现代控制理论(东大)习题2到6章

第二章知识点 · 状态空间 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式的建立： 物理机理直接建立；高阶微分方程转化；传递函数建立 · 组合系统的状态空间表达式： 并联；串联；反馈 · 线性变换： 变换矩阵的计算 · 离散时间系统的状态空间表达式 2.0 建立下图所示系统的状态空间表达式，其中为小车质量，为相应的弹簧系数，为相应小车的位移，为外力。（这里忽略摩擦阻尼） 1） 确定输入变量和输出变量。 输入变量： 输出变量：位移 2） 将小车弹簧系统分为2个子系统，根据牛顿第二定律（）分别写出微分方程。 首先对小车进行分析，得到如下微分方程 (1) 同理，对小车进行分析，可有 (2) 3） 根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量。 选取系统的状态变量为 将子系统的微分方程写成一阶微分方程组的形式，得系统的状态方程为 系统的输出方程为 最后写成矩阵形式，状态空间表达式可写为： 2.1有电路图如图所示，设输入为，输出为，试自选状态变量并列写出其状态变量表达式。 解： 系统如图 图 确定了输入输出变量，根据电路定律列写微分方程 设两端电压为，两端的电压为，则 (1) (2) 根据微分方程的阶次选择状态变量 设状态变量为，，由式(1)和(2)得： 状态空间表达式为： 即: □ 2.2 建立图所示系统的状态空间表达式,其中，，为重物质量，为弹簧系数，为阻尼，为外力，设，分别为，的位移量。 图 解：确定输入量和输出量 令输入为输入量，，的位移量，为输出量， 根据牛顿定律列写微分方程 分别对重物，进行受力分析后，得到如下微分方程 根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量 选取状态变量，，，。连同代入上面两个式子，经整理得状态方程为： 输出方程为： 写成矩阵形式为： 2.4 如图所示的水槽系统。设水槽1的横截面积为，水位为；水槽2的横截面积为，水位为；设、、为各水管的阻抗时，推导以水位、作为状态变量的系统微分方程式。但是，输入是单位时间的流入量，、为输出，是单位时间由水槽的流出量。 图水槽系统 解：确定了单位时间的流入量为输入，单位时间由水槽的流出量、为输出量， 在水槽1，考虑时间增量内水量的进出。单位时间的流入量是输入和有两个水槽的水位差决定的水量，流出量是。（类似电压，电阻，电流的意义） 设水位的增量为，则水量的增量是，则单位时间内的水量增量为 同样，得到水槽2单位时间内的水位增量有如下关系。 ， 设，则，，因此可有下列微分方程 输出方程为 设，，将上述微分方程组写成矩阵形式如下 □ 化对角(约当) 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型的步骤 · 求取系统矩阵A的n个特征根和对应的特征向量 · 令 · 做变换 2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。 1) 解 ： ① 求特征值 ② 求特征向量 、对于：(对应的特征向量满足)，故有 、对于：同理有 · ③ 构造，（令）求 , 得到对角形的状态方程为 2) ① 求特征值 ② 求特征向量 、对于有：(，求解3阶方程组易得) 、对于有： 、对于有： · ③ 构造，（令）求。 ④ 求， 故 为所求。 □ 2.15 试将下列状态方程化为约当标准形。 解： ① 求特征值： ② 求特征向量 、对于有： 、对于有： 由，有 由，有 ③ 构造，（令）求。 ④ 求，。 所求的约当标准形为 2.16 已知系统的状态空间表达式为 求其对应的传递函数。 解 ，，， （线性代数知识，设A= 所对应的行列式detA中元素aij的代数余子式矩阵为 则A-1=A＊=） □ 2.8 已知系统的微分方程 1) ； 2) ； 3) 。 试列写出它们的状态空间表达式。 解 1) 此题微分方程右边不含有输入函数导数，利用有高阶微分方程转化状态空间表达式的公式直接写出， 令，，，则有 状态空间表达式为： 2) 已知系统的微分方程（），利用由传递函数建立状态空间表达式的方法。 首先对微分方程取零初始条件下的拉氏变换，得到系统的传递函数后，再由传递函数求取状态空间表达式。本题利用直接法。 对微分方程取拉氏变换得 见教材中的公式(2.3.47a) 和(2.3.47b) 从而 3) 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程取零初试条件下的拉氏变换得： 于是可知对应状态空间表达式为 第3章 状态方程的解 线性定常齐次方程的求解 线性定常非齐次方程的求解 状态转移矩阵 ， （线性定常系统的状态转移矩阵） 状态转移矩阵的计算方法 1. 