【数学】江西省南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（9）（理）

2015年江西省南昌市十所省重点中学 二模（理科）（九） 　 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的） 1．（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（　　） 　 A． （﹣1，0） B． （﹣1，1） C． （0，） D． （0，1） 【考点】 交集及其运算． 【专题】集合． 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】利用绝对值不等式性质求出集合A，利用指数函数的性质求出集合B，再由交集定义能求出A∩B． 【解析】 解：∵集合A={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}， B={x|2x＞1}={x|x＞0}， ∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）． 故选：D． 【点评】 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意绝对值不等式性质、指数函数的性质的合理运用． 　 2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（　　） 　 A． 1 B． i C． D． i 【考点】 复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简后得答案． 【解析】 解：∵=， ∴复数（i是虚数单位）的虚部是． 故选：C． 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．　 3．（5分）下列命题中正确命题的个数是（　　） （1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化； （2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y一定减少2个单位； （3）若p且q为假命题，则p，q均为假命题； （4）命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0； （5）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P0，则． 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【考点】 命题的真假判断与应用． 【专题】简易逻辑． 【分析】（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，而方差不变，即可判断出正误； （2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y增加2个单位，即可判断出正误； （3）由已知可得：p，q至少有一个为假命题，即可判断出正误； （4）利用命题否定定义即可判断出正误； （5）由正态分布的对称性可得：P（﹣1＜ξ＜0）=，即可判断出正误． 【解析】 解：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，而方差不变，因此不正确； （2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y增加2个单位，因此不正确； （3）若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此不正确； （4）命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确； （5）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P0，则P（﹣1＜ξ＜0）==，因此正确． 综上真命题的个数为2． 故选：A． 【点评】 本题考查了简易逻辑的判定方法、概率统计的应该知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 4．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（　　） 　 A． B． ﹣ C． ﹣ D． 【考点】 二倍角的正弦． 【分析】把要求的结论平方，就用到本题已知条件，这里用到二倍角公式，由角的范围，确定sinα+cosα的符号为正，实际上本题考的是正弦与余弦的和与两者的积的关系， 【解析】 解：∵α∈（﹣，0）， ∴sinα+cosα＞0， ∴（sinα+cosα）2=1+sin2α=， ∴sinα+cosα=， 故选A 【点评】 必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式，培养他们的观察能力和分析能力，提高他们的解题方法．本题关键是判断要求结论的符号，可以用三角函数线帮助判断 　 5．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（　　） 　 A． a=3 B． a=4 C． a=5 D． a=6 【考点】 程序框图． 【专题】图表型；算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=，k=4时，由题意此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为，结合选项即可得解． 【解析】 解：模拟执行程序，可得 S=1，k=1 不满足条件k＞a，S=，k=2 不满足条件k＞a，S=，k=3 不满足条件k＞a，S=，k=4 由题意，此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为， 故选：A． 【点评】 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 　 6．（5分）若从区间（0，e）内随机取两个数，则这两个数之积不小于e的概率为（　　） 　 A． B． C． D． 【考点】 几何概型． 【专题】概率与统计． 【分析】先作出图象，再利用图形求概率，由题意可设两个数为x，y，则有所有的基本事件满足，根据几何概型可求其概率． 【解析】 解：解：由题意可设两个数为x，y，则所有的基本事件满足，如图． 总的区域是一个边长为e的正方形，它的面积是e2，满足两个数之积不小于e的区域的面积是e（e﹣1）﹣=e2﹣2e， ∴两个数之积不小于e的概率是：=． 故选B． 【点评】 本题考查几何概率模型，求解问题的关键是能将问题转化为几何概率模型求解，熟练掌握几何概率模型的特征利于本题的转化． 　 7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）（　　） 　 A． 关于点（，0）对称 B． 关于点（，0）对称 　 C． 关于直线x=对称 D． 