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常微分方程讲义.doc

常微分方程讲义

阿汐
2018-09-08 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《常微分方程讲义doc》,可适用于IT/计算机领域

 第一章 初等积分法      第讲 微分方程与解         第讲 变量可分离方程         第讲 齐次微分方程         第讲 一阶线性微分方程         第讲 全微分方程与积分因子         第讲 一阶隐式微分方程         第讲 几种可降阶的高阶方程         第讲 应用举例         第讲 微分方程与解         第讲 变量可分离方程         第讲 齐次微分方程         第讲 一阶线性微分方程         第讲 全微分方程与积分因子         第讲 一阶隐式微分方程         第讲 几种可降阶的高阶方程         第讲 应用举例   第二章 基本定理       第讲 解的存在性与唯一性定理         第讲 解的延展        第讲 奇解与包络         第讲 解对初值的连续依赖性  第三章 线性微分方程组 第讲 一阶微分方程组及HYPERLINK"http:vodcjtvucomhtmshipingcwdjcwwfchtm"一阶线性微分方程组的一般概念         第讲 线性齐次微分方程组的一般理论         第讲 线性非齐次微分方程组的一般理论             常系数线性微分方程组的解法(单实根)         第讲 常系数线性微分方程组的解法(复、重根)         第讲 一阶微分方程组及             一阶线性微分方程组的一般概念         第讲 线性齐次微分方程组的一般理论         第讲 线性非齐次微分方程组的一般理论             常系数线性微分方程组的解法(单实根)         第讲 常系数线性微分方程组的解法(复、重根)         第四章 线性微分方程第讲 n阶线性微分方程的一般理论         第讲 n阶常系数线性齐次方程的解法        第讲 n阶常系数线性非齐次方程的解法         第讲 二阶常系数线性方程与振动现象         第讲 n阶线性微分方程的一般理论         第讲 n阶常系数线性齐次方程的解法        第讲 n阶常系数线性非齐次方程的解法         第讲 二阶常系数线性方程与振动现象         第五章 定性                                      ()的轨线分布    解将方程()的第一个方程两端乘以x第二个两端乘以y然后相加得到                             ()作极坐标变换由微分之则得                        所以()可写成                        或                                ()其次将方程组()的第一个方程乘以y第二个方程乘以x然后相减得                        由微分之可知                     ()于是原方程()经变换后化为                                            ()积分所得方程()易于看出方程组()有两个特解:                        r=  r=其中r=对应()奇点而r=对应于()的一个周期解它所对应的闭轨线是以原点为中心以为半径的圆进一步求方程组的通解得                或为                        于是方程()的轨线分布如图()    从方程组()的相图上可看出轨线分布是这样的:    (i)()为奇点为一闭轨线    (ii)闭轨线的内部和外部的轨线当t→∞时分别盘旋地趋近于该闭轨线    我们在节的例中也提到过闭轨线但当时的闭轨线都是一族连续分布的闭轨线而且当时没出现其他的轨线当t→±∞时趋近于闭轨线的情况因此上例中的闭轨线以及它附近的轨线的分布情形是一种新的结构我们作如下的定义                        图定义54设系统                                  ()具有闭轨线C假如在C充分小邻域中除C之外轨线全不是闭轨线且这些非闭轨线当t→+∞或t→-∞时趋近于闭轨线C则说闭轨线C是孤立的并称之为()的一个极限环 极限环C将相平面分成两个区域:内域和外域    定义5 如果极限环C的内域的靠近C的轨线当t→∞(∞)时盘旋地趋近于C(图)则称C是内稳定(内不稳定的)如果在极限环C的外域的靠近C的轨线当t→∞(-∞)时盘旋地趋近于C(图)侧称C是外稳定的(外不稳定的)如果当t→+∞(-∞)时C的内部及外部靠近C的轨线都盘旋地趋近于C则称C是稳定的(不稳定的)(如图(a)),如果当t→+∞(-∞)时C的内外部的稳定性相反则称C为半稳定的(图(b))                              