考研数学历年真题赛尔水木0000数2

2000年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析 1、 填空题 （1） . 【答】 . 【详解】 （2）设 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数 由方程 所确定，则 . 【答】 【详解】 方法一： 根据微分形式不变性，在已知等式两边同时求微分，得 由原方程知，当 时， ，将其代入上式，得 即有 方法二： 在方程 两边对 求导，得 将 代入原方程得 ，将 ， 代入上式有： 即有 所以 （3） . 【答】 【详解】 令 则 于是 （4）曲线 的斜渐近线方程为 . 【答】 【详解】 因为 故渐近线方程为 （5）设 为4阶单位矩阵，且 ,则 ＝ . 【答】 【详解】 由 ，有 即 也即 故 二、选择题 （1）设函数 在 内连续，且 ，则常数 满足 （A） （B） （C） （D） 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 由题设， 在 内连续，因此对任意的 ，有，，这只需 即可. 另外，由 知， 所以必有 故正确答案为（D） （2）设函数 满足关系式 且 ，则 （A） 是 的极大值 （B） 是 的极小值 （C）点 是曲线 的拐点 （D） 不是 的极值，点 不是曲线 的拐点 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 因为 ，由原关系式 知 因此点 可能为拐点. 由 知 的三阶导数存在，且 可见 因此在 的左侧， ，对应曲线是下凹（上凸）的；而在 的右侧， ， 对应曲线是上凹（上凸）的. 故点 是曲线 的拐点 （3）设函数 是大于零的可导函数，且 则当 时，有 （A） （B） （C） （C） 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 由题设知 因此当 时，有 即 可见（A）为正确选选项. （4）若 则 为 （A）0 （B）6 （C）36 （D） 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 方法一： 因为 所以有 可见 ＝36 方法二： 因为 所以 （5）具有特解 的3阶常系数齐次微分方程是 （A） （B） （C） （D） 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 由特解知，对应特征方程的根为 于是特征方程为 故所求线性微分方程为 可见正确选项为（B） 三、设 计算 【详解】设 则 ，于是 从而 四、设 平面上有正方形 及直线 若 表示正方形 位于直线 的左下方部分的面积，试求 【详解】 根据题设，有 可见，当 时， 当 时 当 时， 因此 五、求函数 在 处的 阶导数 【详解】方法一： 由麦克劳林 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 及 比较 的系数得 所以 方法二： 由莱布尼茨公式 及 （ 为正整数） 得 于是可得 六、设函数 （1） 当 为正整数，且 时， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 （2） 求 【详解】 （1）当 时，主义到被积函数是非负得，于是有 又因为 是以 为周期的函数，在每一个周期上积分值相等 所以 因此当 时，有 （2）由（1）知，当 时，有 当 ，有 ，根据夹逼定理得 七、某湖泊的水量为 每年排入湖泊内含污染物 的污水量为 ，流入湖泊内不含 的污水量为 ，流出湖泊的水量为 ，已知1999年底湖中 的含量为 ，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中含 污水的浓度不超过 问至多需要经过多少年，湖泊中污染物 的含量才可降至 以内？（注：设湖水中 的浓度时均匀的） 【详解】设从2000年初（令此时， ）开始，第七年湖泊中污染物 的总量为 ，浓度为 则在时间间隔 上，排入湖泊中 的量近似为 排除量近似为 因此在时间间隔 上 的改变量为 这是可分离变量方程，解得 代入初始条件 ，得 于是 ，令 ，得 即至多需要经过 年，湖泊中污染物 的含量才可降至 以内. 八、设函数 在 上连续，且 试证明：在 内至少存在两个不同的点 ，使 【详解】 方法一： 令 则有 又因为 令 则 于是存在 ，使 因为当 ， ，所以有 ，这样九证明了 再对 在区间 ， 上分别用罗尔中值定理，知至少存在 ，使得 即 方法二： 令 则有 由罗尔中值定理知，存在 使得 若在 内 仅有一个实数根 ， 则由 可知， 在 内与 内异号. 不妨设在 内 ，于是再由 及 在 上的单调性知： 矛盾，从而推知，在 内除 外， 至少还有另一实数根 ， 故知存在两个不同的点 ，使 九、已知 是周期为5的连续函数，它在 的某个邻域内满足关系式 其中 是当 时比 高阶的无穷小，且 在 处可导，求曲线 在点 处的切线方程. 【详解】 由 两边取极限，得 即有 于是得 又因为 可见 故 由于 所以 又 存在，所以 也存在，且 故所求得切线方程为 即 十、设曲线 与 交于点 过坐标原点 和点 的直线与曲线 围成一平面图形，问 为何值时，该图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积最大？ 【详解】当 时，由 ，解得 故直线 的方程为： 于是旋转体的体积为 从而有 令 并由 ，得唯一驻点 由题意知，此旋转体在 时取最大值，其最大体积为 十一、函数 在 上可导， ，且满足等式 （1） 求导数 ； （2） 证明：当 时，不等式 成立. 【详解】 （1） 由题设知 上式两边对 求导，得 即 两边积分，得 在题设等式中令 ，得 又 ，于是 ， 代入 的表达式，得 故有 （2）方法一： 当 时， 即 单调减少，又 ，所以 设 则 当 时， ，即 单调增加， 因而 即有 综上所述，当 时，不等式有 方法二： 因 将 代入， 得 又 时， 所以 . 十二、设 ,其中 是 的转置，求解方程 【详解】 由题设，有 进一步有 代入原方程化简，得 即 令 ，代入上式，得到非齐次线性方程组 其对应的齐次方程组的通解为 （ 为任意常数） 非齐次方程组的一个特解为 于是所求方程的通解为 即 ，（ 为任意常数） 十三、已知向量组 与向量组 具有相同的秩，且 可由 线性表示，求 的值. 【详解】 方法一： 因为 和 线性无关， ，所以向量组 线性无关，且秩为2， ， 为它的一个极大线性无关组. 