直接法（幂级数法） 2. 频域中的拉式变换法 3. 相似变换 4. 化有限项法 线性时变齐次方程的求解 1）与可交换，则 2）与不可交换，则方程的解为书上公式（3.5.10） 线性时变非齐次齐次方程的求解 线性连续系统离散化 1. 近似离散化 2. 一般离散化 定常系统离散化 时变系统离散化 习题 3.1 计算下列矩阵的矩阵指数。 解 1) 此矩阵为对角阵，由教材中公式(3.2.8)可直接写出 2) 此矩阵为约当矩阵，由教材中公式(3.2.10)可直接写出 3) 利用拉氏变换法，，由 可有 4) 同理 □ 3.2 已知系统状态方程和初始条件为 1) 试用拉氏变换法求其状态转移矩阵； 解 ， 其中， 则有 而 ， 所以状态转移矩阵为： 2) 试用化对角标准形法求其状态转移矩阵； 对于， 对于， 由教材中公式(3.2.18)有 3) 试用化为有限项法求其状态转移矩阵； 由系统矩阵的特征多项式 得矩阵的特征值为,。 由教材中公式(3.2.31) 对于有： 对于有： 因为是二重特征值，故需补充方程（由教材中公式(3.2.32)） 从而联立求解，得： （由教材中公式(3.2.24)） 4) 根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。 由教材中公式(3.3.4) □ 3.3 矩阵是的常数矩阵，关于系统的状态方程式，有 时，则 时，则 试确定这个系统的转移矩阵和矩阵。 解 由教材中公式(3.5.11)系统的零输入响应是 因此 ， 将它们综合起来，得 由此，得 而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵满足微分方程（由教材中公式(3.5.13)） 和初始条件 因此代入初始时间可得矩阵为： □ 3.10 已知系统状态空间表达式为 1) 求系统的单位阶跃响应； 2) 求系统的脉冲响应。 解 单位阶跃响应：线性定常系统在零初始条件下，由单位阶跃信号引起的响应。 阶跃信号是用阶跃函数来描述的信号。 脉冲响应：在一个输入上施加一个脉冲函数引起的时间响应。 1) 首先确定矩阵指数 ， 时， 时， 将代入求解公式(3.4.1)得： + 若取，则有 2) 由(1)知 取，则有 若取，则有， □ 3.14 已知线性定常离散系统的差分方程如下： 若设，试用递推法求出。 解 同理，递推得： □ 3.15 设线性定常连续时间系统的状态方程为 ， 取采样周期，试将该连续系统的状态方程离散化。 解 首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法： 进而确定离散时间系统的系数矩阵。 将代入得 故系统离散化状态方程为 □ 4 线性系统的能控性与能观性 内容提要 1) 能控性与能观性的判别准则以及对偶关系； 2) 能控性与能观性的标准分解； 3) 系统能控性、能观性和传递函数矩阵间的关系，即系统状态空间描述法与输入输出描述法的关系； 4) 能控标准形和能观标准形； 5) 系统的实现和传递函数矩阵的最小实现问题。 习题 4.1 判断下列系统的能控性。 1) 解：定理4.2.1的公式（4.2.3） 由于该系统控制矩阵，系统矩阵，所以 从而系统的能控性矩阵为 显然有 满足能控性的充要条件，所以该系统能控。 2) 由于该系统控制矩阵为 系统矩阵为 则有， 从而系统的能控性矩阵为 有 满足能控性的充要条件，所以该系统能控。 3) 由于该系统控制矩阵为 系统矩阵为 则有， 于是，系统的能控性矩阵为 可知 不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。 4) 由于该系统控制矩阵为 系统矩阵为 则有， 从而系统的能控性矩阵为 易知 不满足能控性的充要条件，所以该系统不能控。 5) 由于该系统控制矩阵为 系统矩阵为 则有， 从而系统的能控性矩阵为 易知 满足能控性的充要条件，所以该系统能控。 □ 4.2判断下列系统的输出能控性。 1) 解：根据教材中的公式（4.2.11） 1) 系统输出完全能控的充分必要条件是，矩阵的秩为。由于 所以 而 等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。 2) 系统输出完全能控的充要条件是，矩阵的秩为。由于 所以 而 等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。 □ 4.3判断下列系统的能观测性。 