职高数学 《三角函数》 第二轮复习
一、高考要求：
1. 理解正角、负角及零角等概念,熟练掌握角的加、减运算;
2. 理解弧度的意义,掌握弧度和角度的换算.
二、知识要点：
1. 角的概念:角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置而成的图形,旋转开始时的射线叫角的始边,旋转终止时的射线叫角的终边,射线的端点叫角的顶点.按逆时针旋转而成的角叫正角,按顺时针旋转而成的角叫负角,当射线没作任何旋转,我们称它形成一个零角.
2. 象限角:把角置于直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就叫做第几象限的角,如果角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任一象限.
若
为第一象限的角,则
;
若
为第二象限的角,则
;
若
为第三象限的角,则
;
若
为第一象限的角,则
.
3. 终边相同的角:两个角的始边重合,终边也重合时,称两个角为终边相同的角.所有与角
终边相同的角,连同角
在内,可构成一个集合:
.
4. 弧度制:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用“弧度”作单位来度量角的
制度
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叫做弧度制,用“度”作单位来度量角的制度叫做角度制.
已知
,其中
为以角
作为圆心角时所对圆弧的长,r为圆的半径.
5. 弧度与角度的换算:
三、典型例题：
例1:已知角
,
(1) 在
内找出所有与
有相同终边的角
;
(2) 若集合
,那么集合M与N的关系是什么?
例2:若角
是第二象限角,(1)问角
是哪个象限的角? (2)角
的终边在哪里?
例3:一个扇形
的面积是1
,它的周长是4
,求圆心角的弧度数和弦长
.
四、归纳小结：
1. 角的大小
表
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示旋转量的大小,各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
2. 角的概念推广后,注意辨别:
(1)“
间的角”、“第一象限的角”、“锐角”及“小于
的角”;
(2)“第一象限的角或第二象限的角”与“终边在x轴上方的角”.
3. 正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
4. 公式
中,比值
与所取的半径大小无关,而仅与角的大小有关.
5. 弧长公式为
,扇形面积公式为
.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 下列四个命题中正确的是( )
A.第一象限角必是锐角 B.锐角必是第一象限角
C.终边相同的角必相等 D.第二象限角必大于第一象限角
2. 若
、
的终边相同,则
的终边在( )
A.x轴的正半轴上 B. y轴的正半轴上 C. x轴的负半轴上 D. y轴的负半轴上
3. 若
是第三象限角,则
是( )
A.第一或第三象限角 B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角 D.第一或第四象限角
4. 终边是坐标轴的角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
5. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )
A.
B.
C.
D.2
6. 把
表示成
的形式,使
最小的
的值是( )
A.
B.
C.
D.
（二）填空题：
7. 与
的角终边相同的最小正角是 ,与
的角终边相同的绝对值最小的角是 .
8. 若角与角
的终边在一条直线上,则
与
的关系是 .
9. 若角
在
间,则整数k的值是 .
10. 终边落在直线
上的角的集合是 .
11. 经过5小时25分钟,时针和分针分别转的弧度数是 .
12. 设、
满足
,则
的范围是 .
任意角的三角函数
一、高考要求：
1. 理解正弦、余弦、正切函数的定义,了解余切、正割、余割函数的定义;
2. 熟记三角函数在各象限的符号,牢记特殊角的三角函数值.
二、知识要点：
1. 任意角三角函数的定义:直角坐标系中任意大小的角
终边上一点P(x,y),它到原点的距离是,那么
分别是的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数,这六个函数统称三角函数.
2. 轴与有向线段:
(1) 点P的坐标x、y分别是有向线段
在x轴上和y轴上射影
和
的数量,如果x轴正向到
方向的转角为
,则
.
(2) 如果
是直角坐标系xOy中的任一条有向线段,
、
分别是
在x轴上和y轴上的正射影,x轴正向到
方向的转角为
,则
.
