2019届高考数学（文科）考点清单复习10.4《直线与圆锥曲线的位置关系》PDF版

９２　　　 ５年高考 ３年模拟　 Ｂ版（教师用书） § １０．４　 直线与圆锥曲线的位置关系 对应学生用书起始页码 Ｐ２０２ 考点一　 直线与圆锥曲线位置关系的判断 　 　 判断直线 ｌ与圆锥曲线 ｒ的位置关系时，通常将直线 ｌ 的方 程 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０（Ａ、Ｂ不同时为 ０）代入圆锥曲线 ｒ的方程Ｆ（ｘ，ｙ） ＝ ０．消去 ｙ （或 ｘ） 得到一个关于变量 ｘ （或 ｙ） 的方程，即 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０， Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，{ 消去 ｙ（或 ｘ）后得 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０（或 ａｙ２＋ｂｙ＋ｃ＝ ０） ． （１）当 ａ≠０时，则　Δ＞０　时，直线 ｌ 与曲线 ｒ 相交；　Δ ＝ ０　时， 直线 ｌ与曲线 ｒ相切；　Δ＜０　时，直线 ｌ与曲线 ｒ相离． （２）当 ａ＝０时，即得到一个一次方程，则 ｌ 与 ｒ 相交，且只有 一个交点，此时，若 ｒ 为双曲线，则直线 ｌ 与双曲线的　渐近线　平 行；若 ｒ为抛物线，则直线 ｌ与抛物线的　对称轴　平行或重合． 考点二　 弦长公式 　 　 连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦． 直线 ｌ： ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，曲线 ｒ：Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０，ｌ 与 ｒ 的两个不同的交 点为 Ａ、Ｂ，Ａ（ ｘ１，ｙ１ ）、Ｂ（ ｘ２，ｙ２ ），则（ ｘ１，ｙ１ ）、（ ｘ２，ｙ２ ）是方程组 ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０， Ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０{ 的两组解．方程组消元后化为关于 ｘ（也可以是 ｙ）的 一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０（ａ≠０） ．判别式 Δ ＝ ｂ２－４ａｃ，应有 Δ＞０， 所以 ｘ１、ｘ２ 是方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０的解．由根与系数的关系求出 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － ｂ ａ ， ｘ１ｘ２ ＝ ｃ ａ ， 所 以 Ａ、 Ｂ 两 点 间 的 距 离 ｜ ＡＢ ｜ ＝ 　 １＋ｋ２ ｜ ｘ１－ｘ２ ｜ 　，此即为弦长公式．也可以写成关于 ｙ 的形式，弦 长公式为 ｜ＡＢ ｜ ＝ 　 １＋ １ ｋ２ ｜ ｙ１－ｙ２ ｜（ｋ≠０）　 ． 考点三　 点差法 　 　 １．ＡＢ是椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞ｂ＞０）的一条弦，弦中点 Ｍ 的坐标 为（ｘ０，ｙ０ ），则 ＡＢ 的斜率为－ ｂ２ｘ０ ａ２ｙ０ ．运用点差法求 ＡＢ 的斜率， 设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２） ．