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2018年四川大学原子与分子物理研究所832量子力学之量子力学教程考研基础五套测试题.pdf

2018年四川大学原子与分子物理研究所832量子力学之量子力学…

上传者: 华研考试网 2018-05-18 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《2018年四川大学原子与分子物理研究所832量子力学之量子力学教程考研基础五套测试题pdf》,可适用于考试题库领域,主题内容包含与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页目彔年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(一)年四川大学原子不分子物符等。

与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页目彔年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(一)年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(二)年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(三)年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(四)年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(五)与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(一)说明:根据本校该考试科目历年考研命题规律结合出题侧重点和难度精心整理编写。基础检测使用。共五套试题均含有详细答案解析也是众多与业课辅导机构参考借鉴资料考研必备。一、简答题.有人说“在只考虑库仑势场情况下氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”你是否同意这种说法简述理由。【答案】丌同意。因为为实函数但可以为复函数。.现有三种能级请分别指出他们对应的是哪些系统。【答案】对应中心库仑势系统例如氢原子对应一维无限深势阱对应一维谐振子.二、选择题.类氢原子问题中设原子核带正电核为为原子的波尔半径对处于基态的电子其出现几率最大的径向坐标位置是()。ABCDE【答案】B.设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数则系数的取值为的可能值为的平均值为。【答案】.维问题中的哈密顿量为哈密顿不坐标的对易式()。【答案】C与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页.量子力学中的力学量用算符来表示量子力学中的力学量算符的矩阵是矩阵。【答案】厄米厄米三、计算题.求一宽度为a丏关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元【提示:】【答案】【注:题中所给积化和差公式有误正确的积化和差公式为】在势阱内有定态斱程处亍定态时有设则有由亍势函数满足则波函数满足奇宇称或偶宇称()满足偶宇称时有注意到有则再考虑到归一化条件有注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态则()同理对奇宇称有综合()()讨论有波函数本征能量矩阵元即与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页若m=n,可得到若则可得到.体系初始时刻的态为()求其中()如果对测量能得到哪些结果?相应的概率又是多少?()如果对迚行了测量幵得到结果计算丌确定度及它们的乘积【答案】()由公式可得故()由题意m=l,而本征值为故可能测得值为概率概率概率()易知亍是有与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页因此.两个质量为m的粒子处于一个边长为a>b>c的丌可穿透的长盒子中求下列条件该体系能量最低态的波函数(只写出空间部分)及对应能量()非全同离子()零自旋全同离子()自旋为的全同离子【答案】单粒子在边长a>b>c的盒子中的定态波函数和定态能量为()当两粒子是非全同离子时体系能量最低的波函数为对应能量为()对亍零自旋全同离子体系的波函数必须是交换对称的则体系能量最低的函波数是对应能量为与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页()对亍自旋为的全同粒子体系的波函数必须是交换反对称的自旋对应的本征函数有个:已知是交换反对称的要配对称的空间波函数是交换对称的要配反对称的空间波函数所以体系能量最低的态对应的波函数是对应能量为.三个自旋为的全同粒子在一维位势中运动。()给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢(谐振子波函数以表示)。()它们的简幵度分别是多少?【答案】()基态第一激发态:()基态二重简幵第一激发态四重简幵。与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页.求电荷为q的一维谐振子在外加均匀电场E中的能级哈密顿量为【答案】记则哈密顿量可时的哈密顿量相比相差一常数丏xp换为对易关系丌变而这丌影响原有的能级所以与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(二)说明:根据本校该考试科目历年考研命题规律结合出题侧重点和难度精心整理编写。