本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知复数，且（是虚数单位），则（ ）
A． B．或 C． D．或
2．若集合满足对任意的，有，则称集合为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是（ ）
A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．实数集
3．程序框图如下图所示，当时，输出的的值为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
4．若从区间内随机取两个数，则两个数之比不小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
6．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在第（ ）号座位上
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7．已知点，，，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8．以下有五个结论：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；
②若x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b，则x1+5，x2+5，…，x10+5的平均数为a+5，方差为b+25.；
③从总体中抽取的样本， 则回归直线=至少过点中的某一个点；其中正确结论的个数有（ ）
A．0个 B． 1 个 C．2 个 D．3个
9．已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有（ ）
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
10.已知则下列函数的图象错误的是 （ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11.已知，那么的值为________．
12．已知实数满足，则的最小值为
13．已知等差数列的公差，若，则_____.
14. 已知是曲线的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为_____.
15．函数的定义域为D，若对于任意，当时都有，则称函数在D上为非减函数，设在上为非减函数，且满足以下条件：
则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16.(本小题满分12分）
为了
宣传
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“低碳生活”，来自三个不同生活小区的3名志愿者利用周末休息时间到这三个小区进行演讲，每个志愿者随机地选择去一个生活小区，且每个生活小区只去一个人.
⑴求甲恰好去自己所生活小区宣传的概率；
⑵求3人都没有去自己所生活的小区宣传的概率.
17. （本小题满分12 ） 已知向量，函数，.
⑴求函数的最小正周期和单调递减区间；
⑵将函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图像再向左平移单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值.
18．（本小题满分12分）
EA
DA
CA
BA
PA
A如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积.
19．（本小题满分12分）
已知等差数列的公差不为0，前四项和，且成等比.
⑴求数列的通项公式；
⑵另，求；
⑶设为数列的前项和，若对一切恒成立，求实数的最小值.
20．（本小题满分13分）
在椭圆中，称过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦为椭圆的“通径”．已知椭圆的左、右焦点分别为、，其离心率为，通径长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图所示，过点的直线与椭圆交于、两点，、分别为、的内心，延长与椭圆交于点，求四边形的面积与的面积的比值；
（3）在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21. (本小题满分14分)已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设函数，
（ⅰ）若函数有且仅有一个零点时，求的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若，，求的取值范围。
16.(本小题满分12分)
解：设甲、乙、丙三人分别来自A,B,C生活小区，则安排
方案
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共有
A 甲 甲 乙 乙 丙 丙
B 乙 丙 甲 丙甲 乙
C 丙 乙 丙 甲 乙 甲 6种
⑴ ............6分 ⑵ .............12分
18（本小题满分12分）
解：
（1）连结，
因为∥，又°，
所以.
又，为中点，
所以.
所以平面，
所以. …………………6分
（2）因为平面平面，
有，
所以平面，
所以. …………12分
⑶
又 的最小值为 ........ 12分
20.解：（1）由题意可知：，通径为，解得：，
故椭圆的方程为： （3分）
（2）由于、分别为、的内心，根据内心的性质和等面积法可知：
点内切圆的半径，
同理可得：点内切圆的半径 （5分）
根据韦达定理可得：，，
由于，
则
整理可得：（为常数） （10分）
则对恒成立
即 …………………………6分
令，
则
令
，
，在上是减函数…………………8分
又，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
又 ，
即
………………14分
1
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