关于直线x=对称 【考点】 正弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】根据条件求出函数的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可． 【解析】 解：若f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期是π， 则T=，解得ω=2， 即f（x）=sin（2x+φ）， 若其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣）， 若此时函数为奇函数， 则φ﹣=kπ，k∈Z， 解得φ=+kπ，k∈Z， ∵|φ|≤， ∴当k=﹣1时，φ=﹣， 即f（x）=sin（2x﹣）， 由2x﹣=， 得x=+， 故当k=0时，函数的对称轴为x=， 故函数关于直线x=对称， 故选：C． 【点评】 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数性质的应用，求出函数的解析式是解决本题的关键． 　 8．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（　　） 　 A． π B． 3π C． 4π D． 6π 【考点】 球的体积和表面积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出． 【解析】 解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体． ∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为． ∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π． 故选：B． 【点评】 本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题． 　 9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在点P，使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1≠0，则该曲线的离心率e的取值范围是（　　） 　 A． （1，） B． C． D． 【考点】 双曲线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】不防设点P（x，y）在右支曲线上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得，进而根据双曲线定义表示出|PF1|和|PF2|代入，可求得e的范围． 【解析】 解：不妨设P（x，y）在右支曲线上，此时x≥a， 由正弦定理得，所以=， ∵双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex，|PF2|=ex﹣a， ∴=⇒x=≥a， 分子分母同时除以a，得：≥a， ∴≥1解得1≤e≤+1， 故答案为：D（1，+1）． 【点评】 本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题能力． 　 10．（5分）（2015•日照二模）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表： 数列{xn}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点{xn，xn+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+…+x2015=（　　） 　 A． 7554 B． 7549 C． 7546 D． 7539 【考点】 函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由题意易得数列是周期为4的周期数列，可得x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3，代值计算可得． 【解析】 解：∵数列{x n }满足x1=1，且对任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y=f（x）的图象上，∴xn+1=f（xn）， ∴由图表可得x1=1，x2=f（x1）=3，x3=f（x2）=5，x4=f（x3）=6，x5=f（x4）=1， ∴数列是周期为4的周期数列， ∴x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3=503×15+9=7554 故选：A 【点评】 本题考查函数和数列的关系，涉及周期性，属基础题． 　 11．（5分）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为x1，x2，则P（x1，x2）（　　） 　 A． 必在圆x2+y2=2内 　 B． 必在圆x2+y2=2外 　 C． 必在圆x2+y2=1外 　 D． 必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间 【考点】 椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】首先根据一元二次方程根和系数的关系求出，进一步利用恒等变换求出和，利用一元二次方程根和系数的关系，基本不等式的应用，离心率的应用从而判断结果． 【解析】 解：椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为：x1和x2 则：， = 所以：0＜e＜1 即：0＜e2＜1 1＜e2+1＜2 所以： 即点P在圆x2+y2=1与x2+y2=2形成的圆环之间． 故选：D 【点评】 本题考查的知识要点：一元二次方程根和系数的关系，基本不等式的应用，离心率的应用． 　 12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（　　） 　 A． （0，1） B． （0，） C． （，1） D． （1，+∞） 【考点】 函数的零点与方程根的关系． 【专题】计算题；导数的概念及应用． 【分析】求出双曲线的渐近线方程，y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程，即可得出结论． 【解析】 解：由题意，x≥0，f（x）=为双曲线4y2﹣x2=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=±x； 当k=1时，由y=﹣ln（1﹣x），可得y′==1可得x=0，即y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程为y=x， 此时函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有1个零点， ∴若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（，1）， 故选：C． 