2013届高三数学二轮复习热点_专题一_高考中选择题、填空题解题能力突破26_考查空间角与距离_理
"2013届高三数学二轮复习热点 专题一 高考中选择题、填空题解题能力突破26 考查空间角与距离 理 "
【例59】► (2012·陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )．
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(3,5)
解析 设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2...
"2013届高三数学二轮复习热点 专题一 高考中选择题、填空题解题能力突破26 考查空间角与距离 理 "
【例59】► (2012·陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )．
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(3,5)
解析 设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量eq \o(AB1,\s\up6(→))＝(－2,2,1)，eq \o(BC1,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈eq \o(AB1,\s\up6(→))，eq \o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq \f(－2×0＋2×2＋1×－1,\r(0＋4＋1)·\r(4＋4＋1))＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5).
答案 A
【例60】► (2012·辽宁)已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为eq \r(3)的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．
解析 先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥PABC可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC的距离等于体对角线长的eq \f(1,6)，故球心到截面ABC的距离为eq \f(1,6)×2eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3).
答案 eq \f(\r(3),3)
命题研究：1.两条异面直线所成的角的求解多以柱体为载体，计算较为简单，主要以选择题或填空题的形式进行考查；
2.直线和平面所成的角多以多面体为载体，在选择题或填空题中主要考查利用定义法求解；
3.以特殊的柱体或锥体为载体，直接考查点到面或面到面的距离，多为选择题或填空题，试题难度不大.
[押题50] 如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，且CC1⊥底面ABC，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角为( )．
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
答案： A [由题意可知该三棱柱为正三棱柱，设其棱长为2，eq \o(BA,\s\up6(→))＝a，eq \o(BB1,\s\up6(→))＝b，eq \o(BC,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，c〉＝eq \f(π,3)，〈a，b〉＝〈b，c〉＝eq \f(π,2)，所以a·c＝2×2×coseq \f(π,3)＝2，a·b＝b·c＝0.而eq \o(AB1,\s\up6(→))＝b－a，eq \o(BM,\s\up6(→))＝c＋eq \f(1,2)b，所以eq \o(AB1,\s\up6(→))·eq \o(BM,\s\up6(→))＝(b－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)b))＝b·c＋eq \f(1,2)b2－a·c－eq \f(1,2)a·b＝0，故〈eq \o(AB1,\s\up6(→))，eq \o(BM,\s\up6(→))〉＝eq \f(π,2)，即异面直线AB1与BM所成的角为eq \f(π,2).]
[押题51] 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq \r(3)，则点A到平面MBC的距离等于________．
解析 取CD的中点O，连接OB、OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则OM⊥平面BCD，所以OM⊥OB.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已
知得OB＝OM＝eq \r(3)，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，eq \r(3))，B(0，－eq \r(3)，0)，A(0，－eq \r(3)，2eq \r(3))．所以eq \o(BC,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3)，0)，eq \o(BM,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，eq \r(3))，eq \o(BA,\s\up6(→))＝(0,0,2eq \r(3))．设n＝(x，y，z)是平面MBC的法向量，由n⊥eq \o(BC,\s\up6(→))，得x＋eq \r(3)y＝0；由n⊥eq \o(BM,\s\up6(→))，得eq \r(3)y＋eq \r(3)z＝0.令x＝eq \r(3)，则y＝－1，z＝1，所以n＝(eq \r(3)，－1,1)是平面MBC的一个法向量．所以点A到平面MBC的距离为eq \f(|\o(BA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(2\r(3),\r(5))＝eq \f(2\r(15),5).
答案 eq \f(2\r(15),5)
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