由于向量组 与 具有相同的秩，故 线性相关， 从而行列式 由此解得 又 可由 线性表示，从而可由 ， 线性表示， 于是 ， ， 线性相关， 因此有 化简得 ， 于是 方法二： 因 可由 线性表示，故线性方程组 有解，对增广矩阵施行初等行变换： 由非齐次线性方程有解的条件知 解得 又因为 ， 线性无关， 所以向量组 的秩为2，而题设 与 同秩， 从而有 由此解得 _1193061471.unknown _1193062249.unknown _1193065220.unknown _1193068247.unknown _1193151206.unknown _1193153683.unknown _1193157571.unknown _1193159584.unknown _1193159668.unknown _1193159952.unknown _1193160334.unknown _1193160549.unknown _1193326600.unknown _1193160377.unknown _1193160548.unknown _1193160167.unknown _1193159856.unknown _1193159862.unknown _1193159855.unknown _1193159612.unknown _1193159283.unknown _1193159382.unknown _1193159428.unknown _1193159443.unknown _1193159548.unknown _1193159419.unknown _1193159352.unknown _1193159359.unknown _1193157664.unknown _1193159227.unknown _1193157663.unknown _1193155459.unknown _1193157523.unknown _1193157541.unknown _1193155515.unknown _1193155645.unknown _1193155490.unknown _1193153788.unknown _1193153905.unknown _1193155422.unknown _1193153841.unknown _1193153759.unknown _1193153768.unknown _1193153689.unknown _1193153017.unknown _1193153281.unknown _1193153443.unknown _1193153501.unknown _1193153519.unknown _1193153471.unknown _1193153320.unknown _1193153442.unknown _1193153298.unknown _1193153135.unknown _1193153175.unknown _1193153266.unknown _1193153148.unknown _1193153109.unknown _1193153122.unknown _1193153053.unknown _1193151452.unknown _1193151602.unknown _1193151682.unknown _1193152997.unknown _1193151680.unknown _1193151679.unknown _1193151542.unknown _1193151556.unknown _1193151471.unknown _1193151312.unknown _1193151337.unknown _1193151388.unknown _1193151324.unknown _1193151230.unknown _1193151251.unknown _1193151214.unknown _1193069473.unknown _1193070018.unknown _1193070374.unknown _1193151018.unknown _1193151106.unknown _1193151192.unknown _1193151039.unknown _1193151085.unknown _1193150870.unknown _1193151005.unknown _1193150585.unknown _1193070124.unknown _1193070230.unknown _1193070354.unknown _1193070229.unknown _1193070051.unknown _1193070123.unknown _1193070029.unknown _1193069835.unknown _1193069935.unknown _1193069986.unknown _1193070002.unknown _1193069962.unknown _1193069873.unknown _1193069918.unknown _1193069853.unknown _1193069758.unknown _1193069779.unknown _1193069827.unknown _1193069770.unknown _1193069549.unknown _1193069572.unknown _1193069517.unknown _1193068954.unknown _1193069261.unknown _1193069353.unknown _1193069407.unknown 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_1193064953.unknown _1193064960.unknown _1193064746.unknown _1193064829.unknown _1193064526.unknown _1193064556.unknown _1193064633.unknown _1193064539.unknown _1193064432.unknown _1193064477.unknown _1193064407.unknown _1193063864.unknown _1193064068.unknown _1193064106.unknown _1193064130.unknown _1193064096.unknown _1193063943.unknown _1193064046.unknown _1193063910.unknown _1193063862.unknown _1193063863.unknown _1193063654.unknown _1193063734.unknown _1193063861.unknown _1193063420.unknown _1193062663.unknown _1193062904.unknown _1193063149.unknown _1193063191.unknown _1193063233.unknown _1193063118.unknown _1193063043.unknown _1193062786.unknown _1193062824.unknown _1193062858.unknown _1193062705.unknown _1193062727.unknown _1193062500.unknown _1193062568.unknown _1193062625.unknown _1193062515.unknown _1193062395.unknown _1193062483.unknown _1193062290.unknown _1193061843.unknown _1193062025.unknown _1193062038.unknown _1193062232.unknown _1193062082.unknown _1193062099.unknown 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