【点评】 本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强． 　 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）设（1﹣x）（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2=　30　． 【考点】 二项式定理的应用． 【专题】计算题． 【分析】要求a2，只要求解展开式中的含x2项的系数，根据题意只要先求出（1+2x）5的通项，即可求解 【解析】 解∵（1﹣x）（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6， 而（1+2x）5展开式的通项为 ∴（1﹣x）（1+2x）5=展开式中含x2的项为=30x2 ∴a2=30 故答案为：30 【点评】 本题主要考查了二项展开式的通项在求解指定项中的应用，解题的关键是寻求指定项得到的途径 　 14．（5分）已知实数x，y满足，则z=xy的最大值为　　． 【考点】 简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对于的平面区域，由z=xy，则y=为双曲线，利用数形结合即可得到结论． 【解析】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=xy，则y=为双曲线， 要使z=xy最大，则z＞0， ∵z=xy对应的双曲线的对称轴为y=x， ∴由图象可知当z=xy与x+y﹣13=0相切时，z=xy取得最大值， 由， 解得，即D（）， 此时z=， 故答案为：． 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，以及双曲线的性质，利用数形结合是解决本题的关键，本题涉及的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 较多，综合性较强，有一定的难度． 　 15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2+b2=4a+2b﹣5，且a2=b2+c2﹣bc，则S△ABC=　　． 【考点】 余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】由a2=b2+c2﹣bc，利用余弦定理可得：cosA==，可得A．由a2+b2=4a+2b﹣5，可得（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，解得a，b．利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得c，利用三角形面积计算公式即可得出． 【解析】 解：由a2=b2+c2﹣bc， 利用余弦定理可得：cosA==， ∵θ∈（0，π），∴． ∵a2+b2=4a+2b﹣5， ∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0， 解得a=2，b=1． 由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴4=1+c2﹣c， ∴c2﹣c﹣3=0， 解得c=， ∴S△ABC===， 故答案为：． 【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 16．（5分）如图所示，在⊙O中，AB与CD是夹角为60°的两条直径，E、F分别是⊙O与直径CD上的动点，若•+λ•=0，则λ的取值范围是　[﹣2，2]　． 【考点】 平面向量数量积的运算． 【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标表示B、C、E、F，计算•与•，求出λ的表达式，求出λ的取值范围即可． 【解析】 解：设⊙O的半径为r，以O为原点，OB为x轴建立直角坐标系，如图所示； 则B（r，0），C（r，﹣r）， 设E（rcosα，rsinα），α∈（0，π）； ∴=μ=μ（r，﹣r）=（μr，﹣μr），其中μ∈[﹣1，1]； ∴=（μr﹣r，﹣μr）， ∴•=（rcosα，rsinα）•（μr﹣r，﹣μr）=r2（μ﹣1）cosα﹣μr2sinα； •=（﹣r0）•（r，﹣r）=﹣r2； ∵•+λ•=0， ∴λ=﹣=（μ﹣2）cosα﹣μsinα=sin（α+θ）=sin（α+θ）； 又μ∈[﹣1，1]，∴≤≤2， ∴﹣2≤sin（α+θ）≤2； ∴﹣2≤λ≤2， 即λ的取值范围是． 故答案为：[﹣2，2]． 【点评】 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了求函数的最值问题以及三角函数的恒等变换问题，是较难的题目． 　 三．解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知数列{an}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0．若ab1，ab2，ab3，…，abn，…成等比数列，且b1=1，b2=2，b3=5． （1）求数列{bn}的通项公式bn； （2）设cn=log3（2bn﹣1），求和Tn=c1c2﹣c2c3+c3c4﹣c4c5+…+c2n﹣1c2n﹣c2nc2n+1． 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）由已知得（1+d）2=1×（1+4d），从而d=2，q=3，由此能求出． （2）由cn=log3（2bn﹣1）=n﹣1，Tn=c2（c1﹣c3）+c4（c3﹣c5）+c6（c5﹣c7）+…+c2n（c2n﹣1﹣c2n+1）=﹣2（c2+c4+…+c2n），能求出Tn． 【解析】 解：（1）∵数列{an}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0． ab1，ab2，ab3，…，abn，…成等比数列，且b1=1，b2=2，b3=5． ∴，∴（1+d）2=1×（1+4d）， 1+2d+d2=1+4d， 解得d=2或d=0（舍）， ．∴q=3…（3分） ， ∴…（6分） （2）cn=log3（2bn﹣1）=n﹣1…（7分）， Tn=c2（c1﹣c3）+c4（c3﹣c5）+c6（c5﹣c7）+…+c2n（c2n﹣1﹣c2n+1） =﹣2（c2+c4+…+c2n） =﹣2[1+3+5+…+（2n﹣1）] =﹣2n2…（12分） 【点评】 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用． 　 18．（12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下： （1）求表中a，b的值 （2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立， ①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率； ②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望． 