数列·例题解析
【例1】 求出下列各数列的一个通项公式
解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n－1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n，所以，已知数列的
(2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n的(2n－1)与2n＋1的积，也即(2n－1)(2n＋1)，因此，所给数列的通项公式为：
(3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n与n＋2的积，也即n(n＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给数列的通项公式为：
1，4，9，16，25，…是序号n的平方即n2，分母均为2．因此所
【例2】 求出下列各数列的一个通项公式．
(1)2，0，2，0，2，…
(3)7，77，777，7777，77777，…
(4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…
解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式an＝(－1)n+1＋1．
所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的
数列n，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看作是2，
(4)所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…可以改写
说明
1．用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．对于项的结构比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来．
2．对于常见的一些数列的通项公式(如：自然数列，an=n；自然数的平方数列，an＝n2；奇数数列，an＝2n－1；偶数数列，an=2n；
纳出数列的通项公式．
3．要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形方法，将其转化为常见的一些数列．
几项．
【例4】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n
(2)Sn＝n2＋1
(3)Sn＝2n＋3
(4)Sn＝(－1)n+1·n
解 (1)当n=1时，a1=S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，因此an=4n－5．
(2)当n＝1时，a1＝S1=1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，由于a1不适合于此等式，
(3)当n＝1时，a1=S1＝2＋3=5；
当n≥2时，an=Sn－Sn-1＝2n＋3－(2n-1＋3)＝2n-1，由于a1不适合于此等式，
(4)当n＝1时，a1＝S1=(－1)2·1=1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=(－1)n+1·n－(－1)n·(n－1)=(－1)n+1(2n－1)，由于a1也适可于此等式，因此an＝(－1)n+1(2n－1)，n∈N*．
说明 已知Sn求an时，要先分n＝1和n≥2两种情况分别进行计算，然后验证能否统一．
(1)写出数列的前5项；
(2)求an．
(2)由第(1)小题中前5项不难求出．
【例6】 数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2．
(1)求a3＋a5；
解 由已知：a1·a2·a3·…·an＝n2得
说明 (1)“知和求差”、“知积求商”是数列中常用的基本方法．
(2)运用方程思想求n，若n∈N*，则n是此数列中的项，反之，则不是此数列中的项．
【例7】 已知数an=(a2－1)(n3－2n)(a=≠±1)是递增数列，试确定a的取值范围．
解法一 ∵数列{an}是递增数列，∴an+1＞an
an+1－an＝(a2－1)[(n＋1)3－2(n＋1)]－(a2－1)(n3－2n)
＝(a2－1)[(n＋1)3－2(n＋1)－n3＋2n]
＝(a2－1)(3n2＋3n－1)
∵(a2－1)(3n2＋3n－1)＞0
又∵n∈N*，∴3n2＋3n－1=3n(n＋1)－1＞0
∴a2－1＞0，解得a＜－1或a＞1．
解法二 ∵{an}是递增数列，∴a1＜a2即：
(a2－1)(1－2)＜(a2－1)(8－4)
化简得 a2－1＞0
∴a＜－1或a＞1
说明 本题从函数的观点出发，利用递增数列这一已知条件，将求取值范围的问题转化为解不等式的问题
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