高考数学第一轮复习 直线与圆、圆与圆的位置关系学案

广东饶平二中2011高考第一轮学案：直线与圆、圆与圆的位置关系 一、知识归纳： （一）直线和圆的位置关系 1．直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. ①Δ＞0，直线和圆相交；②Δ=0，直线和圆相切；③Δ＜0，直线和圆相离. 方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较. ①d＜R，直线和圆相交；②d=R，直线和圆相切；③d＞R，直线和圆相离. 2．直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况. 3．直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. （二）圆与圆的位置关系 　设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。 ；；； ； 二、学习要点： 1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定. 2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形. 3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用. 4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用. 三、例题分析： 例1、已知一个圆和轴相切，在直线上截得的弦长为，且圆心在直线上，求圆的方程。 例2．从点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆 相切，求光线所在直线的方程. 例3、已知m∈R，直线l：和圆C：。 （1）求直线l斜率的取值范围； （2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？ 例4．已知圆A的圆心在曲线上，圆A与y轴相切，又与另一圆 相外切，求圆A的方程. 例5．如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程 [来源:学&科&网] 四、练习题 （一）选择题 1．设，则直线与圆的位置关系为 A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切 2．已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜ 的三角形 A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 3．设直线过点，其斜率为1, 且与圆相切,则的值为 A．± 4．“”是“直线与圆相切”的 A充分而不必要条件． B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[来源:学科网] 5.若直线始终平分圆的周长,则 的最小值为 A． B． C． D． 7．圆与圆的位置关系是： A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 8．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 9．若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是 A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］ 10．一动圆与圆x2+y2=1和x2+y2－8x+12=0都相切，则动圆圆心轨迹为 A．.圆 B．椭圆 C．双曲线一支 D．抛物线 （二）填空题： 11．设为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为 _ . 12．已知圆和直线. 若圆与直线没有公共 点，则的取值范围是 . 13．设直线与圆相交于、两点，且弦 的长为 ，则___． 14．过点（1， 线l的斜率k＝ ． （三）解答题： 15．圆内有一点，AB为经过点P且倾斜角为的弦。 （1）当时，求弦AB的长；（2）当弦AB被点P平分时求直线AB的方程。 16．已知圆： （1）求圆心的坐标及半径的大小； （2）若不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程； （3）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求点的轨迹方程。 17．已知直线与圆交于两点，为坐标原点，求的值。 18 在平面直角坐标系中，已知圆和圆. （1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与 圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试 求所有满足条件的点P的坐标。 [来源:学§科§网] [来源:学.科.网Z.X.X.K] [来源:Zxxk.Com] 19．已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求 （1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值. （四）直线与圆、圆与圆的位置关系参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 三、例题分析： 例1.解：设所求圆的方程为：，则有 解方程组得或， 则所求圆的方程为或 例2解：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1. 设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l的距离为圆的半径1， 从而可得，化简得：，解得k1＝－，k2＝－． 故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 例3、（1）直线的方程可化为，此时斜率 因为，所以，当且仅当时等号成立 所以，斜率k的取值范围是； （2）不能.由（１知的方程为，其中； 圆Ｃ的圆心为，半径；圆心Ｃ到直线的距离 由，得，即，从而，若与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线所得 的弦所对的圆心角小于，所以不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为的两端弧； （4）解析：两圆为，， ，，则，两圆相交。选B 例4解：设圆A的方程为 则有解得或 则圆A的方程为或 例5．解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，[来源:学科网ZXXK] 则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２， 因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y） 则（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]， 即 综上所述，所求轨迹方程[来源:Zxxk.Com] （或） 四、练习题 一、选择题 1~10 CBB4C 6BBA10 解析： 1．解析 圆心到直线的距离为d=，圆半径为. ∵， ∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 选C 2．解析：由题意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形. 选B 3．解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径，∴ ，∴ a 的值±2，选B． 8．解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 选B 9．数形结合法解. 选A 二、填空题： 11． 1_ . 12． (0, ) . 13．__0__14． k＝ [来源:学_科_网] 11．解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.[来源:学§科§网Z§X§X§K] 再由d－r=2－1=1，知最小距离为1. 答案：1 12．解：由题意知，圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=0 的距离 d 必须大于圆的半径 ．因为d＝，所以0＜r＜．从而应填(0, )． 13．解析：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，，0． 14． (数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以 三、解答题： 15．解：（1）直线AB的方程是：，则圆心到直线的距离是 由勾股定理 （2）当弦AB被点P平分时，有，则 由直线方程的点斜式，可得直线AB的方程为： 16．解：（1）圆的方程可化为：，则圆心坐标为，半径 （2）依题意，可设直线的方程为，则由， 得或，即直线的方程为或 （3）因为与圆相切，切点为，则有，又 故，即 化简得：，这就是点的轨迹方程 17．解：设，由 得，则 故，即 18【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。 (1)设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离， 结合点到直线距离公式，得： 化简得： 求直线的方程为：或，即或 (2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：w.w.w.zxxk.c.o.m ，即： 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。 故有：， 化简得： 关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.zxxk.c.o.m 解之得：点P坐标为或。 19．解：（1）方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆. [来源:Z_xx_k.Com] 设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3. 所以kmax=，kmin=－. （也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之） （2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得 =，即b=－2±， 故（y－x）min=－2－. （3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+， （x2+y2）min=｜OB｜=2－. P M N O1 O2 P M N O1 O2 O y x