2018年高考数学二轮复习 第一部分 专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列

2018高考二轮总复习 • 数学 专题三 数列 第一讲　等差数列、等比数列 2018高考二轮总复习 • 数学 等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题；等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点. 2018高考二轮总复习 • 数学 年份 卷别 考查角度及命题位置 2017 Ⅰ卷 等差、等比数列的综合应用·T17 2015 Ⅰ卷 等差数列的通项公式及前n项和公式·T7 等比数列的概念及前n项和公式·T13 Ⅱ卷 等差数列的通项公式、性质及前n项和公式·T5 等比数列的通项公式及性质·T9 2018高考二轮总复习 • 数学 1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　) A．5　　　　　　　　 B．7 C．9 D．11 解析：法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝eq \f(5a1＋a5,2)＝5a3＝5. 法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3， ∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋eq \f(5×4,2)d＝5(a1＋2d)＝5. A 2018高考二轮总复习 • 数学 2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　) A.eq \f(17,2) B.eq \f(19,2) C．10 D．12 2018高考二轮总复习 • 数学 解析：∵公差为1， ∴S8＝8a1＋eq \f(8×8－1,2)×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝eq \f(1,2)， ∴a10＝a1＋9d＝eq \f(1,2)＋9＝eq \f(19,2). 答案：B 2018高考二轮总复习 • 数学 3．(2015·高考全国卷Ⅰ改编)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，求n的值． 解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵Sn＝126，∴eq \f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6. 2018高考二轮总复习 • 数学 方法结论 1．两组求和公式 (1)等差数列：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d； (2)等比数列：Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)(q≠1)． 2．在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量． 2018高考二轮总复习 • 数学 题组突破 1．(2017·贵阳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a9＝16，则S11＝(　　) A．88　　　 B．48 C．96 D．176 依题意得S11＝eq \f(11a1＋a11,2)＝eq \f(11a3＋a9,2)＝eq \f(11×16,2)＝88，选A. 优解：依题意，可考虑将题目中的等差数列特殊化为常数列(注意慎用此方法)，即an＝8，因此S11＝88，选A. A 2018高考二轮总复习 • 数学 题组突破 2．(2017·海口模拟)已知数列{an}，an＞0, 它的前n项和为Sn，且2a2是4a1与a3的等差中项．若{an}为等比数列，a1＝1，则S7＝________. 设数列{an}的公比为q，依题意有a1＝1,4a2＝4a1＋a3，即4q＝4＋q2，故q＝2，则S7＝eq \f(1－27,1－2)＝127. 127 2018高考二轮总复习 • 数学 题组突破 3．(2017·长沙模拟)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}中，b1＝1，b2＝2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和． 2018高考二轮总复习 • 数学 题组突破 (1)设等差数列{an}的公差为d， 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a1＋3d＝8,a1＋4d＝3a1＋3d))， 解得a1＝1，d＝2， 从而{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*. (2)c1＝ab1＝a1＝1，c2＝ab2＝a2＝3， 从而等比数列{cn}的公比为3， 因此cn＝1×3n－1＝3n－1. 2018高考二轮总复习 • 数学 题组突破 另一方面，cn＝a ＝2bn－1， 所以2bn－1＝3n－1， 因此bn＝eq \f(3n－1＋1,2). 记{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝eq \f(1＋31＋…＋3n－1＋n,2)＝eq \f(3n＋2n－1,4). _1569151662.unknown 2018高考二轮总复习 • 数学 误区警示 在运用等比数列前n项和公式时，一定要注意判断公比q是否为1，切忌盲目套用公式导致失误． 2018高考二轮总复习 • 数学 方法结论 1．等差数列、等比数列常用性质： 等差数列 等比数列 性质 (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq； (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， 则am·an＝ap·aq； (2)an＝amqn－m； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) 2018高考二轮总复习 • 数学 方法结论 2.等差数列中利用中项求和： (1)若n为奇数，则Sn＝na . (2)若n为偶数，则Sn＝eq \f(n,2)(a ＋a )． 3．在等差数列中，当项数为偶数2n时，有S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an)；当项数为奇数2n－1时，有S奇－S偶＝an，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n－1,n). 4．在等比数列中，当项数为偶数2n时，eq \f(S偶,S奇)＝q. _1569151724.unknown _1569151765.unknown _1569151691.unknown 2018高考二轮总复习 • 数学 题组突破 1．(2017·洛阳模拟)等差数列{an}为递增数列，若aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,10)＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d等于(　　) A．1　　　　　 B．2 C．9 D．10 依题意得(a1＋a10)2－2a1a10＝(a5＋a6)2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，∴a1a10＝10，又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1＜a10，∴a1＝1，a10＝10，d＝eq \f(a10－a1,10－1)＝1，选A. A 2018高考二轮总复习 • 数学 题组突破 2．(2017·江西红色七校联考)等比数列{an}满足an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则公比q为(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4 C 通解：由已知可得aeq \o\al(2,1)q6＝64，即a1q3＝8，得a4＝8，所以eq \f(8,q)＋8q＝20，化简得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)(舍去)，故q＝2，选C. 优解：由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＋a5＝20,a3a5＝64))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝4,a5＝16))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝16,a5＝4))(舍去)，故eq \f(a5,a3)＝eq \f(16,4)＝4＝q2，故q＝2，选C. 2018高考二轮总复习 • 数学 题组突破 3．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3eq \r(3)，b1＋b6＋b11＝7π，则taneq \f(b3＋b9,1－a4·a8)的值是(　　) A．1 B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(2),2) D．