圆锥曲线高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案)

专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：解圆锥曲线问题常用方法（一） 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中， ，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1） 与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有 。 （2） 与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有 （3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y2​=4x上一点P到点A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________ (2)抛物线C: y2​=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则 ，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2， ） 连PF，当A、P、F三点共线时， 最小，此时AF的方程为 即 y=2 (x-1),代入y2=4x得P(2,2 )，（注：另一交点为( )，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去） （2）（ ） 过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时， 最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x= ，∴Q( ) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 例2、F是椭圆 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 （1） 的最小值为 （2） 的最小值为 分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 或准线作出来考虑问题。 解：（1）4- 设另一焦点为 ，则 (-1,0)连A ,P 当P是 A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4- 。 （2）3 作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e= ， ∴ ∴ 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为 例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。 分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的 ）。 解：如图， ， ∴ ∴ （*） ∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出 ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！ 例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB= sinA,求点A的轨迹方程。 分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。 解：sinC-sinB= sinA 2RsinC-2RsinB= ·2RsinA ∴ 即 （*） ∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为 （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式，再用函数思想求出最短距离。 （2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0) 则 由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9 ∴ ， ≥ 当4x02+1=3 即 时， 此时 法二：如图， ∴ ， 即 ， ∴ ， 当AB经过焦点F时取得最小值。 ∴M到x轴的最短距离为 点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。 例6、已知椭圆 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)= ,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。 分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防 此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。 解：（1）椭圆 中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0) 则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设B(x1,y1),C(x2,y2),则x​1+x2=- （2） ∴当m=5时， 当m=2时， 点评：此题因最终需求 ，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得 ，将y0=x0+1，k=1代入得 ，∴ ，可见 当然，解本题的关键在于对 的认识，通过线段在x轴的“投影”发现 是解此题的要点。 【同步练习】 1、已知：F1，F2是双曲线 的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若 ，△ABF2的周长为（ ） A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 （ ） A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x 3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且 ，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（ ） A、 B、 C、 D、 4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ） A、 B、 C、 D、 5、已知双曲线 上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是 8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k= 10、设点P是椭圆 上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sin∠F1PF2的最大值。 11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)， ，求直线l的方程和椭圆方程。 12、已知直线l和双曲线 及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证： 。 【参考答案】 1、C ， ∴ 选C 2、C 点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C 3、D ∵ ，且 ∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选D。 4、A 设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得 ，∴ ①又c ) 7、y2=x+2(x>2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，则 ∵ ，∴ ，即y2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P，即y2<2x，即x+2<2x，∴x>2 8、4 ，令 代入方程得8-y2=4 ∴y2=4，y=±2，弦长为4 9、 y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k2)x2-2kx-2=0 ① 得4k2+8(1-k2)=0，k= ②1-k2=0得k=±1 10、解：a2=25，b2=9，c2=16 设F1、F2为左、右焦点，则F1(-4，0)F2(4，0) 设 则 ①2-②得2r1r​2(1+cosθ)=4b2 ∴1+cosθ= ∵r1+r2 ， ∴r1r2的最大值为a2 ∴1+cosθ的最小值为 ，即1+cosθ cosθ ， 则当 时，sinθ取值得最大值1， 即sin∠F1PF2的最大值为1。 11、设椭圆方程为 由题意：C、2C、 成等差数列， ∴ ， ∴a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案 000),∴a2=2b2 椭圆方程为 ，设A(x1，y1)，B(x2，y2) 则 ① ② ①-②得 2222222∴ 即 ∴k=1 直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0， 解得b2=12， ∴椭圆方程为 ，直线l方程为x-y+3=0 12、证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中点为M(x0，y0)直线l的斜率为k，则 ①-②得 ③ 设 ， 则 ④-⑤得 ⑥ 由③、⑥知M、 均在直线 上，而M、 又在直线l上 ， 若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立 若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立 若l不过原点且与x轴不垂直，则M与 重合 ∴ ④ ⑤ ① ② ① ② � EMBED AutoCAD.Drawing.14 ��� � EMBED AutoCAD.Drawing.14 ��� � EMBED AutoCAD.Drawing.14 ��� ① ② ③ � EMBED AutoCAD.Drawing.14 ��� � EMBED AutoCAD.Drawing.14 ��� � EMBED AutoCAD.Drawing.14 ��� 12 1 _1070808609.unknown _1070871234.unknown _1070873007.unknown _1070873691.unknown _1071050324.unknown _1071053508.unknown _1071053726.unknown _1071053848.unknown _1071054019.unknown _1071053741.unknown _1071053658.unknown _1071053250.unknown _1071053394.unknown _1071053091.dwg _1071053204.unknown _1071050513.dwg _1070874955.unknown _1070878241.unknown _1070890798.dwg _1070890829.dwg _1070890733.dwg _1070890767.dwg _1070878580.unknown _1070878167.unknown _1070878227.unknown _1070878098.unknown _1070874190.unknown _1070874429.unknown _1070874674.unknown _1070874305.unknown _1070873800.unknown _1070874005.unknown _1070873773.unknown _1070873297.unknown _1070873548.unknown _1070873649.unknown _1070873362.unknown _1070873082.unknown _1070873249.unknown _1070873030.unknown _1070872206.unknown _1070872785.unknown _1070872923.unknown _1070872955.unknown _1070872845.unknown _1070872407.unknown _1070872504.unknown _1070872276.unknown _1070871699.unknown _1070871949.unknown _1070872054.unknown _1070871882.unknown 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