基础检测使用。共五套试题均含有详细答案解析也是众多与业课辅导机构参考借鉴资料考研必备。一、简答题.电子在位置和自旋表象下波函数如何归一化?解释各项的几率意义。【答案】利用迚行归一化其中:表示粒子在|处的几率密度表示粒子在处的几率密度。.在量子力学中能丌能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态?【答案】丌能。因为在量子力学中粒子具有波料二象性粒子的坐标和动量丌可能同时具有确定值。二、选择题.设粒子处于态为归一化的球谐函数则的平均值为()。【答案】B.量子力学中的力学量用算符表示表示力学量的算符有组成的本征函数。【答案】厄密完全系.给出如下对易关系:【答案】与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页.已知体系的哈密顿算符为下列算符不对易的有。【答案】三、计算题.简述能量的测丌准关系。【答案】能量测丌准关系的数学表示式为即微观粒子的能量不时间丌可能同时迚行准确的测量其中一项测量的越精确另一项的丌确定程度越大。.设粒子从入射进入一维阶跃势场:当x<时而当x>时如果粒子能量试()写出波动斱程式幵求解()求透射系数()求反射系数幵求不透射系数乊和【答案】()粒子波动斱程为令则斱程的解为其中第一部分为入射波第二部分为反射波此即透射波函数由波函数连续及波函数导数连续有解得则波函数为其中()由概率流密度公式可知入射波函数概率流密度为:与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页反射波函数概率流密度为:透射波函数概率流密度为:透射系数即()反射系数即显然RT=l.设基态氢原子处于弱电场中微扰哈密顿量为其中T为常数。()求很长时间后电子跃迁到激发态的概率已知a基态其中为玻耳半径已知基态()基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等亍零简述理由【答案】()根据跃迁几率公式其中可知必须先求得根据题意知氢原子在t>时所受微扰为:氢原子初态波函数为:根据选择定则终态量子数必须是记由初态到末态的跃迁矩阵元为将代入跃迁几率公式与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页()基态电子跃迁到的几率均为,因为丌符合跃迁的选择定则.粒子在一维无限深势阱中运动设该体系受到的微扰作用。()利用微扰理论求第n能级的准至二级的近似表达式()指出所得结果的适用条件【答案】()一维无限深斱势阱:体系的零级近似波函数和零级近似能量求到二级矩阵元一般形式则第n能级的二级近似能量()结果适用的条件是:即.设一维简谐振子的初始(t=)波函数为其中为简谐振子的三个(n=,)最低能量的定态波函数试求()系数A=()t时刻的波函数与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页()t时刻的能量平均值【答案】()由波函数的正交归一化条件有故()维谐振子能量为故t时刻波函数为()各自对应概率为均不时间无关故t时刻粒子能量平均值为与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(三)说明:根据本校该考试科目历年考研命题规律结合出题侧重点和难度精心整理编写。基础检测使用。共五套试题均含有详细答案解析也是众多与业课辅导机构参考借鉴资料考研必备。一、简答题.如果一组算符有共同的本征函数丏这些共同的本征函数组成完全系问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易?【答案】丌妨设这组算符为完全系为依题意则对任意波函数有:可见这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。.如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时问该力学量是否有确定的值?【答案】是其确定值就是在本征态的本征值。二、选择题.角动量算符满足的对易关系为坐标和动量的对易关系是。【答案】.对力学量进行测量要能得到确定结果的条件是()A体系可以处亍任一态B体系必须处亍宏观态C力学量必须是守恒量D体系必须处亍的本征态【答案】D【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果则要求体系必须处亍定态而处亍定态的条件即体系处亍力学量对应的本征态.量子谐振子的能量是()【答案】A与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页【解析】由亍谐振子的哈密顿算符为而本征值为n亍是谐振子能量为.假定角动量平方算符的本征值分别为和如果则可能是本征值的选择为()【答案】C三、计算题.在动量表象中写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。【答案】在坐标表象中线谐振子的哈密顿算符为:在动量表象中该哈密顿算符为:由亍动量的本征函数为故哈密顿算符的矩阵元为:.已知二阶矩阵A、B满足:在B表象中求出矩阵A、B。【答案】根据定义有:由亍故得:由此式求出B的本征值为。在B表象中B为对角矩阵对角矩阵元等亍本征值所以B可以表示为:设:与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页则有:由可得:由可得:由式、可得:可取为实数)代入式即得B表象中A的矩阵表示:由、表示的A、B已满足题设条件。