1094906415.unknown _1094906408.unknown _1094906398.unknown _1094906401.unknown _1094906394.unknown _1094906361.unknown _1094906378.unknown _1094906384.unknown _1094906388.unknown _1094906382.unknown _1094906372.unknown _1094906375.unknown _1094906365.unknown _1094906347.unknown _1094906354.unknown _1094906357.unknown _1094906351.unknown _1094906340.unknown _1094906344.unknown _1094906337.unknown _1094906171.unknown _1094906228.unknown _1094906305.unknown _1094906317.unknown _1094906326.unknown _1094906330.unknown _1094906322.unknown _1094906312.unknown _1094906315.unknown _1094906309.unknown _1094906245.unknown _1094906300.unknown _1094906302.unknown _1094906248.unknown _1094906236.unknown _1094906241.unknown _1094906243.unknown _1094906231.unknown _1094906200.unknown _1094906214.unknown _1094906221.unknown _1094906224.unknown _1094906217.unknown _1094906206.unknown _1094906210.unknown _1094906203.unknown _1094906186.unknown _1094906193.unknown _1094906197.unknown _1094906190.unknown _1094906179.unknown _1094906182.unknown _1094906174.unknown _1094906153.unknown _1094906161.unknown _1094906165.unknown _1094906167.unknown _1094906169.unknown _1094906166.unknown _1094906163.unknown _1094906164.unknown _1094906162.unknown _1094906157.unknown _1094906159.unknown _1094906160.unknown _1094906158.unknown _1094906155.unknown _1094906156.unknown _1094906154.unknown _1094906102.unknown _1094906149.unknown _1094906151.unknown _1094906152.unknown _1094906150.unknown _1094906115.unknown _1094906127.unknown _1094906132.unknown _1094906140.unknown _1094906143.unknown _1094906130.unknown _1094906121.unknown _1094906123.unknown _1094906118.unknown _1094906109.unknown _1094906112.unknown _1094906105.unknown _1094906070.unknown _1094906096.unknown _1094906099.unknown _1094906087.unknown _1094906062.unknown _1094906066.unknown _1094906058.unknown _1094905823.unknown _1094905950.unknown _1094906004.unknown _1094906029.unknown _1094906041.unknown _1094906048.unknown _1094906052.unknown _1094906050.unknown _1094906045.unknown _1094906042.unknown _1094906034.unknown _1094906038.unknown _1094906031.unknown _1094906017.unknown _1094906023.unknown _1094906026.unknown _1094906020.unknown _1094906011.unknown _1094906014.unknown _1094906008.unknown _1094905972.unknown _1094905992.unknown _1094905997.unknown _1094905999.unknown _1094905995.unknown _1094905982.unknown _1094905985.unknown _1094905978.unknown _1094905963.unknown _1094905968.unknown _1094905970.unknown _1094905966.unknown _1094905957.unknown _1094905960.unknown _1094905953.unknown _1094905889.unknown 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