∵ Ａ、Ｂ都在椭圆上， ∴ ｘ２１ ａ２ ＋ ｙ２１ ｂ２ ＝ １， ｘ２２ ａ２ ＋ ｙ２２ ｂ２ ＝ １， ì î í ï ï ï ï 两式相减得 ｘ２１－ｘ２２ ａ２ ＋ ｙ２１－ｙ２２ ｂ２ ＝ ０， ∴ （ｘ１－ｘ２）（ｘ１＋ｘ２） ａ２ ＋ （ｙ１－ｙ２）（ｙ１＋ｙ２） ｂ２ ＝ ０， 即 ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝－ ｂ２（ｘ１＋ｘ２） ａ２（ｙ１＋ｙ２） ＝ － ｂ２ｘ０ ａ２ｙ０ ．故 ｋＡＢ ＝－ ｂ２ｘ０ ａ２ｙ０ ． ２．运用类比的方法可以推出：已知 ＡＢ 是双曲线 ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １的 弦，弦中点Ｍ（ｘ０，ｙ０），则 ｋＡＢ ＝ ｂ２ｘ０ ａ２ｙ０ ； 已知抛物线 ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ＞０）的弦 ＡＢ的中点 Ｍ（ ｘ０，ｙ０），则 ｋＡＢ ＝ ｐ ｙ０ ． 【知识拓展】 １．如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存在的情 况，为了避免讨论，过焦点的直线可设为 ｘ＝ｍｙ＋ｃ． ２．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实 际上是研究由它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解 的个数问题． ３．解方程组 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０， ｆ（ｘ，ｙ）＝ ０{ 时，若消去 ｙ，则得到关于 ｘ 的方 程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０，这时要考虑 ａ＝ ０和 ａ≠０两种情况，对双曲线和 抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除 ａ≠０，Δ ＝ ０ 外， 当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物 线的对称轴平行或重合时，只有一个交点． ４．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而 不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设 而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线 的定义求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对应学生用书起始页码 Ｐ２０３ 方法 １　 圆锥曲线中弦长的求法 　 　 对于弦长问题，常采用“设而不求”的策略，利用弦长公式求 解．求解方法有：①求出两交点坐标，用两点间距离公式求解； ②用弦长公式： ｜ ＡＢ ｜ ＝ １＋ｋ２ ｜ ｘ１－ｘ２ ｜或 ｜ ＡＢ ｜ ＝ １＋ １ ｋ２ ｜ ｙ１ －ｙ２ ｜ （ｋ≠０），其中 ｋ为直线 ＡＢ的斜率，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２） ． 　 （２０１８山西孝义模拟，２０）已知椭圆 Ｃ： ｘ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞ ｂ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１、Ｆ２，且点 Ｆ１ 到椭圆 Ｃ 上任意一点 的最大距离为 ３，椭圆 Ｃ的离心率为 １ ２ ． （１）求椭圆 Ｃ的标准方程； （２）是否存在斜率为－１的直线 ｌ与以线段 Ｆ１Ｆ２ 为直径的圆 相交于 Ａ、Ｂ两点，与椭圆相交于 Ｃ、Ｄ，且 ｜ＣＤ ｜ ｜ ＡＢ ｜ ＝ ８ ３ ７ ？ 若存在， 求出直线 ｌ的方程；若不存在，说明理由． 