14--知识要点：高三数学总复习—复数（实验修订版）

四川师大附中高2006届高三数学总复习（十四）实验修订版 §14. 复 数 知识要点 1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即 . ⑵复数及其相关概念： 1 复数—形如a + bi的数（其中 ）； 2 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； 3 虚数—当 时的复数a + bi； 4 纯虚数—当a = 0且 时的复数a + bi，即bi. 5 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） 6 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义： . ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若 为复数，则 若 ，则 .（×）[ 为复数，而不是实数] 若 ，则 .（√） ②若 ，则 是 的必要不充分条件.（当 ， 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式： . 其中 是复平面内的两点 所对应的复数， 间的距离. 由上可得：复平面内以 为圆心， 为半径的圆的复数方程： . ⑵曲线方程的复数形式： ① 为圆心，r为半径的圆的方程. ② 表示线段 的垂直平分线的方程. ③ 为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若 ，此方程表示线段 ）. ④ 表示以 为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若 ，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式： 设 是不等于零的复数，则 ① . 左边取等号的条件是 ，右边取等号的条件是 . ② . 左边取等号的条件是 ，右边取等号的条件是 . 注： . 3. 共轭复数的性质： ， （ a + bi） （ ） 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4. ⑴①复数的乘方： ②对任何 ， EMBED Equation.3 及 有 ③ 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如 若由 就会得到 的错误结论. ②在实数集成立的 . 当 为虚数时， ，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. ⑵常用的结论： 若 是1的立方虚数根，即 ，则 . 5. ⑴复数 是实数及纯虚数的充要条件： ① EMBED Equation.3 . ②若 ， 是纯虚数 . ⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注： . 6. ⑴复数的三角形式： . 辐角主值： 适合于0≤ ＜ 的值，记作 . 注：① EMBED Equation.3 为零时， 可取 内任意值. ②辐角是多值的，都相差2 的整数倍. ③设 则 . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化： ， ， . ⑶几类三角式的标准形式： 7. 复数集中解一元二次方程： 在复数集内解关于 的一元二次方程 时，应注意下述问题： ①当 时，若 ＞0，则有二不等实数根 ；若 =0，则有二相等实数根 ；若 ＜0，则有二相等复数根 （ 为共轭复数）. ②当 不全为实数时，不能用 方程根的情况. ③不论 为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算： 棣莫弗定理： . � EMBED Equation.3 ��� 高三数学总复习—复数 _1151681584.unknown _1151682404.unknown _1151684646.unknown _1151685392.unknown _1151685903.unknown _1153222657.unknown _1153222888.unknown _1153222969.unknown _1153223018.unknown _1153223053.unknown _1153222915.unknown _1153222852.unknown _1153222873.unknown _1153222760.unknown _1153222806.unknown _1153222688.unknown _1153222606.unknown _1151686193.unknown _1151685445.unknown _1151685751.unknown _1151685421.unknown _1151684920.unknown _1151685178.unknown _1151685213.unknown _1151685168.unknown _1151684743.unknown _1151684067.unknown _1151684429.unknown _1151684588.unknown _1151684093.unknown _1151683592.unknown _1151683755.unknown _1151683900.unknown _1151683676.unknown _1151682437.unknown _1151682124.unknown _1151682195.unknown _1151682308.unknown _1151682378.unknown _1151682226.unknown _1151682159.unknown _1151682179.unknown _1151682136.unknown _1151681926.unknown _1151682044.unknown _1151682103.unknown _1151681954.unknown _1151681843.unknown _1151681874.unknown _1151681836.unknown _1151681594.unknown _1151678505.unknown _1151679491.unknown _1151679989.unknown _1151680172.unknown _1151681324.unknown _1151681335.unknown _1151681348.unknown _1151681273.unknown _1151681007.unknown _1151680109.unknown _1151679772.unknown _1151679894.unknown _1151679586.unknown _1151678789.unknown _1151678815.unknown _1151679421.unknown _1151678801.unknown _1151678723.unknown _1151678784.unknown _1151678609.unknown _1151675081.unknown _1151677828.unknown _1151678378.unknown _1151678446.unknown _1151678489.unknown _1151678421.unknown _1151677916.unknown _1151675337.unknown _1151676562.unknown _1151676876.unknown _1151677228.unknown _1151677797.unknown _1151677346.unknown _1151677013.unknown _1151676740.unknown _1151675908.unknown _1151676210.unknown _1151675405.unknown _1151675717.unknown _1151675264.unknown _1151674752.unknown _1151674821.unknown _1151674922.unknown _1151609435.unknown _1151674614.unknown _1151674683.unknown _1151674186.unknown _1151608439.unknown _1151608995.unknown _1151608176.unknown