1) 解 根据教材中的定理4.3.2 系统的观测矩阵，系统矩阵，得 系统能观性矩阵为 可知 满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。 2) 系统的观测矩阵，系统矩阵，于是 系统能观性矩阵为 易知 满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。 4) 系统的观测矩阵，系统矩阵，于是 系统能观测性矩阵为 可知 不满足能观性的充要条件，所以该系统是不能观测的。 4.4 试确定当与为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。 解 系统的能控性矩阵为 其行列式为 根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即，可知或。 系统能观测性矩阵为 其行列式为 根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2，亦即，可知或。 □ 4.5试证明如下系统 不论,,取何值都不能控。 证明 系统的特征方程为 解得特征值 分别将其带入特征方程得 我们知道 基础解的个数，所以存在着两个线性无关的向量，可将化为: 因为在约当块中有相同的根，由能控判据2可知无论,,为何值，系统均不能控。□ 4.9 设系统状态方程为。若及是系统的能控状态。试证状态也是能控的。其中,为任意常数。 证明 由能控性定义可知，为系统的能控状态，是指在有限时间区域[]内，存在控制向量使得系统从初始状态转移到任意终端状态。 方程的解在时刻的值可表示为， 不失一般性，假设，，，则有 解得， 同理，分析, 可得， 由此，将上式代入系统状态，可得， 式中 由于及都是控制向量，则其线性组合也是系统控制向量。 由能控性定义可知，在有限时间区域[]内，存在控制向量使得系统从初始状态转移到任意终端状态，因此该系统状态是能控的。 □ 4.10将下列状态方程化为能控标准形 解 教材中的公式（4.8.9）（4.8.10）（4.8.12）-（4.8.14） 该状态方程的能控性矩阵为 知它是非奇异的。求得逆矩阵有， 由得 同理，由得 从而得到 由此可得， 所以， 此即为该状态方程的能控标准形。 □ 4.12系统 式中， ， ， 1) 试判断系统能控性和能观性。 2) 若不能控或不能观，试考察可控制的状态变量数、可观测的状态变量数有多少。 3) 写出能控子空间系统及能观子空间系统。 解 1) 系统可控矩阵为 可见， ， 因此，系统不能控。 系统可观测矩阵为 可见， ， 因此，系统不能观测。 2) 首先，由求特征根。因为 特征根、分别是重根和单根。因此，必须利用阶数的广义特征向量的方法决定变换矩阵。由此得到变换矩阵， 求其逆矩阵有， 因此， 变换后的状态方程和输出方程为： 显然，系统有两个可控制的变量，分别是状态变量、；而可观测的状态变量也有两个，分别是、。 3) 由、构成的可控子空间系统为： 由、构成的可观测子空间系统为： □ 4.13 在如下系统中 若满足如下条件 ， 试证明系统总是既可控制又可观测的。 证明 系统可控矩阵为 可观测性矩阵为 将两矩阵相乘 可见，或，即满秩。根据矩阵理论有，、，即能控性矩阵和能观测性矩阵都满秩，则系统总是既可控又可观测。 □ 第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 · 几个稳定性的概念：稳定，一致稳定，渐近稳定，大范围渐近稳定 · 塞尔维斯特定理 · 李雅普诺夫第一方法 · 李雅普诺夫第二方法 · 李雅普诺夫方法在线性及非线性系统中的应用（克拉索夫斯基方法） 习题 5.1 判断下列函数的正定性 赛尔维斯特定理：当中的是对称矩阵时， 为正定函数的充分必要条件是的所有顺序主子式都是正的。 解 1) , 因为顺序主子式 所以，为正定函数。 2) , 因为主子式 所以不定，为不定函数。 3) 判断此函数的正定性 （测验1） 5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。 解 求解平衡点，写出平衡点处的雅克比矩阵，判断其特征根是否具有负实部。 解方程组 得三个孤立平衡点（0，0），（1，-1）和（-1，1）。 在（0，0）处将系统近似线性化，得， 由于原系统为定常系统，且矩阵的特征根均具有负实部，于是根据李雅普诺夫定理5.2.1可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。 在（1，-1）和（-1，1）处将系统近似线性化，得，由于矩阵 的特征根，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1，-1）附近不稳定。 