2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用教学案：第三章 3.1数系的扩充和复数的概念含答案

高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用教学案 第1课时　数系的扩充和复数的概念 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P50～P51的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，回答下列问题． (1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ 提示：没有． (2)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？ 提示：引入了新数i，使i·i＝－1. (3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？ 提示：分别得到a＋i，bi. (4)把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到什么结果？ 提示：得到a＋bi. 2．归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ，核心必记 (1)复数的概念及代数表示 ①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集． ②表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部． (2)复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. (3)复数的分类 ①复数a＋bi(a，b∈R) ②集合表示： [问题思考] (1)复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？ 提示：不一定．只有当m∈R，n∈R时，m， n才是该复数的实部、虚部． (2)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，它的虚部是b还是bi? 提示：虚部为b. (3)复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？ 提示：b＝0. (4)复数集C与实数集R之间有什么关系？ 提示：RC. (5)我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？ 提示：它的实部和虚部都是0. (6)a＝0是z＝a＋bi为纯虚数的充要条件吗？ 提示：不是．因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件． (7)z1＝3＋2i，z2＝ 提示：z1的实部为3，虚部为2；z2的实部为 (8)若(a－2)＋bi>0，则a，b应满足什么条件？ 提示：要使(a－2)＋bi>0成立，则(a－2)＋bi应为实数，且a－2>0，即 [课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)复数的定义是什么？ 　； (2)复数的代数形式是什么？什么是复数的实部和虚部？ 　； (3)复数相等的充要条件是什么？ 　 　； (4)复数的分类是什么？复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数的条件是什么？ 　 　. 　 讲一讲 1．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [尝试解答]　对(1)，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以(1)为假命题；对(2)，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，(2)为假命题；对(3)，2i＝0＋2i，其实部是0，(3)为真命题．故选B. [答案]　B (1)两个复数不全是实数，就不能比较大小． (2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上． (3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部． 练一练 1．下列命题中： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②复数z＝0的实部和虚部均为0； ③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是(　　) A．① B．②④ C．②③ D．③④ 解析：选B　在①中，若a＝－1， 则(a＋1)i不是纯虚数， 故①错误； 在③中，若x＝－1， 则(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0为实数， 故③错误；②、④正确． 　 [思考]　当a，b满足什么条件时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数？ 名师指津：当b＝0时，a＋bi是实数；当b≠0时，a＋bi是虚数；当a＝0，b≠0时，a＋bi是纯虚数． 讲一讲 2．实数x分别取什么值时，复数z＝ [尝试解答]　(1)当x满足 即x＝5时，z是实数． (2)当x满足 即x≠－3且x≠5时，z是虚数． (3)当x满足 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，列出实部、虚部应满足的关系式再求解． 练一练 2．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)若z为实数，则 解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数． (2)若z是虚数，则 即 解得m≠－2且m≠－1. ∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数． (3)若z为纯虚数，则 即 解得m＝0. ∴当m＝0时，z为纯虚数． 　 [思考]　若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，则z1＝z2的充要条件是什么？ 名师指津：z1＝z2⇔a＝c且b＝d. 讲一讲 3．根据下列条件，分别求实数x，y的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [尝试解答]　(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R， ∴ 解得 (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R， ∴ 复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解． 练一练 3．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且x，y满足2x＋y＋xi＝8＋(1＋y)i，求复数z. 解：∵2x＋y＋xi＝8＋(1＋y)i，且x，y∈R， ∴ 即 解得 ∴z＝2＋i. ———————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————— 1．本节课的重点是复数的分类及复数相等的充要条件，难点是复数的概念． 2．本节课要重点掌握的规律 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (1)由复数的分类求参数，见讲2； (2)复数相等的充要条件的应用，见讲3. 3．若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．这是本节课的易错点． 课下能力提升(七) [学业水平达标练] 题组1　复数的概念 1．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(　　) A．M∪R＝I B．(∁IM)∪R＝I C．(∁IM)∩R＝R D．M∩(∁IR)＝∅ 解析：选C　根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示． 所以应有：M∪RI，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)≠∅，故A，B，D三项均错，只有C项正确． 2．以－ A．2－2i B．2＋2i C．－ 解析：选A　－ 3．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．－2 B. 解析：选D　复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2. 4．下列四个命题： ①两个复数不能比较大小； ②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④实数集相对复数集的补集是虚数集． 其中是真命题的有________(填序号)． 解析：①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．故①不正确； ②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件．故②不正确； ③若a＝0，则ai不是纯虚数，即实数集中的0在纯虚数集中没有对应元素，故③不正确； ④由实数集、虚数集、复数集之间的关系知④正确． 答案：④ 题组2　复数的分类 5．在2＋ A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C　 6．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　) A．－1 B．2 C．1 D．－1或2 解析：选D　∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2. 7．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．－1 解析：选B　根据复数的分类知，需满足 8．已知m∈R，复数z＝ (1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数． 解：(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且 (2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且 (3)要使z为纯虚数，需满足 题组3　复数相等的充要条件 9．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4 解析：选C　易知 10．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________. 解析：∵x，y是实数， ∴根据两个复数相等的充要条件， 可得 答案： [能力提升综合练] 1．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为(　　) A．－2 B．3 C．