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】 应用题 小学应用题 下载一年级应用题应用题一年级一年级下册数学应用题一年级下册应用题 ；概率与统计． 【分析】（1）利用频率等于频数除以样本容量，求出样本容量，再求出表中的a，b． （2）①利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率． ②写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率．列出分布列，求得期望． 【解析】 解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3 （2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5 设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5） P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125 ②X的可能取值为4，5，6，7，8，则 p（X=4）=0.22=0.04 p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2 p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37 p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3 p（X=8）=0.32=0.09 所有X的分布列为： EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2． 【点评】 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力． 　 19．（12分）如图，在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，顶角D1在底面ABCD内的射影恰好为点C． （1）求证：AD1⊥BC； （2）若直线DD1与直线AB所成角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值函数值． 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）证明：连接D1C，证明BC⊥平面AD1C，利用直线与平面垂直的性质定理证明AD1⊥BC． （Ⅱ）解法一：连接D1M，则D1M⊥AB，说明∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角，在Rt△D1CM中，求出，得到平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦函数值为． 解法二： 由（Ⅰ）知AC、BC、D1C两俩垂直，建立如图空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABC1D1的一个法向量，平面ABCD的法向量．通过向量的数量积求解平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值． 【解析】 解：（Ⅰ）证明：连接D1C，则D1C⊥平面ABCD， ∴D1C⊥BC 在等腰梯形ABCD中，连接AC ∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD ∴BC⊥AC ∴BC⊥平面AD1C ∴AD1⊥BC…（6分） （Ⅱ）解法一： ∵AB∥CD∴ ∵CD=1∴ 在底面ABCD中作CM⊥AB，连接D1M，则D1M⊥AB，所以∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角 在Rt△D1CM中，， ∴∴ 即平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦函数值为…（12分） 解法二： 由（Ⅰ）知AC、BC、D1C两俩垂直， ∵AB∥CD∴∴ 在等腰梯形ABCD中，连接AC因AB=2，BC=CD=1AB∥CD， 所以，建立如图空间直角坐标系， 则，B（0，1，0）， 设平面ABC1D1的一个法向量 由得 可得平面ABC1D1的一个法向量． 又为平面ABCD的一个法向量． 因此 所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为． 【点评】 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的性质定理的应用，向量法求解二面角的方法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）． （1）求p的值； （2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值． 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）求出l的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB中点坐标，推出中垂线方程，结合AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．求出p即可． （2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，求出AB的距离以及AB中点为D（2k，2k2+1），令∠MDN=2α，求出S的表达式，推出关系式，利用D到x轴的距离|DE|=2k2+1，求出，然后求解的最大值． 【解析】 解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，， 当l的倾斜角为45°时，l的方程为 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，得x2﹣2px﹣p2=0， x1+x2=2p，y1+y2=x1+x2+p=3p，得AB中点为…（3分） AB中垂线为， x=0代入得． ∴p=2…（6分） （2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0， ， AB中点为D（2k，2k2+1） 令∠MDN=2α，， ∴…（8分） D到x轴的距离|DE|=2k2+1， …（10分） 当k2=0时cosα取最小值，α的最大值为． 故的最大值为．…（12分） 【点评】 本题考查直线与抛物线方程的位置关系，直线与直线的位置关系，以及圆的方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用． 　 21．（12分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx． （I）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若方程f（x）=c（c∈R），有两个不相等的实数根x1、x2，求证：． 