3.3.2 二元一次不等式组
表
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示的平面区域
1．了解二元一次不等式的几何意义，会画二元一次不等式表示的平面区域．(重点)
2．能从实际情境中抽象出二元一次不等式组，能用平面区域表示二元一次不等式组．(难点)
3．二元一次不等式(组)与平面区域的等价转化．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 二元一次不等式表示的平面区域
阅读教材P82～P83的有关内容，完成下列问题．
1．一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域：y>kx＋b表示直线上方的平面区域；y
0表示的平面区域内，则Ax0＋By0＋C>0.( )
(3)不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域不包括边界直线．( )
【
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 二元一次不等式组表示的平面区域
阅读教材P84～P86的有关内容，完成下列问题．
二元一次不等式组表示的平面区域，是构成不等式组的各个不等式所表示平面区域的公共部分．
表示图331中阴影部分的二元一次不等式组是________．
图331
【解析】 写出各边所在直线方程，逐一检验．
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问2：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问3：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
疑问4：_________________________________________________
解惑：_________________________________________________
[小组合作型]
二元一次不等式表示的平面区域
画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)2x＋y－10<0；
(2)y≥－2x＋3.
【精彩点拨】 画直线―→特殊点定域―→平面区域
【自主解答】 (1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)．
取原点(0,0)，代入2x＋y－10，
∵2×0＋0－10<0，
∴原点在2x＋y－10<0表示的平面区域内，
不等式2x＋y－10<0表示的平面区域如图所示．
(2)先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．
取原点(0,0)，代入2x＋y－3，
∵2×0＋0－3<0，
∴原点不在2x＋y－3≥0表示的平面区域内，不等式y≥－2x＋3所表示的平面区域如图所示．
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的
方法
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，其一般步骤是：
(1)“直线定界”，即画出边界直线Ax＋By＋C＝0，若有等号，则画实线；若无等号，则画虚线．
(2)“特殊点定域”，即取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，根据Ax0＋By0＋C的符号确定出相应的不等式表示的平面区域．一般地，当C＝0时，常把(1,0)或(0,1)作为特殊点；当C≠0时，取(0,0)作为特殊点．
[再练一题]
1．画出不等式3x＋2y＋6>0表示的区域．
【解】 如图：
第一步：画出直线3x＋2y＋6＝0(注意应画成虚线)，
第二步：直线不过原点，把原点坐标(0,0)代入3x＋2y＋6得6>0，
∴不等式表示的区域为原点所在的一侧．
二元一次不等式组表示的平面区域的面积
求由不等式组
【精彩点拨】 作图→图形分割→求面积之和→求周长
【自主解答】 作出由不等式组所确定的平面区域(阴影部分)，
其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)．
过P点作y轴的垂线，垂足为C，
于是点C的坐标为(0,4)．
则AC＝|5－4|＝1，PC＝|1－0|＝1，OC＝4，OB＝3，AP＝
得S△ACP＝
所以面积＝S△ACP＋S梯形COBP＝
求不等式组表示的平面区域面积的步骤
先画出不等式组表示的平面区域，然后根据平面区域的形状求面积．
(1)若图形为规则图形，则直接用面积公式求解；
(2)若图形为不规则图形，可采取分割方法，将区域划为几个规则图形后再求解．
[再练一题]
2．若不等式组
【解析】 由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且a>－1，∵S△ABC＝2，
∴
【答案】 3
[探究共研型]
由平面区域求不等式(组)
探究1 如图332，如何求解直线l的方程？
图332
【提示】 可利用截距式(或两点式)求其方程为x＋y＝1.
探究2 如图332中的平面区域如何表示？
【提示】 由于边界是实线，且点(0,0)不在该区域内，故其表示x＋y≥1的部分组成的平面区域．
在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC(包括边界)内部所对应的二元一次不等式组．
【精彩点拨】 先由两点式求方程，画出草图，再由图写出不等式组．
【自主解答】 如图，直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
把(0,0)代入x＋2y－1＝－1<0，
而(0,0)不在三角形区域内．
∴AB右上方的区域为x＋2y－1>0.
同理BC右下方的区域为x－y＋2>0.
又∵包含边界，
∴不等式组应为
在已知平面区域的前提下，用不等式(组)表示已知平面区域，可在各条直线外任取一点，将其坐标代入Ax＋By＋C，判断其正负，确定每一个不等式．
[再练一题]
3．写出图333中平面区域所对应的不等式组．
图333
【解】 直线AC的方程为y＝2x，直线AB的方程为y＝
[构建·体系]
1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是________．
①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)．
【解析】 把各点分别代入3x＋2y<6，不满足该不等式的即为答案．经检验点(2,0)满足题意．
【答案】 ④
2．不等式组
图334
【解析】 由题意可知x＋3y＋6＝0是实线，x－y＋2＝0是虚线，故③正确．
【答案】 ③
3．图335中的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为________.
【导学号：91730060】
图335
【解析】 直线过(4,0)，
故直线为2x＋3y－8＝0，
则阴影部分表示为2x＋3y－8≥0.
【答案】 2x＋3y－8≥0
4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．
【解析】 2×(－2)－3t＋6<0，∴t>
【答案】
5．求不等式组
【解】 画出平面区域如图阴影部分所示，平面区域图形为直角三角形，
面积S＝
当x＝1时，代入4x＋3y≤12，
得y≤
∴整点为(1,2)，(1,1)．
当x＝2时，代入4x＋3y≤12，
得y≤
∴整点为(2,1)．
综上可知，平面区域的面积为6，平面区域内的整点坐标为(1,1)，(1,2)和(2,1)．
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________
(2)_________________________________________________
我的课下提升
方案
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(1)_________________________________________________
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学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知点P1(0,0)，P2(2,1)，P3
【解析】 将P1，P2，P3坐标代入检验，3×0－5×0－1＝－1<0,3×2－5×1－1＝0,3×
【答案】 P2，P3
2．满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点P(x，y)所在的平面区域是________．
图336
【解析】 原不等式等价于
或
【答案】 ②
3．设P(x，y)，其中x，y∈N，则满足2x＋y≤6的点的个数为________．
【解析】 由题意知，即求
作出平面区域如图所示，只有7＋5＋3＋1＝16个点．
【答案】 16
4．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意可知
(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
∴－10，代入x＋2y＋1，得1>0；代入2x＋y＋1，得1>0.
结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为
【答案】
7．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
【解析】 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内，则
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则
∴－1
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