在（-1，1）处将系统近似线性化，得，由于原系统为定常系统，且矩阵的特征根，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1，-1）和点（-1，1）附近不稳定。 该题求解时往往容易忽略平衡点（1，-1）和（-1，1）。 □ 5.7 给定线性时变系统 ， 判定其原点是否是大范围渐近稳定。 解 定理5.2.2b 取，则 因为，所以系统在原点处大范围渐近稳定。 □ 5.11 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定： 解 定理5.2.2a 令矩阵 则由李雅普方程（，取为单位阵） 得 解上述矩阵方程，有 即得 因为（赛尔维斯特定理） 可知是正定的。（由定理5.3.1）因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。 系统的李雅普诺夫函数及其沿轨迹的导数分别为 又因为，所以系统大范围渐近稳定。 □ 5.13 试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。 解 克拉索夫斯基定理5.4.1 求平衡点：显然是系统的一个平衡点。 写出雅克比矩阵： 令： 由和知。 n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足 即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。 由克拉索夫斯基定理可知系统在原点渐近稳定。又因为 所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的。 □ （其中，） 5.14 试用克拉索夫斯基定理判断下列系统的稳定性。 解 显然是系统的一个平衡点。 由,，，知。 由克拉索夫斯基定理可知系统在原点渐近稳定。又因为 所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的。 □ 测验2 利用李雅普诺夫两种方法判断下列系统在平衡状态的稳定性 第6章 状态反馈和状态观测器 内容提要 状态反馈 利用状态反馈进行极点配置（两种方法） 利用状态反馈进行解耦控制（两个特征量的求取）。 状态观测器，全维状态观测器 习题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 6.1 判断下列系统能否用状态反馈任意的配置特征值。 2) 解 ，秩， 系统不完全能控，所以不能通过状态反馈任意配置特征值。 6.2 已知系统为 试确定线性状态反馈控制律，使闭环极点都是，并画出闭环系统的结构图。 解 极点配置算法2：控制矩阵只有一个非零元素。 将系统写为矩阵形式如下： 令，并带入原系统的状态方程，可得 其特征多项式为 ， 由已知条件，理想特征多项式为 通过比较系数得 即，，，，。 闭环系统的结构图 6.4 给定单输入线性定常系统为： 试求出状态反馈使得闭环系统的特征值为。 解 极点配置算法1 易知系统为完全能控，故满足可配置条件。 系统的特征多项式为 期望的特征多项式 于是，可求得 再来计算变换阵 并求出其逆 从而，所要确定的反馈增益阵即为： 6.6 判断下列系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。 1) 2) 解 两种方式定义两个特征量，定理6.3.1 1) ，，，， 非奇异，所以能用状态反馈和输入变换实现解耦控制。 2) 因为 ， 所以，。 又因为非奇异，所以能用状态反馈和输入变换实现解耦控制。 6.7 给定系统的状态空间表达式为 系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦？若能，试定出实现积分型解耦的和。 解 利用定理6.3.1判断 ，； ，； 所以 ， 则 6.9 给定系统的状态空间表达式为 1) 设计一个具有特征值为的全维状态观测器； 2) 画出结构图。 解 1) 对应极点配置的算法步骤 ， 观测器的期望特征多项式为 ，， 状态观测器的状态方程为 3) 闭环系统结构图 全维状态观测器结构图 1� B� 2� B� K� 1� M� 2� M� )� (� t� f� 3� � � � � � � � � � � � � � -2� 9� � � -3� � 2� u c1 R1 y1 c2 x1 x2 y2 R3 R2 � u� 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