－eq \r(3) D {an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·a6·a11＝3eq \r(3)，b1＋b6＋b11＝7π，∴aeq \o\al(3,6)＝(eq \r(3))3,3b6＝7π，∴a6＝eq \r(3)，b6＝eq \f(7π,3)， ∴taneq \f(b3＋b9,1－a4·a8)＝taneq \f(2b6,1－a\o\al(2,6))＝taneq \f(2×\f(7π,3),1－\r(3)2)＝ tan(－eq \f(7π,3))＝tan(－2π－eq \f(π,3))＝－taneq \f(π,3)＝－eq \r(3). 2018高考二轮总复习 • 数学 误区警示 在等比数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…仍成等比数列的前提是Sm≠0，易忽视这一条件． 2018高考二轮总复习 • 数学 方法结论 1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： (1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； (2)利用等差中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． 2．证明{an}是等比数列的两种基本方法： (1)利用定义，证明eq \f(an＋1,an)(n∈N*)为一常数； (2)利用等比中项性质，即证明aeq \o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)． 2018高考二轮总复习 • 数学 [典例]　(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和． 已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 2018高考二轮总复习 • 数学 (1)设{an}的公比为q. 由题设可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a11＋q＝2，,a11＋q＋q2＝－6.)) 解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为an＝(－2)n. (2)由(1)可得Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝－eq \f(2,3)＋(－1)neq \f(2n＋1,3). 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－eq \f(4,3)＋(－1)neq \f(2n＋3－2n＋2,3)＝2[－eq \f(2,3)＋(－1)neq \f(2n＋1,3)]＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列． 2018高考二轮总复习 • 数学 类题通法 等价转化思想在解决an与Sn关系问题中的应用 在已知an与Sn的关系问题中，通常利用an与Sn的关系转化为{an}中an与an－1或an＋1与an的关系，然后求解其他问题． 2018高考二轮总复习 • 数学 演练冲关 1．(2017·华南师大附中测试)在数列{an}中，a1＝p，an＋1＝qan＋d(n∈N*，p，q，d是常数)，则d＝0是数列{an}是等比数列的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 D 当d＝0，p＝0时，an＝0，数列{an}不是等比数列，所以充分性不成立；当q＝0，p＝d，d≠0时，an＝d，则数列{an}为公比为1的等比数列，所以必要性不成立．综上所述，d＝0是数列{an}是等比数列的既不充分也不必要条件，故选D. 2018高考二轮总复习 • 数学 演练冲关 2．(2017·临川一中模拟)已知数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝eq \f(n＋1,n)an＋2n＋2. (1)证明：数列{eq \f(an,n)}是等差数列； (2)证明：eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋…＋eq \f(1,an)＜1. 2018高考二轮总复习 • 数学 演练冲关 证明：(1)由an＋1＝eq \f(n＋1,n)an＋2n＋2得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)＋2， 即eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝2，∴数列{eq \f(an,n)}是首项为3，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，eq \f(an,n)＝3＋(n－1)×2＝2n＋1， ∴an＝n(2n＋1)， ∴eq \f(1,an)＝eq \f(1,n2n＋1)＜eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)， 2018高考二轮总复习 • 数学 演练冲关 ∴eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋…＋eq \f(1,an)＜(eq \f(1,1)－eq \f(1,2))＋(eq \f(1,2)－eq \f(1,3))＋(eq \f(1,3)－eq \f(1,4))＋…＋(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1))＝eq \f(1,1)－eq \f(1,n＋1)＜1， ∴eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋…＋eq \f(1,an)＜1. 2018高考二轮总复习 • 数学 1．交汇点　数列与其他知识的交汇 数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用． 2018高考二轮总复习 • 数学 [典例1]　(2017·宜昌月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq \o(OB,\s\up16(→))＝a1eq \o(OA,\s\up16(→))＋a2 016eq \o(OC,\s\up16(→))，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2 016等于(　　) A．1 007　　　　　 B．1 008 C．2 015 D．2 016 B ∵A，B，C三点共线，∴a1＋a2 016＝1， ∴S2 016＝eq \f(2 016a1＋a2 016,2)＝1 008，故选B. 2018高考二轮总复习 • 数学 类题通法 本题巧妙地将三点共线条件(eq \o(PA,\s\up16(→))＝xeq \o(PB,\s\up16(→))＋yeq \o(PC,\s\up16(→))且A，B，C三点共线⇔x＋y＝1)与等差数列的求和公式结合，解决的关键是抓住整体求值思想． 2018高考二轮总复习 • 数学 演练冲关 1．(2017·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D．－eq \f(\r(3),2) B 因为a3a4a5＝3π＝aeq \o\al(3,4)，所以a4＝3eq \f(π,3)，即log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3aeq \o\al(7,4)＝7log33eq \f(π,3)＝eq \f(7π,3)，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝eq \f(\r(3),2). 2018高考二轮总复习 • 数学 2．创新点　新定义下数列的创新问题 [典例2]　设Sn为数列{an}的前n项和，若eq \f(S2n,Sn)(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________. 4 由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝eq \f(nc1＋cn,2)，前2n项和为S2n＝eq \f(2nc1＋c2n,2)，所以eq \f(S2n,Sn)＝eq \f(\f(2nc1＋c2n,2),\f(nc1＋cn,2))＝2＋eq \f(2nd,4＋nd－d)＝2＋eq \f(2,1＋\f(4－d,nd)).因为数列{cn}是“和等比数列”，即eq \f(S2n,Sn)为非零常数，所以d＝4. 2018高考二轮总复习 • 数学 类题通法 解决新定义下数列问题一般是直接扣定义进行求解．本例的关键是抓住eq \f(S2n,Sn)为非零常数来确定参数值． 2018高考二轮总复习 • 数学 演练冲关 2．在数列{an}中，n∈N*，若eq \f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断： ①k不可能为0； ②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________． ①④ 由等差比数列的定义可知，k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{an}是等比数列，且公比q＝1时，{an}不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．