－3 D．±3 解析：选B　依题意应有 2．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i(x，y∈R)，则x，y的值分别为(　　) A．1,2 B．2,1 C．－1,2 D．－2,1 解析：选A　(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i⇔ 3．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为(　　) A．－1或6 B．－1或4 C．－1 D．4 解析：选C　由M∩N＝{3}，知 m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3， ∴ 4．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为(　　) A．0 B．－1 C．－ 解析：选A　由z1>z2， 得 解得a＝0. 5．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，则实数m＝________. 解析：因为log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，所以 答案：4 6．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值(或取值范围)是________． 解析：由题意知 解得x＝－2. 答案：－2 7．已知关于x，y的方程组 解：设(x0，y0)是方程组的实数解，则由已知及复数相等的充要条件得 由①②得 8．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值． 解：∵M∪P＝P，∴M⊆P， 即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1， 得 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 得 综上可知m＝1或m＝2. 第2课时　复数的几何意义 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P52～P53的内容，回答下列问题． (1)根据复数相等的定义，复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)之间有什么对应关系？ 提示：一一对应关系． (2)有序实数对(a，b)与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？ 提示：一一对应关系． (3)通过以上2个问题，你认为复数集与平面直角坐标系中的点集之间有什么对应关系？ 提示：一一对应关系． 2．归纳总结，核心必记 (1)复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)； ②复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量. (3)复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝ [问题思考] (1)复平面的虚轴的单位长度是1，还是i? 提示：复平面的虚轴的单位长度是1，而不是i. (2)原点是实轴与虚轴的公共点吗？ 提示：是． (3)若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？ 提示：a满足 (4)若复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|为何值？ 提示：|a|＝ [课前反思] (1)复平面的定义是什么？什么是实轴、虚轴？ 　 　； (2)复数的几何意义是什么？ 　 　； (3)复数模的定义是什么？ 　 　. 　 [思考]　如何判断复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内所对应的点的位置？ 名师指津：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点(a，b)对应，根据a，b的符号判断点(a，b)所在象限或坐标轴即可． 讲一讲 1．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上． [尝试解答]　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数． (1)当实数x满足 即－30，得m<－3或m>5，此时z在复平面内对应的点位于x轴上方． (2)由m2＋5m＋6＝m2－2m－15，得m＝－3，此时z在复平面内对应的点位于直线y＝x上． 　 [思考]　与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的平面向量是什么？ 名师指津：与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的平面向量＝(a， b)． 讲一讲 2．(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i (2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. ①求向量，，对应的复数； ②若ABCD为平行四边形，求D对应的复数． [尝试解答]　(1)向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)． 由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. (2)①设O为坐标原点，由复数的几何意义知： ＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)， 所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)， 所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. ②因为ABCD为平行四边形， 所以＝＝(－3,1)， ＝＋＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D对应的复数为－2＋i. [答案]　(1)B (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 练一练 2．在复平面内，O是原点，若向量对应的复数z的实部为3，且||＝3，如果点A关于原点的对称点为点B，求向量对应的复数． 解：根据题意设复数z＝3＋bi(b∈R)， 由复数与复平面内的点、向量的对应关系得＝(3，b)， 已知||＝3，即 解得b＝0，故z＝3，点A的坐标为(3,0)． 因此，点A关于原点的对称点为B(－3,0)， 所以向量对应的复数为z′＝－3. 　 [思考]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模是什么？其模的几何意义是什么？ 名师指津：复数z＝a＋bi的模|z|＝ 讲一讲 3．已知复数z1＝ (1)求|z1|及|z2|并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？ [尝试解答]　(1)|z1|＝| (2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则点Z的坐标为(x，y)． 由|z|＝|z1|＝2得 所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． 法二：由|z|＝|z1|＝2知|OZ―→|＝2(O为坐标原点)， 所以Z到原点的距离为2. 所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． (1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小． (2)根据复数模的计算公式|a＋bi|＝ (3)根据复数模的定义|z|＝|OZ―→|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决． 练一练 3．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围． 解：因为z＝3＋ai(a∈R)， 所以|z|＝ 由已知得32＋a2<42， 所以a2<7， 所以a∈(－ ——————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————— 1．本节课的重点是复数的几何意义及复数模的计算，难点是复数几何意义的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)复数与复平面内点的对应关系，见讲1； (2)复数与平面向量的对应关系，见讲2； (3)复数模的计算及应用，见讲3. 课下能力提升(八) [学业水平达标练] 题组1　复数与复平面内点的对应关系 1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 解析：选C　复数6＋5i对应A点坐标为(6,5)，－2＋3i对应B点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为2＋4i，故选C. 2．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D　∵ 故z＝sin 2＋icos 2对应的点位于第四象限． 3．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________． 解析：∵复数z在复平面内对应的点在第四象限， ∴ 答案：(3，＋∞) 4．设z＝log2(1＋m)＋ilog (1)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围； (2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值． 解：(1)由已知，得 即 ∴m的取值范围是(－1,0)． (2)由已知得，点(log2(1＋m)，log 即log2(1＋m)－log ∴log2[(1＋m)(3－m)]＝1， ∴(1＋m)(3－m)＝2， ∴m2－2m－1＝0， ∴m＝1± 题组2　复数与平面向量的对应关系 5．向量对应的复数为z1＝－3＋2i，对应的复数z2＝1－i，则|＋|为(　　) A. 解析：选A　因为向量对应的复数为z1＝－3＋2i，对应的复数为z2＝1－i， 所以＝(－3,2)，＝(1，－1)， 则＋＝(－2,1)， 所以|＋|＝ 6．向量＝( A．－ C．1＋ 解析：选B　向量＝( 7．在复平面内，O是原点，已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，求x＋y的值． 解：由已知，得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)， 所以x＋y＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)． 由＝x＋y， 可得 解得 题组3　复数模的计算及应用 8．已知复数z＝ A．5 B．8 C．6 D. 解析：选D　|z|＝ 9．已知0