解析　 （１）根据题意，设 Ｆ１，Ｆ２ 的坐标分别为（－ｃ，０），（ｃ，０）， 由题意可得 ａ＋ｃ＝ ３， ｃ ａ ＝ １ ２ ，{ 解得 ａ＝ ２，ｃ＝ １，则 ｂ２ ＝ａ２－ｃ２ ＝ ３， 故椭圆 Ｃ的标准方程为 ｘ２ ４ ＋ ｙ ２ ３ ＝ １． （２）假设存在斜率为－１的直线 ｌ，设为 ｙ＝－ｘ＋ｍ， 由（１）知 Ｆ１，Ｆ２ 的坐标分别为（－１，０），（１，０）， 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第十章　 圆锥曲线 ９３　　　 所以以线段 Ｆ１Ｆ２ 为直径的圆为 ｘ２＋ｙ２ ＝ １， 由题意知圆心（０，０）到直线 ｌ的距离 ｄ＝ ｜ －ｍ ｜ ２ ＜１， 得 ｜ｍ ｜ ＜ ２ ． ｜ ＡＢ ｜ ＝ ２ １－ｄ２ ＝ ２ １－ ｍ２ ２ ＝ ２ × ２－ｍ２ ， 联立得 ｘ２ ４ ＋ ｙ ２ ３ ＝ １， ｙ＝－ｘ＋ｍ， { 消去 ｙ，得 ７ｘ２－８ｍｘ＋４ｍ２－１２＝ ０， 由题意得 Δ ＝ （－８ｍ） ２ －４×７（４ｍ２ －１２）＝ ３３６－４８ｍ２ ＝ ４８（７－ ｍ２）＞０，解得 ｍ２＜７， 设 Ｃ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２）， 则 ｘ１＋ｘ２ ＝ ８ｍ ７ ，ｘ１ｘ２ ＝ ４ｍ２－１２ ７ ， ｜ ＣＤ ｜ ＝ ２ ｜ ｘ１ － ｘ２ ｜ ＝ ２ × ８ｍ ７( ) ２ －４× ４ｍ２－１２ ７ ＝ ２ × ３３６－４８ｍ２ ４９ ＝ ４ ６ ７ × ７－ｍ２ ＝ ８ ３ ７ ｜ ＡＢ ｜ ＝ ８ ３ ７ × ２ × ２－ｍ２ ， 解得 ｍ２ ＝ １ ３ ＜７，得 ｍ＝± ３ ３ ． 即存在符合条件的直线 ｌ，其方程为 ｙ＝－ｘ± ３ ３ ． 　 　 １－１　 （２０１６河南重点中学 ４月联考，１１）已知直线 ｌ：ｙ ＝ ２ｘ ＋３被椭圆 Ｃ： ｘ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞ｂ＞０）截得的弦长为 ７，则下列直线中 被椭圆 Ｃ截得的弦长一定为 ７的有 （　 　 ） ①ｙ＝ ２ｘ－３；②ｙ＝ ２ｘ＋１；③ｙ＝－２ｘ－３；④ｙ＝－２ｘ＋３． Ａ．１条 Ｂ．２条 Ｃ．３条 Ｄ．４条 答案　 Ｃ 解析　 直线 ｙ＝ ２ｘ－３与直线 ｌ关于原点对称，直线 ｙ ＝ －２ｘ －３与直线 ｌ关于 ｘ轴对称，直线 ｙ ＝ －２ｘ＋３ 与直线 ｌ 关于 ｙ 轴对 称，故有 ３条直线被椭圆 Ｃ截得的弦长一定为 ７． 　 　 １－２　 （２０１８辽宁沈阳一模，２０）设 Ｏ 为坐标原点，动点 Ｍ 在椭圆 ｘ２ ９ ＋ ｙ ２ ４ ＝ １上，过 Ｍ 作 ｘ 轴的垂线，垂足为 Ｎ，点 Ｐ 满足 ＮＰ→＝ ２ＮＭ→． （１）求点 Ｐ的轨迹方程 Ｅ； （２）过 Ｆ（１，０）的直线 ｌ１ 与点 Ｐ 的轨迹交于 Ａ、Ｂ 两点，过 Ｆ（１，０）作与 ｌ１ 垂直的直线 ｌ２ 与点 Ｐ 的轨迹交于 Ｃ、Ｄ 两点，求 证： １ ｜ ＡＢ ｜ ＋ １ ｜ＣＤ ｜ 为定值． 解析　 （１）设 Ｐ（ｘ，ｙ），则 Ｎ（ｘ，０），ＮＰ→＝（０，ｙ）， 又∵ ＮＭ→＝ １ ２ ＮＰ→＝ ０， ｙ ２ æ è ç ö ø ÷ ，∴ Ｍ ｘ， １ ２ ｙæ è ç ö ø ÷ ， 由点 Ｍ在椭圆上，得 ｘ２ ９ ＋ ｙ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ １，即 ｘ２ ９ ＋ ｙ ２ ８ ＝ １． 即点 Ｐ的轨迹方程 Ｅ为 ｘ２ ９ ＋ ｙ ２ ８ ＝ １． （２）证明：当 ｌ１ 与 ｘ轴重合时， ｜ ＡＢ ｜ ＝ ６， ｜ＣＤ ｜ ＝ １６ ３ ， ∴ １ ｜ ＡＢ ｜ ＋ １ ｜ＣＤ ｜ ＝ １７ ４８ ． 当 ｌ１ 与 ｘ轴垂直时， ｜ ＡＢ ｜ ＝ １６ ３ ， ｜ＣＤ ｜ ＝ ６， ∴ １ ｜ ＡＢ ｜ ＋ １ ｜ＣＤ ｜ ＝ １７ ４８ ． 