线性代数测试题（三）
一、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【 】内。答案错选或未选者该题不得分。每小题4分，共20分。）
1.设
为
阶方阵，满足等式
，则必有 【 】
A.
或
； B.
；
C.
或
； D.
.
2.四阶行列式
的值等于 【 】
A.
； B.
；
C.
； D.
.
3.设
是
EMBED Equation.3 阶矩阵，
是
的伴随矩阵，若
，则
等于 【 】
A.
； B.
； C.
； D.
.
4.设
是
阶方阵，且
=0，则 【 】
A.
中必有两行(列)的元素对应成比例；
B.
中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合；
C.
中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合；
D.
中至少有一行(列)向量的元素为0.
5.设
为
矩阵，齐次线性方程组
仅有零解的充分必要条件是 【 】A.
的列向量组线性无关； B.
的列向量组线性相关；
C.
的行向量组线性无关； D.
的行向量组线性相关.
二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。）
1.设
为
阶方阵，
为
阶方阵，且
EMBED Equation.3 ,
则
.
2 设
和
为可逆矩阵，
为分块矩阵，则
.
3.设向量组
线性无关，则
必满足关系式
.
4.已知线性方程组
无解，则
.
5.若4阶矩阵
与
相似，且
的特征值为2，3，4，5，则矩阵
的全部特征值为
.
三、计算证明题（55分）
1.(7分) 计算行列式
.
2.(7分) 设矩阵
和
满足关系式
，其中
.
求矩阵
.
3.(15分) 已知
求：
(1)与
都正交的向量；
(2)与
等价的规范正交向量组.
4.(15分) 设三阶实对称矩阵
的特征值是1，2，3，矩阵
的属于特征值1,2
的特征向量分别是
(1)求
的属于特征值3的特征向量；
(2)求矩阵
.
5.(11分) 设
是对称矩阵，
是反对称矩阵，试证明：
是对称矩阵.
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