3.4基本不等式的证明(1)
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学习要求
1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.
2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种
方法
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证明基本不等式.
3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.
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1． 算术平均数：
2． 几何平均数
3． 设a≥0,b≥0则
与
的关系为
4． 基本不等式的证明方法：
【精典范例】
例1．.设a、b为正数, 求证明：
点评：
１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
法(3)综合法
２．本题对a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b时成立．
３．把不等式
(a≥0,b≥0)称为基本不等式
4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等
5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．
例2. 利用基本不等式证明下列不等式：
(1) 已知a>0,求证 a+
(2).已知a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac .
(3).已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (
点评：1..基本不等式的变形公式：
(1)
(2)
(3)
(4)
2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．
３．注意严格不等式的证明方法．
思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,…,n),则
(n>1,n
N)
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．
（１）２与８
（２）３与１２
（３）Ｐ与９Ｐ
（４）２与２
２．已知a>1求证a+
≥3
３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥
４．已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证:
．
基本不等式
学习札记
几何解释
算术平均数和几何平均数
学习札记
变形及证明其它不等式
【师生互动】
学生质疑�
�
�
教师释疑�
�
�
内容及证法
用心 爱心 专心
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浙公网安备 33021202002483