图                      图                                 (b)                             图 易于看出例中的轨线是稳定的极限环     极限环的存在性    稳定的极限环表示了运动的一种稳定的周期态它在非线性振动问题中有重要意义一般说来一个系统的极限环并不能像例那样容易算出来关于判断极限环存在性的方法我们只叙述下面著名的庞卡莱班迪克松(PoincaréBendixson)环域定理其证明可参阅专著[]    定理设区域D是由两条简单闭曲线L和L所围成的环域并且在上系统()无奇点从L和L上出发的轨线都不能离开(或都不能进入)设L和L均不是闭轨线则系统()在D内至少存在一条闭轨线Γ它与L和L的相对位置如图即Γ在D内不能收缩到一点                                 图    如果把系统()看成一平面流体的运动方程那么上述环域定理表明:如果流体从环域D的边界流入D而在D内又没有渊和源,那么流体在D内有环流存在这个力学意义是比较容易想象的    习惯上把L和L分别称作PoincaréBendixson环域的内、外境界线 极限环的不存在性  关于平面系统()不存在极限环的判定准则常用的是下面的  定理(Bendixson判断)设在单连通区域G内系统()的向量场(PQ)有连续偏导数若该向量场的散度                                            ()保持常号且不在G的任何子域内恒等于零则系统()在G内无闭轨    证用反证法假设()在G内有闭轨Γ其内部区域由格林公式有                                     ()因为Γ是()的轨线故沿Γ有            从而()右端的曲线积分为零然而由本定理假设()左端的二重积分不为零此为矛盾因此G内无闭轨证毕    定理 (Dulac判断)设在单连通区域G内系统()的向量场(PQ)有连续偏导数并存在连续可微函数B(x,y)使得                        保持常号且不在G内任何子区域内恒为零则系统()在内无闭轨    此定理证明与定理相似全局结构的一个例子    为了得到()的全局结构需要无穷远点分析这部分内容比较复杂我们不能详述仅给出一个实例说明之详细论述可见参考文献[].    研究()在平面的无穷远处的性状需要借助Poincaré变换这一变换的基本想法是:    把整个xOy平面映成单位闭圆盘平面上的有限点与圆盘内部的点一一对应无穷远点对应为圆盘的圆周上的点于是无穷远奇点存在于单位圆周上了    这样对于一个具体的平面系统求出全局结构相图的步骤是:    ()求出有限平面内的奇点和奇点类型    ()判明是否存在闭轨    ()无穷远点分析即是否存在无穷远奇点并分析奇点类型最后把这些结果描绘在xOy平面的单位闭圆盘上就得到系统的全局结构    例讨论系统                                    ()的全局结构    解()奇点    ()有两个奇点O()和E()    对于奇点O()其线性近的方程的系数阵是                    它的特征根是显然是稳定焦点对于奇点E()其线性近似方程的系数阵是                    它的特证根是,显然E()是鞍点    (2)闭轨线    取函数B(x,y)=ex,有                    ,由定理可见系统()在xOy平面上无闭轨                                图    ()无穷远奇点    可以求出()存在一个无穷远奇点且是退化结点这个奇点分裂在单位圆周上的D()和D′(-)处    图给出了系统()轨线分布的全局结构.  如果在图的坐标原点O()处垂直于书面立上一个t轴再把轨线沿t轴方向平行拉动那么你就可以看到系统()在三维空间(t,x,y)上对应的积分曲线的性状了    本讲要点:    本讲主要对平面定性理论作了一个简单的介绍平面定性方法的一个主要目标是:求出方程在全平面上的相图.为此    .先求有限平面内奇点及类型.    .判断方程在平面内是否有闭轨.    .最后求无穷远是否有奇点及类型.    于是就可以得到方程在全平面上的相图只不过是用一种特殊变换把全平面收缩到一个单位圆盘上.    作业:        练习  ,,.通过求解确定下列各方程的奇点类型画出相图并确定奇点的稳定性:    ()()      ()().确定下列各方程的奇点类型轨线分布以及稳定性:    ()()    ()().确定下列方程原点的奇点类型及稳定性:    ()  ()         答案    .()稳定结点()不稳定退化结点       ()中心()不稳定结点    .()稳定焦点()不稳定焦点       ()鞍点()鞍点    .()不稳定结点稳定结点        不稳定焦点EMBEDEquationDSMT稳定焦稳定焦点       ()鞍点习题课 一习题课 二习题课 三习题课 四习题课 五习题课 一内容小结  ..