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（I）求出函数的导数通过当a≤0时，当a＞0时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间． （II）通过x1、x2是方程f（x）=c的两个不等实根，由（1）知a＞0．设0＜x1＜x2，把根代入方程，作差，推出a的表达式，构造函数，利用新函数的导数，通过函数的单调性利用分析法证明即可． 【解析】 （12分） 解：（I） f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣（x＞0）． 当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）． 当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜． 所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为．…（4分） （II）证明：因为x1、x2是方程f（x）=c的两个不等实根，由（1）知a＞0． 不妨设0＜x1＜x2，则﹣（a﹣2）x1﹣alnx1=c，﹣（a﹣2）x2﹣alnx2=c． 两式相减得﹣（a﹣2）x1﹣alnx1﹣+（a﹣2）•x2+alnx2=0， 即+2x1﹣﹣2x2=ax1+alnx1﹣ax2﹣alnx2=a（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2）． 所以a=．因为f′=0， 当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0， 故只要证＞即可，即证明x1+x2＞， 即证明﹣+（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）＜+2x1﹣﹣2x2， 即证明ln ＜．设t=（0＜t＜1）． 令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=． 因为t＞0，所以g′（t）≥0，当且仅当t=1时，g′（t）=0，所以g（t）在（0，+∞）上是增函数． 又g（1）=0，所以当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．所以原题得证 …（12分） 【点评】 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性，分类讨论思想的应用，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力． 　 四、选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC． （1）求证：CE•EB=EF•EP； （2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长． 【考点】 与圆有关的比例线段． 【专题】选作题． 【分析】（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，进而证明结论； （II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC，即可得出PA． 【解析】 （I）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF公用， ∴△DEF∽△CED， ∴∠EDF=∠C． 又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C， ∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA ∴△EDF∽△EPA． ∴，∴EA•ED=EF•EP． 又∵EA•ED=CE•EB， ∴CE•EB=EF•EP； （II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2． ∴32=2EC，∴． ∵CE：BE=3：2，∴BE=3． 由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=， ∴BP=EP﹣EB=． ∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC， ∴，解得． 【点评】 熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键． 　 五、选修4-4：坐标系与参数方程． 23．坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）射线OM：θ=与圆C的交点为O、P两点，求P点的极坐标． 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【专题】坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，直接把圆的普通方程化为极坐标方程即可． （Ⅱ）解法1：求出射线OM的普通方程为y=x，x≥0，与圆的方程联立，求出P点的坐标为（1，1），转化为极坐标即可． 解法2：把代入ρ=2cosθ即可求解P点的极坐标． 【解析】 解：（Ⅰ）圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ 所以圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ…（5分） （Ⅱ）解法1：因为射线的普通方程为y=x，x≥0 联立方程组消去y并整理得x2﹣x=0 解得x=1或x=0，所以P点的坐标为（1，1） 所以P点的极坐标为…（10分） 解法2：把代入ρ=2cosθ得 所以P点的极坐标为…（10分） 【点评】 本题考查圆的极坐标方程与普通方程的互化，点的极坐标与极坐标的转化，考查计算能力． 　 六、选修4-5：不等式选讲． 24．（Ⅰ）设函数f（x）=|x﹣|+|x+a|（a＞0）．证明：f（x）≥2； （Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，求证：|x+2y+z|≤3． 【考点】 不等式的证明． 【专题】推理和证明． 【分析】（Ⅰ）通过绝对值三角不等式，已经基本不等式，即可证明f（x）≥2； （Ⅱ）利用已知条件构造柯西不等式，然后证明即可． 【解析】 证明：（Ⅰ）由a＞0， 有当且仅当a=1时取等号． 所以f（x）≥2…（5分） （Ⅱ）∵x2+4y2+z2=3，由柯西不等式得：[x2+（2y）2+z2]（12+12+12）≥（x+2y+z）2（当且仅当即时取“=”号） 整理得：（x+2y+z）2≤9，即|x+2y+z|≤3…（10分） 【点评】 本题考查不等式的证明，基本不等式以及柯西不等式的应用，考查推理与计算能力． 1