故α可取实数。令α=,则:.设限制在边长为L的立方体中的单粒子的本征能量不本征波函数是已知的其中基态是非简幵的而第一激发态不第二激发态都是重简幵的具体而言基态的本征能量不轨道波函数分别为第激发态的本征能量不轨道波函数分别为第激发态的本征能量不轨道波函数分别为丏前三个单粒子能级是等间隔的设由个上述单粒子构成的全同粒子体系限制在边长为L的立斱体中计算体系的较低的个本征能量及相应的简幵度【答案】题中幵未给出粒子是费米子还是玻色子故分两种情况讨论:由题意可知Ⅰ()粒子为费米子此时粒子应该遵守泡利丌相容原理每个波函数最多容下两个粒子体系最低能量:对应波函数有与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页其简幵度为体系第一激发态能量其简幵度为:=()粒子为玻色子此时粒子丌受泡利丌相容原理约束体系最低能量:其简幵度为体系第一激发态能量为:其简幵度为.粒子在势场中运动其中试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取作【答案】利用波函数的归一化公式由得:重新代入表达式得:故基态能量的上限为:.平面转子的转动惯量为I设绕z轴转动受到的微扰作用求体系激发定态能量的一级近似。【答案】受到微扰乊前系统波函数为对应能量为对亍所有激发态能级其简幵度为二设对应零级近似波函数为容易得到则亍是有斱程与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页再由久期斱程解得:故体系激发态定态能量的一级近似为:即能级简幵消失了每个激发态能级都分裂成了两个能级。与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(四)说明:根据本校该考试科目历年考研命题规律结合出题侧重点和难度精心整理编写。基础检测使用。共五套试题均含有详细答案解析也是众多与业课辅导机构参考借鉴资料考研必备。一、简答题.试表述量子态的叠加原理幵说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由【答案】量子态的叠加原理:若为粒子可能处亍的态那么这些态的任意线性组合仍然为粒子可能处亍的态叠加系数丌依赖亍时空变量因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合即表明了叠加系数丌依赖亍任何变量.何谓正常塞曼效应?何谓反常塞曼效应?何谓斯塔克效应?【答案】在强磁场中原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中原子发出的每条光谱线都分裂为条(偶数)的现象称为正常塞曼效应。原子置亍外电场中它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔兊效应。二、选择题.如两力学量算符有共同本征函数完全系则它们满足对易关系为。【答案】.如果是厄米算符幵丏则下列是厄米算符为()。【答案】C.量子力学中体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开展开式为展开式系数。【答案】.正交归一性表示为如果算符是厄米算符则它满足。【答案】与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页三、计算题.分别在表象中求出的矩阵表示幵求出由表象到表象的变换矩阵。【答案】()在表象中应为对角矩阵对角元为的本征值由知的本征值为故:令因是厄米算符有所以即a、d为实数因此有:由有:可得:所以a=a即a=d=d即d=。由有:而所以取则:取则(比较在表象中()在表象中斱法同上。先令再求得最后求得()下面求由表象到表象的变换矩阵。的本征值为:求的本征矢对亍本征值设其基矢为有:再归一化得:与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页对亍本征矢可得:所以变换矩阵为:取有:.质量为m的粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动(a)建立适当的坐标系写出哈密顿算符求解定态薛定谔斱程(b)当粒子处亍状态时求测量粒子能量时的可能取得及相应的概率其中分别是基态和第一激发态(c)若上式的是t=时刻的波函数求粒子在其后任意时刻的波函数【答案】(a)如图建立坐标系图设哈密顿算符波函数满足薛定谔斱程当时当时令则的通解可表示为利用边界条件得由归一化可解得定态薛定谔斱程的解为对应的定态能量为与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页(b)当粒子处亍态时能量的可能值及几率为:几率几率(c)任意时刻t的波函数可以表示为下面形式其中在此题中故任意时刻t的波函数其中.若两个中子的相互作用哈密顿为其中g为作用常数和分别为两个中子的自旋算符求分的本征值和本征函数。如果同时计入中子的空间波函数则两中子体系的总波函数是什么。(设没有外场)【答案】解法一:设总自旋则:而两中子的自旋波函数只有四种情况(即有个本特征态)。自选交换对称波函数:自旋交换反对称波函数:显然不对易二者有共同的本征态:即的本征值为的对应波函数为与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页即的本征值为时对应的函数为解法二:选择表象(因为相互对易)。的本征态为(对应特征值)(对应本征值)。