节的主要内容如下:  ()基本概念  常微分方程方程的阶线性方程与非线性方程解通解特解初值问题  ()初等积分法中的种基本解法  分离变量法变量可分离方程齐次方程常数变易法 线性方程努利方程 积分因子法:化成全微分方程求其原函数  我们要求大家清楚了解上述基本概念熟练掌握上述种基本解法并学会灵活运用.习题选讲  ..节的习题主要有两部分:计算题和证明题我们将重点讲一下证明题的解题方法  ()证明方程任意解的渐近性  这类题主要是对一阶线性方程因为能写出通解表达式所以能够求出时解的渐近性例设f(x)在∞)上连续且求证:方程的一切解y=y(x)均有  证明设y=y(x)是方程任一解且满足y(x)=y,由节公式()有         于是        想了解请点击 洛必达法则    未定式型或  .设()(或)(或)  ()在点的某去心领域内及都存在且  ()存在(或无穷大)  那么=。  .设()(或)(或)  ()当时与都存在且  ()存在(或无穷大)  那么=。  注意:当收敛必有  例设y(x)在∞)上连续可微且有                 试证:      证明等价于          其中利用上题结果立刻得证  例 设方程           中f(x)在(∞)上连续  ()当a>且证明方程只有一个解当时有界并求出这个解当时的极限  ()当a<且证明方程的所有解当时趋于同一极限求出这个极限  证明设y=y(x)是方程任一解且满足y(x)=y,由节公式()有            于是    ()当a≥时显然存在  当<a<时为广义积分或称瑕积分由于存在有f(x)在,x上有界设于是  于是收敛  由上述分析可见当a>时只有取     时用洛必达法则有       ()当a<时同样用洛必达法则有     ()证明任意解的有界性这类证明题同样也是对一阶线性方程如节例同理可做练习的题  例设函数p(x),f(x)在∞上连续且(a,b)为常数求证明:方程           的一切解在∞)上有界  证明设y=y(x)是方程任一解且满足y(x)=y,则        由于所以对任意存在,使得时,有        令则        与例相似得到                 又在xx上y(x)有界设为M现取               则              。  ()证明解的周期性  例设一阶线性齐次方程               的系数p(x)是以为周期的连续函数证明该方程的非零解以为周解的充要条件是  证明设y=y(x)是方程任一非零解。且满足y(x)=y则               必要性          由于为周期函数有下式成立           有所以充分性                                                    ()有关积分因子的习题  例求下列方程的积分因子  ()变量可分离方程           ()线性方程  ()伯努利方程  ()齐次方程  解()               是全微分方程   ()   ()两边乘以yn得            即                    由上题有此方程的积分因子             因此贝努利方程的积分因子               () 令y=xu则代入上式有              即              这是一个变量可分离方程              是全微分方程返回原变量有              计算得               整理得                即               所以              习题课 二内容小结    一、本章的中心内容是初值问题()解的存在唯一性定理即定理.这一定理是常微分方程的基本定理无论在理论上还是在应用上都是十分重要的.在学习这个定理的过程中应注意以下几点:    .从几何的观点来看方程在平面的某一区域内确定了一个线素场而方程的积分曲线是处处以这个线素场所确定的线素方向为切线方向的曲线.    f(x,y)对x,y的连续性只能保证解的存在而保证不了解的唯一性.李普希兹条件是保证解的唯一性的一个最常见的充分条件.    .Picard的逐次逼近法是分析学里的一种基础方法有着广泛的应用.利用它不仅证明了解的存在唯一而且还提供了近似解的具体求法.对于求得的近似解还可以估计误差. 二、对于解的延展定理应注意的是:    .方程()存在不可延展解.(定理)    .不可延展解在定义区间两端点的性状.(定理)    不可延展解的定义区间因解而异.(推论)习题选讲    节的习题主要有两类.第一类是判断方程满足解存在唯一性定理条件的区域第二类是求方程解的最大存在区间.    求方程满足解的存在唯一性定理条件的区域.此类题通常作法是对方程                            满足解存在唯一性定理条件的区域=f(x,y)连续且连续的区域.    例试判断方程在区域          ()               ()     上是否满足定理的条件? 解                       显然方程在区域R内不满足定理的条件而在区域R内满足定理条件.    