3. 单位园与三角函数线:半径为1的圆叫做单位圆,设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0),
(-1,0),与y轴的交点分别为B(0,1),
(0,-1).设角
的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过点P作PM垂直x轴于M,设单位圆在点A的切线与
的终边或其延长线相交于点T(
),则
cos
=OM,sin
=MP,tan
=AT(
)
把有向线段
分别称做
的余弦线、正弦线和正切线.
4. 三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
5. 特殊角三角函数值:
0
2
sin
cos
tan
三、典型例题：
例1:已知角
的终边与函数
的图象重合,求
的六个三角函数值.
例2:判断下列三角函数式的符号:
(1)
; (2)若sin
=-2cos
,确定cot
与sec
的符号.
例3:当
时,比较
,sin
,tan
的大小.
四、归纳小结：
1. 三角函数定义中比值
与角
终边上点P(x,y)的位置无关,只与
的大小有关.
2. 若角
的终边和单位圆相交于点P,则点P的坐标是P(cos
,sin
),用有向线段表示正弦值、余弦值、正切值时,要注意方向,分清始点和终点.
3. 特殊角三角函数值及三角函数在各象限的符号是根据三角函数的定义导出的.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 已知
,且
,则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2. 角
终边上的单位向量
在x轴上的正投影分量是( )
3. A.
B.
C.
D.
4.
,且
,则a、b、c的大小关系为( )
A.a
0 B.cos
>0 C.tan
>0 D.cot
<0
12. 若
,则
等于( )
A.sin
B.csc
C.-sin
D.-sec
13. 若
是第一象限,那么能确定为正值的是( )
A.
B.
C.
D.
（二）填空题：
14. 已知
,则
= .
15. 方程
有实数解,则实数m的取值范围是 .
16. 已知
,
为第二、三象限的角,则a的取值范围是 .
17. 若
,则
等于 .
同角三角函数的基本关系式
一、高考要求：
熟练掌握同角三角函数的基本关系式.
二、知识要点：
同角三角函数的两个基本关系式:
,
.
三、典型例题：
例1:已知
,
是第三象限的角,求
的其他三角函数值.
例2:求证:
.
四、归纳小结：
同角三角函数的基本关系式还有
,要求会证明.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 如果0≤x≤
,且
成立,则x的取值范围是( )
A.0≤x≤
B.0≤x≤
C.
≤x≤
或
≤x≤
D.0≤x≤
或
≤x≤
2. 若
是第三象限角,则
等于( )
A.1 B.
C.-1 D.0
3. 设角
的终边过点P(-6a,-8a)(a≠0),则sin
-cos
的值是( )
A.
B.
或
C.
或
D.
4. 已知
,且
,则cos
- sin
的值是( )
A.
B.
C.
D.
5. 函数
的值域是( )
A.{-1,1,3} B.{-3,-1,1} C.{1,3} D.{-3,1}
6. 已知
,并且
是第二象限的角,则tan
的值等于( )
A.
B.
C.
D.
7. 设
,则
的值是( )
A.1 B.2 C.-2 D.
（二）填空题：
8. 适合等式
的x的集合是 .
9. 已知
,则
的值是 .
（三）解答题：
10. 已知A是三角形的一个内角,且tanA=
,求sinA,cosA的值.
11. 已知:
,求
的值.
12. 已知
,求:
的值.
诱导公式
一、高考要求：
掌握诱导公式.
二、知识要点：
诱导公式: (一)
,
,
;
(二)
,
,
;
(三)
,
,
;
(四)
,
,
.
三、典型例题：
例1:已知
,计算: (1)
; (2)
.
例2:化简: (1)
;
(2)
.
四、归纳小结：
1. 将诱导公式中的
用
代替,即得到另外几组公式.
2. 诱导公式可概括为:
的各三角函数值,当k为偶数时,得角
的同名三角函数值;当k为奇数时,得角
相应的余函数值;然后放上把角
看作锐角时的原函数所在象限的符号.即“奇变偶不变,符号看象限”.
3. 解题思路是:负角化正角,大角化小角,最后化锐角.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 化简
等于( )
A.
B.
C.
