成都石室中学高2014届高三上期“一诊”模拟考试（一）
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则使M∩N＝N成立的的值是（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．1或－1
3.已知函数则（ ）
A． B． C． D．
【
答案
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】C
【解析】试题分析：.
考点：函数与指数运算.
4.函数的图像可能是（ ）
考点：线性
规划
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.
7.阅读程序框图，若输入，，则输出分别是（ ）
A． B． C． D．
9.设三位数,若以为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有（ ）
A．12种 B．24种 C．28种 D．36种
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知向量、满足，则 .
14.已知二次函数的值域为，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】试题分析：由题意得：.
考点：二次函数及重要不等式.
15. 已知是函数图象上的任意一点，是该图象的两个端点， 点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“性质”.现有函数：
①; ②； ③； ④.
则在区间上具有“性质”的函数为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.(本小题满分12分)设是公差大于零的等差数列，已知，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
17.(本小题满分12分) 已知 的内角A、B、C所对的边为， , ，且与所成角为.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的范围为.
【解析】
18.(本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（
规定
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：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据
表
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明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：
根据上表：
（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望.
（II）的可能值得为0，1，2，3，4，5
……………………………………………………………10分
所以随机变量的分布列如下：
0
1
2
3
4
5
故………………………12分
考点：1、独立事件同时发生的概率；2、随机变量的分布列及其期望.
19.(本小题满分12分)已知直三棱柱的三视图如图所示，且是的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为；（Ⅲ）当点为线段中点时，与成角.
【解析】
由二面角是锐角，得 .……………8分
所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.
因为在线段上，，，故可设，其中.
所以 ，. ………………………9分
因为与成角，所以. ………………………10分
即，解得，舍去. ……………………11分
所以当点为线段中点时，与成角. ………………………12分
考点：1、空间直线与平面平行；2、二面角；3、空间异面直线所成的角.
20.(本小题满分13分)已知.
（Ⅰ）当时,判断的奇偶性,并说明理由；
（Ⅱ）当时,若,求的值；
（Ⅲ）若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）既不是奇函数,也不是偶函数；（Ⅱ）或；
（Ⅲ）当时,的取值范围是；当时,的取值范围是；当时,的取值范围是.
（Ⅲ）不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值.在本题中，分离参数比较容易.分离参数时需要除以，故首先考虑的情况. 易得时,取任意实数,不等式恒成立.
,此时原不等式变为；即，这时应满足：，所以接下来就求的最大值和的最小值.在求这个最大值和最小值时，因数还有一个参数，所以又需要对进行讨论.
试题解析：（Ⅰ）当时,既不是奇函数也不是偶函数
∵,∴
所以既不是奇函数,也不是偶函数 ……………………………………3分
①当时,在上单调递减,,又,
所以,此时的取值范围是
21.(本小题满分14分)已知函数
（Ⅰ）时，求在处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，设函数，若，求证：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）将代入，求导即得；（Ⅱ），即在上恒成立. 不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值.在本题中，设，则，这里面不含参数了，求的最大值比较容易了，所可直接求最大值.（Ⅲ）本题首先要考虑的是，所要证的不等式与函数有什么关系？待证不等式可作如下变形：
，最后这个不等式与有联系吗？我们再往下看.
,所以在上是增函数.
因为，所以
即从这儿可以看出，有点联系了.
同理，
所以，
与待证不等式比较，只要问题就解决了，而这由重要不等式可证，从而问题得证.
试题解析：（Ⅰ），，所以切线为：即.………………3分
（Ⅲ）当时，, ,所以在上是增函数，上是减函数.
因为，所以
即，同理.
所以
1
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