几何证明选讲参考答案

几何证明选讲参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一、平行截割定理与相似三角形 【例1】解析　如图所示，延长BA、CD交于点P，∵AD∥BC，∴＝＝， ∴＝，又∵＝，∴＝，∴＝，∴＝.∵AD∥EF，∴＝＝，又AD＝2，∴EF＝. 答案　 【训练1】 解析　由⇒＝＝＝，又DF＝1，故可解得AF＝2，∴AD＝3， 又＝，∴AB＝. 答案　 【例2】证明　过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∴CE＝BE＝BC，由BD⊥AC，AE⊥BC. 又∴∠C＝∠C，∴△AEC∽△BDC. ∴＝，∴＝， 即BC2＝2CD·AC. 【训练2】解析　因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以＝，即＝，所以BC＝10.又DF∥AC，所以四边形DECF是平行四边形，故BF＝BC－FC＝BC－DE＝10－6＝4. 答案　4 【例3】解析　如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90° 设AD＝x，∵CD⊥AB于D， ∴由射影定理得CD2＝AD·DB， 即62＝x(13－x)， ∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9. ∵AD＞BD，∴AD＝9. 答案　9 【训练3】解析　如图所示，在Rt△ACB中， CD⊥AB，由射影定理得： CD2＝AD·BD， 又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x， BD＝3x(x＞0)， ∴CD2＝6x2，∴CD＝x. 又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD. 易知△ACD与△CBD的相似比为＝＝. 即相似比为∶3. 答案　∶3 二、圆周角定理与圆的切线 【例1】解析　连接AD，BC.因为AB是圆O 的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°. 又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝，所以cos∠DAP＝. 又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝. 答案　 【训练1】 解析　连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π. 答案　16π 【例2】解析　∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB. 又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC， ∴△EAB∽△ABC，∴＝. 又AE∥BC，∴＝，∴＝. 又AD∥BC，∴＝， ∴AB＝CD，∴＝，∴＝， ∴EF＝＝. 答案　 【训练2】证明　(1)因为＝， 所以∠BCD＝∠ABC. 又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故＝， 即BC2＝BE×CD. 三、圆幂定理与圆内接四边形 【例1】 解析　延长DO交圆O于另一点F，易知OD＝1，则AD＝＝.由相交弦定理得，AD·DE＝BD·DF，即·DE＝1×3，DE＝. 答案　 【训练1】解析　依题AP＝PB＝a，由PD·CP＝AP·PB，得CP＝＝a. 答案　a 【例2】解析　如图所示，连接CE，∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线， ∴PA2＝PB·PC.又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15. ∵PA切⊙O于A， ∴∠PAB＝∠ACP. 又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA. ∴＝＝＝. ∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°. ∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝6，AB＝3. 又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB， ∴△ACE∽△ADB，∴＝. ∴AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90. 答案 90 【训练2】证明　由题意可知∠APC＝90°，连BP，则∠APB＝90°，∴B、P、C在同一直线上，即P点在BC上，由于AB⊥AC，易证Rt△APB∽Rt△CAB. ∴＝，即AB2＝BP·BC，又由切割线定理，得BE2＝BP·BC，∴AB＝BE，又Rt△APB∽Rt△CAB， ∴＝，即AP·BC＝AB·AC， ∴AP·BC＝BE·AC. 【例3】证明　(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆． (2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，① ∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径， ∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，② 而∠QSP＝∠QRH，③ 由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK， 又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS. 【训练3】证明　(1)如图，连接BC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°. 又∠EAG＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠AEG. 又∠FDC＝∠ABC， ∴∠FDC＝∠AEG. ∴∠FDC＋∠CEF＝180°. ∴C，D，F，E四点共圆． (2)∵GH为⊙O的切线，GCD为割线， ∴GH2＝GC·GD. 由C，D，F，E四点共圆， 得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF. ∴△GCE∽△GFD. ∴＝， 即GC·GD＝GE·GF.∴CH2＝GE·GF. 高考题练习 1．【答案】 【解析】作出图如下。 由切割线定理得PA2=PB·PC，∴PC=4， 2．【答案】30°；3 【解析】连结OC，则OC//AD，CB=OB=OC， ∴∠COB=∠EAO=60°，∠CAO=30°， ∴∠DAC=30°； Rt△AEB≌Rt△BCA， ∴BC=AE=3。 3． 【答案】 【解析】因为ABCD四点共圆，所以∠∠PCB， ∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以∽，所以，设PC=x，PB=y，则有，即，所以 4、 【答案】6 【解析】根据切线长定理 所以 5．【答案】 【解析】（方法一）∵易知，又由切割线定理得， ∴.于是，.故所求. （方法二）连，∵易知是斜边上的高，∴由射影定理得，.故所求. 6．【答案】5; 【解析】首先由割线定理不难知道，于是，又，故为直径，因此，由勾股定理可知，故. 7、【答案】2 [解析] 因为CD＝，且OC为⊙O的半径，是定值，所以当OD取最小值时，CD取最大值．显然当OD⊥AB时，OD取最小值，故此时CD＝AB＝2，即为所求的最大值． 8、【答案】A　 [解析] 本题考查了平面几何圆与三角形，特别是重点考查了射影定理等知识． 对于A，CE·CB＝CD2＝AD·DB； 对于B，CE·CB＝CD2≠AC2＝AD·AB； 对于C，CD2＝AD·DB≠AD·AB； 对于D，ED2＝CE·EB≠CD2. 9. 【答案】　 [解析] 考查平面几何中圆周角定理以及弦切角定理等，解题关键是通过连接OA，在△AOP中利用勾股定理求出．连接OA，则OA⊥PA，根据圆周角定理得：∠AOP＝60°，所以PO＝2，OA＝1，在直角三角形AOP中利用勾股定理得：PA＝＝. 10. 【答案】　[解析] 设圆的半径为r，由圆的割线定理可得，PA·PB＝(PO－r)(PO＋r)，把 PA＝1，PB＝1＋2＝3，PO＝3代入求解得3＝9－r2，∴r＝. 11．【答案】5　 [解析] 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理．连接AD，在Rt△ABD中，DE⊥AB，所以DE2＝AE×EB＝5，在Rt△EBD中，EF⊥DB，所以DE2＝DF×DB＝5. 12、【答案】　 [解析] 由相交弦的性质可得|AF|×|FB|＝|EF|×|FC|， ∴|FC|＝＝＝2， 又∵FC∥BD，∴＝＝＝，即BD＝， 由切割定理得|BD|2＝|DA|×|DC|＝4|DC|2，解之得|DC|＝. 13. 【答案】 　[解析] 由r＝3，d＝2得|BC|＝2＝2，又AD2＝AB·AC＝15，所以AD＝. 综合练习 一、选择题 1-8 C C A C C D D B . 二、填空题 9. 10. 6 11. 36 12. 2 13. 45° 14. 14 . 15. 2 16. (1) 共圆 (2)∽ (3)6.. 17. . 18. ， 19. 20. . 21. 15 . 22. 40 23. . 24. ．