D.
2.
的值是( )
A.
B.
C.
D.
3.
的值是( )
A.
B.
C.
D.
4. 若
,且
,则
的值是( )
A.
B.
C.
D.
5. 若
,且
,则
的值是( )
A.
B.
C.
D.
6. 若
,那么
的值是( )
A.
B.
C.
D.
（二）填空题：
7. 硬盘在电脑启动后,每3分钟转2000转,则每分钟转弧度数为
,其正弦值
= .
8.
= .
9.
= .
10. 计算
= .
（三）解答题：
11. 若
,求
的值.
12. 设
,求
的值.
和角公式
一、高考要求：
掌握和角公式.
二、知识要点：
三、典型例题：
例1:化简:
.
例2:已知
,求
.
例3:求下列各式的值:
(1)
; (2)
;
(3)
.
四、归纳小结：
要根据公式的形式特点会熟练地进行角的变形,如
,
,
,
,
等.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1.
的值是( )
A.
B.
C.- D.
2.
,则有( )
A.
B.
C.
D.
3. 化简
的结果应为( )
A.1 B.
C.
D.
4. 已知
,则
的值是( )
A.0 B.
C.0或
D.0或
5. 在
中,
的值是( )
A.
或
B.
C.
D.
6.
化简后是( )
A.
B.
C.
D.
7.
的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.
等于( )
A.
B.1 C.
D.
9. 设
,且
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
10. 若
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知
,则
的值是( )
A.
B.
C.
D.
（二）填空题：
12. 计算
= .
13. 计算
= .
14. 计算
= .
15.
,且
,则
= .
16. 已知
,则
的值是 .
17. 如果
,那么
的值等于 .
（三）解答题：
18. 已知向量
,将向量
的长度保持不变绕原点O沿逆时针方向旋转
到
的位置,求点
的坐标.
19. 已知
,
,求
的值.
20. 已知
,且
,求
.
倍角公式
一、高考要求：
掌握倍角公式.
二、知识要点：
三、典型例题：
例1:求值:
.
例2:已知
,求值:(1)
; (2)
.
四、归纳小结：
掌握二倍角公式的变形:
,
.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. (96高职)如果
,则的最简结果是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知:
,那么
的值等于( )
A.
B.
C.
D.
3.
化简的结果是( )
A.
B.
C.
D.
4. 一个等腰三角形的顶角的正弦值为
,则它的底角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
或
5. 已知
,则
的值等于( )
A.
B.
C.2 D.-2
6. 设
,则有( )
A.a>b>c B.ab>c B.ba>b D.c>b>a
3. (函数y=3sin2x-4cos2x的周期与最小值是( )
A.
;-5 B.
;-7 C.
;-5 D.2
;-7
4. 下列命题: 其中正确的是( )
①函数
在区间
内是增函数; ②函数
在区间
内是增函数;③函数
在区间
内是减函数; ④函数
在区间
内是减函数.
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
5. 若
为锐角,且
,则下列关系式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 函数
在
上的单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
7. 函数
的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
8. 设
是锐角,则的值可能是( )
A.
B.
C.
D.1
9. 函数
的周期不大于2,则正整数k的最小值应是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
10.
是( )
A.最小正周期为
的偶函数 B.最小正周期为
的奇函数
C.最小正周期为
的偶函数 D.最小正周期为
的奇函数
11. 函数
的一个对称中心是( )
A.
B.
C.
D.
12. 由函数
的图象得到函数
的图象的原因是原函数图象( )
A.向左平移
个单位 B.向左平移
个单位 C.向右平移
个单位 D.向右平移
个单位
13. 在下列函数中,以
为周期的函数是( )
A.
B.
C.
D.
14. 下列不等式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
15. 函数
的一个单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
（二）填空题：
16. 已知函数
,当x= 时,有最大值 .
17. 函数
的周期是 .
18. 函数
的值域是 .
（三）解答题：
19. 若
的最大值为
,最小值为
,求函数
的最大值、最小值及周期.
