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2015年吉林市普通高中高三复习第三次调研测试卷(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24小题,共150分,考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集,集合,集合,则图中阴影部
分所表示的集合是( )
A. B.
C. D.
2.已知i为虚数单位,则( )
A. B. C. D.
3.已知是第四象限角,且,则( )
A. B. C. D.
4.已知实数满足,则目标函数的最大值为 ( )
A.-4 B.1 C.2 D.3
5. 已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ>3)=0.023,则P(-1≤ξ≤3)等于( )
A.0.977 B.0.954 C.0.628 D.0.477
6.等于( )
A. B. C. D.
7.现有三个函数:①,②,③的图象(部分)如下:
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A.①②③ B.③①② C.②①③ D.③②①
8.已知执行如图所示的程序框图,输出的,则判断框内的条件可以是( )
A. B. C. D.
9.一个几何体的三视图如图,则其表面积为( )
A.20 B.18 C. D.
10.边长为4的正方形ABCD的中心为O,以O为圆心,1为半径作圆,点M是圆O上的任意一点,点N是边AB、BC、CD上的任意一点(含端点),则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知边长为1的等边三角形与正方形有一公共边,二面角
的余弦值为,若A、B、C、D、E在同一球面上,则此球的体积为( )
A. B. C. D.
12.若存在直线l与曲线和曲线都相切,则称曲线和曲线为“相关曲线”, 有下列四个命题:
①有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”;
②曲线和曲线是“相关曲线”;
③当时,曲线和曲线一定不是“相关曲线”;
④必存在正数使得曲线和曲线为“相关曲线”.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.
二.填空题:本大题共4个小题,每小题5分。
13.从5名志愿者中选出4人,分别参加两项公益活动,每项活动2人,则不同安排方案的种数为 .(用数字作答)
14.设是公比不为1的等比数列,其前n项和为,若成等差数列,则 .
15.把函数图象上各点向右平移个单位,得到函数的图象,则的最小值为 .
16.已知直线与抛物线交于A,B两点,点P为直线l上一动点,M,N是抛物线C上两个动点,若,, 则△PMN的面积的最大值为 .
三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,设S为△ABC的面积,满足.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若,设,,求函数的解析式和最
大值.
18.(本小题满分12分)
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如下直方图:
(Ⅰ)若直方图中前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;
(Ⅱ)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查,得到如下数据:
根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
(Ⅲ)在(Ⅱ)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50名的学生人数为,求的分布列和数学期望.
附:
19.(本小题满分12分)
如图,在多面体ABCDEF中,正方形与梯形所在平面互相垂直,,,,分别为和的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△的周长为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点作与直线l平行的直线m,且直线m与抛物线交于P、Q两点,若A、P在x轴上方,直线PA与直线QB相交于x轴上一点M,求直线l的方程.
21.(本小题满分12分)
设函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)如果对所有的≥0,都有≤,求的最小值;
(Ⅲ)已知数列中,,且,若数列的前n项和为,求证:.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,在△ABC中,,以为直径的⊙O交于,过点作⊙O的切线交于,交⊙O于点.
(Ⅰ)证明:是的中点;
(Ⅱ)证明:.
23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在极坐标系中曲线C的极坐标方程为,点. 以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.斜率为的直线l过点M,且与曲线C交于A,B两点.
(Ⅰ)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;
(Ⅱ)求点M到A,B两点的距离之积.
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数,,.
(Ⅰ)当时,若对任意恒成立,求实数b的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数的最小值.
2015年吉林市普通高中高三复习第三次调研测试卷(理)
参考答案及评分
标准
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评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:每小题5分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
C
B
D
C
C
A
C
D
C
二、填空题:每小题5分
13.30 14. 5 15. 16.1
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)由已知及三角形面积公式和余弦定理得
……2分∴,又 ……4分所以 ……5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,△ABC的内角和,又得. ……6分
由正弦定理,知, ……7分
……8分
所以
……10分
当,即时,取得最大值 ……12分
18.解:
(Ⅰ)设各组的频率为,
由前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,可得前三组的频率成等比数列,后四组的频率成等差数列,故
,, ……1分
所以由得, ……2分
所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83, ……3分
故全年级视力在5.0以下的人数约为 ……4分
(Ⅱ) ……6分因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. ……7分
(Ⅲ)依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人, ……8分
可取0,1,2,3
,
,
,
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
……11分
X的数学期望 ……12分
19.解:
(Ⅰ)在梯形中,取CD中点H,连接BH,因为,,所以四边形ADHB为正方形,又,,所以,所以 ……2分
又平面平面ABCD,平面平面ABCD,
所以平面ABCD, ……4分
,又,故平面. ……5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABCD,,所以DE,DA,DC两两垂直.
以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系,
则,,,,,,
……7分
设为平面BMC的法向量,则,即
可取, ……9分
又,所以 ……11分
直线与平面所成的角的正弦值为 ……12分
20.解:
(Ⅰ)依题意,, ……2分
所以, ……3分
故椭圆C的方程为 ……4分
(Ⅱ)设,
直线l的方程为:,直线m的方程为
依题意得
则,可得,令, ……5分
由消去x,得, ……6分
则,把代入,整理,得① ……8分
由 消去x,得, ……9分
则,把代入,整理,得② ……10分
由①②消去,得,解得或或 ……11分
故直线l的方程为:或或 ……12分
21. 解:
(Ⅰ) 的定义域为, ……1分
当时,,当时, ……2分
所以函数在上单调递减,在单调递增. ……3分
(Ⅱ)设,则
因为≥0,故 ……5分
(ⅰ)当时,,,所以在单调递减,而,所以对所有的≥0,≤0,即≤;
(ⅱ)当时,,若,则, 单调递增,而,所以当时,,即;
(ⅲ)当时,,,所以在单调递增,而,所以对所有的,,即;
综上,的最小值为2. ……8分
(Ⅲ)由得,,由得,,
所以,数列是以为首项,1为公差的等差数列,
故,, ……9分
由(Ⅱ)知时,,,
即,. ……10分
法一:令,得,
即
因为 ……11分
所以 ……12分
故 ……12分
法二:
下面用数学归纳法证明.
(1)当时,令代入,即得,不等式成立
(2)假设时,不等式成立,即
则时,
令代入,得
即
由(1)(2)可知不等式对任何都成立.
故 ……12分
22.解:
(Ⅰ)证明:连接,因为为⊙O的直径,所以,又,所以CB切⊙O于点B,且ED切于⊙O于点E,因此, ……2分
,,所以,
得,因此,即是的中点 ……5分
(Ⅱ)证明:连接BF,可知BF是△ABE斜边上的高,可得△ABE∽△AFB
于是有,即, ……8分
同理可证
所以 ……10分
23.解:
(Ⅰ),,由得.
所以即为曲线C的直角坐标方程; ……2分
点M的直角坐标为, ……3分
直线l的倾斜角为,故直线l的参数方程为
(t为参数)即(t为参数) ……5分
(Ⅱ)把直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的方程得
,即, ……7分
,
设A、B对应的参数分别为,则 ……8分 又直线l经过点M,故由t的几何意义得
点M到A,B两点的距离之积 ……12分
24.解:
(Ⅰ)当时,,
……1分
,当且仅当时等号成立 ……4分
实数b的取值范围是 ……5分
(Ⅱ)(Ⅱ)当时, , ……7分
当时,; ……8分
当时,,当且仅当等号成立; ……9分
故当时,函数取得最小值0. ……10分
1