当 ｌ１ 与 ｘ 轴不垂直也不重合时，可设 ｌ１ 的方程为 ｙ ＝ ｋ（ ｘ－ １）（ｋ≠０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 则 ｌ２ 的方程为 ｙ＝－ １ ｋ （ｘ－１） ． 联立得 ｙ＝ ｋ（ｘ－１）， ｘ２ ９ ＋ ｙ ２ ８ ＝ １，{ 消去 ｙ， 得（８＋９ｋ２）ｘ２－１８ｋ２ｘ＋９ｋ２－７２＝ ０， 则 ｘ１＋ｘ２ ＝ １８ｋ２ ８＋９ｋ２ ，ｘ１ｘ２ ＝ ９ｋ２－７２ ８＋９ｋ２ ， ∴ ｜ ＡＢ ｜ ＝ １＋ｋ２ （ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ２ ＝ ４８（１＋ｋ２） ８＋９ｋ２ ， 同理可得 ｜ＣＤ ｜ ＝ ４８（１＋ｋ２） ９＋８ｋ２ ， ∴ １ ｜ ＡＢ ｜ ＋ １ ｜ＣＤ ｜ ＝ ８ ＋９ｋ２ ４８（ｋ２＋１） ＋ ９ ＋８ｋ２ ４８（ｋ２＋１） ＝ １７ ４８ ，为定值． 综上， １ ｜ ＡＢ ｜ ＋ １ ｜ＣＤ ｜ 为定值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方法 ２　 圆锥曲线中弦中点问题的解法 　 　 涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问 题时，常用“点差法” “设而不求法”，并借助一元二次方程根的 判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解，但在求 得直线方程后，一定要代入原方程进行检验． 设点 — 设出弦的两端点坐标 ↓ 代入 — 代入圆锥曲线方程 ↓ 作差 — 两式相减 ↓ 整理 — 转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 　 已知点 Ａ、Ｂ的坐标分别是（－１，０）、（１，０），直线 ＡＭ、 ＢＭ相交于点 Ｍ，且它们的斜率之积为－２． （１）求动点 Ｍ的轨迹方程； （２）若过点 Ｎ １ ２ ，１( )的直线 ｌ 交动点 Ｍ 的轨迹于 Ｃ、Ｄ 两 点，且 Ｎ为线段 ＣＤ的中点，求直线 ｌ的方程． 解析　 （１）设 Ｍ（ｘ，ｙ）， 因为 ｋＡＭ·ｋＢＭ ＝－２，所以 ｙ ｘ＋１ · ｙ ｘ－１ ＝－２（ｘ≠±１）， 化简得 ２ｘ２＋ｙ２ ＝ ２（ｘ≠±１），即为动点 Ｍ的轨迹方程． （２）设 Ｃ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２） ． 解法一：当直线 ｌ⊥ ｘ 轴时，直线 ｌ 的方程为 ｘ ＝ １ ２ ，则 Ｃ １ ２ ， ６ ２ æ è ç ö ø ÷ ，Ｄ １ ２ ，－ ６ ２ æ è ç ö ø ÷ ，此时 ＣＤ的中点不是 Ｎ，不合题意． 故设直线 ｌ的方程为 ｙ－１＝ ｋ ｘ－ １ ２( ) ， 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９４　　　 ５年高考 ３年模拟　 Ｂ版（教师用书） 将 Ｃ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２）代入 ２ｘ２＋ｙ２ ＝ ２（ｘ≠±１）得 ２ｘ２１＋ｙ２１ ＝ ２， ① ２ｘ２２＋ｙ２２ ＝ ２， ② ①－②整理得 ｋ＝ ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝－ ２（ｘ１＋ｘ２） ｙ１＋ｙ２ ＝－ ２×２× １ ２ ２×１ ＝ －１， ∴ 直线 ｌ的方程为 ｙ－１＝－１× ｘ－ １ ２( ) ， 即所求直线 ｌ的方程为 ２ｘ＋２ｙ－３＝ ０． 解法二：当直线 ｌ⊥ ｘ 轴时，直线 ｌ 的方程为 ｘ ＝ １ ２ ，则 Ｃ １ ２ ， ６ ２ æ è ç ö ø ÷ ，Ｄ １ ２ ，－ ６ ２ æ è ç ö ø ÷ ，此时 ＣＤ的中点不是 Ｎ，不合题意． 