20. 已知函数
,
(1) 求该函数的周期; （2）求该函数的单调区间;
（3）说明该函数是通过
的图象作怎样的变换得到的?
三角函数中的求角问题
一、高考要求：
已知三角函数值,会求指定区间内的角度.
二、知识要点：
已知三角函数值,会求指定区间(或定义域)内x的取值集合.
思路是:先求出一个单调区间内的特解,再利用诱导公式及三角函数的周期性写出指定区间(或定义域)内x的取值集合
三、典型例题：
例1: (1)已知
,且
,求x的取值集合;
(2)已知
,且
,求x的取值集合;
(3)已知
,且
,求x的取值集合.
例2:已知
,求角
的集合.
四、归纳小结：
已知三角函数值求角,所得的角不一定只有一个,角的个数要根据角的取值范围来确定,这个范围在题目中给定.解法可分为以下几步:
(1) 根据函数值的符号,判断所求角可能的象限;
(2) 求出函数值的绝对值对应的锐角
;
(3) 根据诱导公式求出
内满足条件的角x,一般地,有
(4) 根据三角函数的周期性写出指定区间(或定义域)内x的取值集合.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 已知
,A是三角形的内角,则A的值为( )
A.
B.
C.
或
D.
2. 已知A是三角形的内角,且
,则A的值为( )
A.
B.
C.
或
D.
3. 当
,则角x等于( )
A.
B.
C.
D.
4. 方程
在
内解的个数为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
（二）填空题：
5. 已知
,且
,则x的取值是 .
6. 已知
,且
,则x的取值是 .
7. 已知
,且
,则x的取值是 .
（三）解答题：
8. 已知
,且
,求x的取值集合.
9. 已知
,求角
的集合.
解斜三角形
一、高考要求：
理解正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,并会用这三组公式解简单的有关斜三角形的问题.
二、知识要点：
1. 余弦定理:
可变形为
2. 正弦定理:
.
3. 任意三角形面积公式:
.
三、典型例题：
例1:在
中,已知
,解此三角形.
例2:在
中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若a+c=2b.
(1) 求证:
;
(2) 若
,判断此三角形的形状.
四、归纳小结：
1.解斜三角形有四种类型:
(1) 已知两角A,B与一边a,由A+B+C=
求出角C,再由
求出b,c(唯一解);
(2) 已知两边b,c与其夹角A,由
求出a,再由
及
分别求出角B,C(唯一解);
(3) 已知三边a,b,c,由余弦定理求出角A,B,C(唯一解);
(4) 已知两边a,b及其中一边的对角A,由
求出另一边的对角B,由A+B+C=
求出C,再由
求出c.而通过
求角B时,可能出现一解,两解或无解的情况.
2.根据说给条件确定三角形的形状,主要有两条途径:(1)化边为角;(2)化角为边.具体有如下四种方法:①通过正弦定理实施边角转换;②通过余弦定理实施边角转换;③通过三角变换找出角之间的关系;④通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性的讨论.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 在
中,已知
,则b等于( )
A.
B.
C.
D.
2. 在
中,
是
的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
3. 根据下列条件,确定
有两解的是( )
A.
,有两解 B.
,有一解
C.
,有两解 D.
,无解
4. 不解三角形,下列判断中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5. 在
中,已知
,则
等于( )
A.
B.
C.
或
D.
6. 在
中,已知
,则
为( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形
7. 在
中,已知
,则此三角形的最大内角=( )
A.
B.
C.
D.
8. 在
中,若
,且三角形有解,则A的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
9. 在
中,若
,此三角形的面积
,则a的值是( )
A.
B.25 C.55 D.49
（二）填空题：
10. 在
中,若
,则
= .
11. 已知三角形的三边长分别为
,则这个三角形的最大角是 .
12. 在
中,已知
,则
= .
13. 在
中,
,则
的形状是 .
（三）解答题：
14. 在
中,
,判断
的形状.
15. 在
中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且
,试确定
的形状.
- 17 -
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浙公网安备 33021202002483