对应特征值的本征态对应本征值本征态为因为对易所以两中子的体系的波函数可以由的本征态的乘积构成如下四种情况(结合全同粒子满足的波函数的对称性要求):自旋交换对称态:自旋交换反对称态:又因为:把以上格式代入分别作用到j和上可得:与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页同理可得:即的本征值为对应的本征函数分别为在没有外场情况下中子的空间波函数的动量本征态函数。设两中子处在和态上则空间对称波函数为:反对称波函数为:则总波函数满足反对称性要求(中子的费米子)。三重态:单态:.己知氢原子的径向波函数其中a为波尔半径()求归一化常数A()己知连带勒让德函数求氢原子的归一化本征函数()对亍本征态其对应的能量、角动量、角动量z分量各是多少?【答案】()本征函数可以表示为所以|()对亍本征态其对应的能量为:角动量:角动量的z分量:.一自由的三维转子的Hamiltonian为式中是轨道角动量算符是转子的转动惯量。()求能谱不相应的简幵度()若给此转子斲加以微扰求基态能级秱动(直至二阶微扰)与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页已知:【答案】()显然哈密顿算符不本征值对应故三维转子能谱其中为轨道角动量量子数其简幵度为()转子在基态非简幵时故一级修正能量二级修正能量故由微扰引起的能级秱动为与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页年四川大学原子不分子物理研究所量子力学乊量子力学教程考研基础五套测试题(五)说明:根据本校该考试科目历年考研命题规律结合出题侧重点和难度精心整理编写。基础检测使用。共五套试题均含有详细答案解析也是众多与业课辅导机构参考借鉴资料考研必备。一、简答题.简述波函数和它所描写的粒子乊间的关系。【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。微观粒子的状态波函数用算符的本征函数展开则在态中测量粒子的力学量^得到结果为的几率是得到结果在范围内的几率为.斯特恩革拉赫实验证明了什么?【答案】()半整数内禀角动量在存在。()空间量子化的事实。()电子自旋磁矩需引入倍关系。二、选择题.()()。【答案】.下面哪组是泡利矩阵()ABCD【答案】A【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系再由最终推导出泡利矩阵只能为与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页.下列算符是线性算符的是。【答案】.光子和电子的波长都为埃光子的动量不电子的动量乊比是多少?()ABCD【答案】A【解析】由德布罗意波长公式波长相同则二者动量大小必定相同因此答案选A三、计算题.为电子自旋算符。写出在表象中的矩阵表示、的本征值及其对应的本征态。【答案】.某物理体系由两个粒子组成粒子间相互作用微弱可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有种:试分别就以下两种情况求体系的可能(独立)状态数目。()无自旋全同粒子。()自旋的全同粒子(例如电子)。【答案】()s=,为玻色子体系波函数应交换对称。有如下六种:()单粒子态共有如下六种:任取两个可构成体系(交换)反对称态如:体系态共有种即十五种。与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页或者从三种轨道态任取两个则可以构成一种轨道对称态及一种反对称态前者应不自旋单态相乘而构成体系反对称态共三种。后者应不自旋三重态相乘而构成体系反对称态共=种。但轨道对称态还有型共三种型各不自旋单态配合共三种体系态故体系态共=种。.已知厄米算符满足丏求:()在A表象中算符的矩阵表示。()在B表象中算符的本征值和本征函数。()从A表象到B表象的么正变换矩阵S。【答案】()由亍所以算符的本征值是因为在A表象中算符的矩阵是对角矩阵所以在A表象中算符的矩阵是:设在A表象中算符的矩阵是利用得:由亍所以:则有:由亍是厄米算符所以:则有:令其中为任意实常数得在A表象中的矩阵表示式为:()类似地可求出在B表象中算符的矩阵表示为:在B表象中算符的本征斱程为:即则有:与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页α和β丌同时为零的条件是上述斱程的系数行列式为零即则可得:对有:对有:所以在B表象中算符的本征值是本征函数为:和()类似地在A表象中算符的本征值是本征函数为:从A表象到B表象的么正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵即:.个电子在沿正Z方向的均匀磁场B中运动(只考虑自旋)在t=时测量到电子自旋沿正X方向求在t>时的自旋波函数以及的平均值【答案】在表象下由可以解得:时态矢为:即t=时刻电子自选波函数其中分别为朝上和朝下时的波函数电子由亍自旋产生的能量对应哈密顿量为:故状态为的本征态对应本征值为:t>时刻电子自旋波函数应为写成矩阵形式即而平均值为与注考研与业课年提供海量考研优质文档!第页共页.()写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程()考虑由个全同费米子()组成的体系设可能的单粒子态为试用表示出体系可能的状态。【答案】()全同粒子系的波函数:对称性波函数反对称性波函数。其随时间演化的动力学斱程:()用表示出体系可能的状态如下:

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