故设直线 ｌ的方程为 ｙ－１＝ ｋ ｘ－ １ ２( ) ，将其代入 ２ｘ２＋ｙ２ ＝ ２（ｘ ≠±１），化简得（２＋ｋ２）ｘ２＋２ｋ １－ ｋ ２( ) ｘ＋ １－ ｋ２( ) ２ －２＝ ０（ｘ≠±１）， 所以 ４ｋ２ １－ ｋ ２( ) ２ －４（２＋ｋ２） １－ ｋ ２( ) ２ －２[ ] ＞０， ① 由根与系数的关系得 ｘ１＋ｘ２ ＝－ ２ｋ １－ ｋ ２( ) ２＋ｋ２ ， ｘ１·ｘ２ ＝ １－ ｋ ２( ) ２ －２ ２＋ｋ２ ， ì î í ï ï ï ï ï ï 又由 Ｎ为线段 ＣＤ 的中点得 ｘ１＋ｘ２ ２ ＝ － ｋ １－ ｋ ２( ) ２＋ｋ２ ＝ １ ２ ，解得 ｋ ＝－１，将 ｋ＝－１代入①中可知满足条件． 此时直线 ｌ的方程为 ｙ－１＝－１× ｘ－ １ ２( ) ， 即所求直线 ｌ的方程为 ２ｘ＋２ｙ－３＝ ０． 　 　 ２－１　 已知直线 ｙ＝ １－ｘ 与双曲线 ａｘ２ ＋ｂｙ２ ＝ １（ａ＞０，ｂ＜０）的 渐近线交于 Ａ、Ｂ两点，且过原点和线段 ＡＢ中点的直线的斜率为 － ３ ２ ，则 ａ ｂ 的值为 （　 　 ） Ａ．－ ３ ２ Ｂ．－ ２ ３ ３ Ｃ．－ ９ ３ ２ Ｄ．－ ２ ３ ２７ 答案　 Ａ 解析　 由双曲线 ａｘ２＋ｂｙ２ ＝ １知其渐近线方程为 ａｘ２＋ｂｙ２ ＝ ０，设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ ｘ２，ｙ２），则有 ａｘ２１ ＋ｂｙ２１ ＝ ０①，ａｘ２２ ＋ｂｙ２２ ＝ ０②，由 ①－②得 ａ（ ｘ２１ －ｘ２２）＝ －ｂ（ ｙ２１ －ｙ２２） ．即 ａ（ ｘ１ ＋ｘ２） （ ｘ１ －ｘ２）＝ －ｂ（ｙ１ ＋ ｙ２）（ｙ１－ｙ２），由题意可知 ｘ１≠ｘ２，且 ｘ１ ＋ｘ２≠０，∴ ｙ１＋ｙ２ ｘ１＋ｘ２ · ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝ － ａ ｂ ，设 ＡＢ的中点为 Ｍ（ｘ０，ｙ０），则 ｋＯＭ ＝ ｙ０ ｘ０ ＝ ２ｙ０ ２ｘ０ ＝ ｙ１＋ｙ２ ｘ１＋ｘ２ ＝ － ３ ２ ， 又知 ｋＡＢ ＝－１，∴ － ３ ２ ×（－１）＝ － ａ ｂ ，∴ ａ ｂ ＝－ ３ ２ ，故选 Ａ． 　 　 ２－２　 （２０１７河北唐山模拟，１９）已知中心在原点，一焦点为 Ｆ（０，４）的椭圆被直线 ｌ：ｙ ＝ ３ｘ－２ 截得的弦的中点横坐标为 １ ２ ， 求此椭圆的方程． 解析　 由椭圆被直线 ｌ：ｙ ＝ ３ｘ－２ 截得的弦的中点横坐标 为 １ ２ ，可得其纵坐标为 ｙ ＝ ３ × １ ２ － ２ ＝ － １ ２ ，可得中点坐标 为 １ ２ ，－ １ ２( ) ． 设椭圆的方程为 ｙ２ ａ２ ＋ ｘ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞ｂ＞０） ． 设直线 ｌ与椭圆交于点 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 则 ｙ２１ ａ２ ＋ ｘ２１ ｂ２ ＝ １， ｙ２２ ａ２ ＋ ｘ２２ ｂ２ ＝ １， 相减可得 （ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２） ａ２ ＋ （ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２） ｂ２ ＝ ０， 又 ｙ１＋ｙ２ ＝－１，ｘ１＋ｘ２ ＝ １， ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝ ３， ∴ －３ ａ２ ＋ １ ｂ２ ＝ ０， 又 ａ２－ｂ２ ＝ ４２， 联立解得 ａ２ ＝ ２４，ｂ２ ＝ ８． ∴ 此椭圆的方程为 ｙ２ ２４ ＋ ｘ ２ ８ ＝ １． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