第八节 函数与方程
[考纲传真] 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.
(对应学生用书第24页)
[基础知识填充]
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
2.二分法
每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
与x轴的交点
(x1,0),
(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
[知识拓展]
1.函数f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的曲线,则“f(a)·f(b)<0”是函数f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件.
2.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.( )
(2)函数y=f(x),x∈D在区间(a,b)⊆D内有零点(函数图像连续不断),则f(a)·f(b)<0.( )
(3)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )
(4)二次函数y=ax2+bx+c在b2-4ac<0时没有零点.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)函数f(x)=ex+3x的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
B [∵f(-1)=
∴f(x)在(-1,0)内有零点,
又f(x)为增函数,∴函数f(x)有且只有一个零点.]
3.(2015·安徽高考)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A.y=cos x
B.y=sin x
C.y=ln x
D.y=x2+1
A [由于y=sin x是奇函数;y=ln x是非奇非偶函数,y=x2+1是偶函数但没有零点,只有y=cos x是偶函数又有零点.]
4.(2016·江西赣中南五校联考)函数f(x)=3x-x2的零点所在区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(-2,-1)
D.(-1,0)
D [∵f(-2)=-
f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,
∴f(0)f(1)>0,f(1)f(2)>0,
f(-2)f(-1)>0,f(-1)f(0)<0,故选D.]
5.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________.
由题意可得f(-1)f(1)<0,
∴(-3a+1)·(1-a)<0,解得
∴实数a的取值范围是
(对应学生用书第25页)
函数零点所在区间的判断
(1)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )
A.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
(2)(2018·唐山模拟)设x0是方程
A.
C.
(1)A (2)B [(1)∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,
由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b)和(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选A.
(2)构造函数f(x)=
因为f(0)=
f
[规律方法] 判断函数零点所在区间的方法:
判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处理,当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时,可画出图像判断.
[变式训练1] (1)已知函数f(x)=ln x-
( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
(2)(2018·衡阳模拟)已知[x]
表
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示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln x-
A.1
B.2
C.3
D.4
(1)C (2)B [(1)∵f(x)=ln x-
又f(1)=ln 1-
f(2)=ln 2-
f(3)=ln 3-
∴x0∈(2,3),故选C.
(2)f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3-
判断函数零点的个数
(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)=
(1)B (2)3 [(1)令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,
可得|log0.5x|=
设g(x)=|log0.5x|,h(x)=
(2)当x>0时,作函数y=ln x和y=x2-2x的图像,
由图知,当x>0时,f(x)有2个零点;
当x≤0时,由f(x)=0得x=-
综上,f(x)有3个零点.]
[规律方法] 判断函数零点个数的方法:
(1)解方程法:所对应方程f(x)=0有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)零点存在性定理法:利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.
(3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.
[变式训练2] (1)(2015·湖北高考)函数f(x)=2sin xsinx+
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程f(x)=log3|x|的解的个数是( )
A.0
B.2
C.4
D.6
(1)2 (2)C [(1)f(x)=2sin xsin
设y1=sin 2x,y2=x2,在同一平面直角坐标系中画出二者的图像,如图所示.
由图像知,两个函数图像有2个交点,故函数f(x)有两个零点.
(2)画出周期函数f(x)和y=log3|x|的图像,如图所示,则方程f(x)=log3|x|的解的个数是4.
]
函数零点的应用
(2017·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根,求a的取值范围.
[思路点拨] 先作出函数f(x)的图像,根据方程有三个不同的根,确定应满足的条件.
[解] 由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为4,又函数为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),
所以函数图像关于x=2对称,且f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=logax有三个不同的根,
则满足
故a的取值范围是(
[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.
[变式训练3] (1)函数f(x)=2x-
A.(1,3)
B.(1,2)
C.(0,3)
D.(0,2)
(2)(2016·山东高考)已知函数f(x)=
(1)C (2)(3,+∞) [(1)∵函数f(x)=2x-
(2)作出f(x)的图像如图所示.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m2
0.又m>0,解得m>3.]