例判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一?        ()        ()        ()            ()    解()    方程在平面上初值解存在且唯一.    ()    方程在平面上初值解存在且唯一. 解                       显然方程在区域R内不满足定理的条件而在区域R内满足定理条件.    例判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一?        ()        ()        ()            ()    解()    方程在平面上初值解存在且唯一.    ()    方程在平面上初值解存在且唯一.证明题常用方法    本章证明题多是讨论解的最大存在区间在什么条件下为无穷区间的问题我们已经知道对于一阶方程,既使右端函数在全平面上连续且对y满足李普希兹条件也不能保证方程的所有解都在(∞,∞)上存在见节的例这就是说还要对方程的右端函数再附加一些条件才有可能保证方程的所有解或某些解的最大存在区间是无穷区间由本章的定理及其推论可知:当及在全平面上连续时若再附加所考虑的解满足某种有界性条件或方程右端函数满足某种有界性条件那么这些解的存在区间就一定是(∞,∞)通常有下面三种“限制性”条件:    ()两个解的限制条件    ()一个解和右端函数定号性限制条件    ()右端函数有界性限制条件另外有些问题还要求当x趋于区间端点时解的某些性质这时常用下面的    ()积分反证法 典型例题    例在方程中己知在(-∞+∞)上连续且求证:对任意方程满足的存在区间必为(-∞+∞)[分析]此题是一个典型的限制性条件()情形 证明方程右端函数在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件显然是方程的两个解任取x∈(-∞+∞)若y=(或y=),其对应初值解为,它们都在(-∞+∞)上有定义现取,记过该点解为那么一方面可以向平面的无穷远延展另一方面上不能穿过下不能穿过否则与解的唯一性矛盾故定义区间必是(-∞+∞)    例在方程               中若在(-∞+∞)上连续可微且.    求证:对平面上任一点方程满足的解在上存在    [分析]此题是一个典型的限制性条件()的情形由题给条件易见方程有一个解y=且在上半平面在下半平面    证明显然方程右端函数在全平面上满足解的延展定理条件因为连续且满足所以有f()=这意味y=是解并且有                    ,当                    当不妨取记过的解为由上面分析可见该解在上半平面单调递减又不能下穿y=(x轴)且要无限远离原点那么该解的存在区间必是. 例设在整个平面上连续有界对y有连续偏导数试证明:方程的任一解在区间上有定义    [分析]此题是限制性条件()的情形由右端函数的有界可推出解的整体存在性    证明任取平面上一点记过该点的解为它满足下面的积分方程                      下面用反证法证右行解存在区间为.假如该解的存在区间不是那么存在使得只能在上存在于是有                  即在上有界从而这与定理的推论()-①情形相矛盾又由已知条件在全平面上连续可知任一解都可延展到平面的无穷远,那么定理的推论()-②情形也不成立故解的存在区间是同理可证左行解存在区间为这样就证明了该方程任一解的存在区间是(∞+∞)    例证明例中的解满足[分析]这里的证明常用积分反证法具体作法如下    证明由例的证明可知在上存在单调递减又不能下穿x轴那是一个单调递减且有下界的函数故存在我们往证否则存在使得下面将解代入原方程分离变量后再从积分,得                                         或写成                       在上式两端取极限               有限值=                     此为矛盾故习题课 三内容小结    本章以一阶线性微分方程组的基本理论及其求解方法为主要内容    线性微分方程组的解的存在唯一性定理要注意该方程任一解在A(x),Y(x)连续的区间上整体存在这是线性方程的解所特有的性质    齐次线性微分方程组的通解结构:    ()所有解构成n维线性空间    ()向量函数的线性相关性概念及其判别准则    ()通解由n个线性无关解(基本解组)的线性组合构成    ()解与系数关系即刘维尔公式    非齐次线性微分方程组的通解结构:    ()它的通解由对应齐次的通解与其本身的一个特解之和构成    ()已知齐次通解求非齐次一个特解的常数变易法    .常系数线性方程组的求解方法:    ()首先写出特征方程并求特征根    ()特征根都是单根时求出每一个根所对应的特征向量即可求出基本解组注意单复根时要把复值解实值化    ()特征根有重根时用待定系数法求出相应的解习题选讲   ()与解的存在唯一性定理有关的证明题   判定已求得的n个解是否是已知线性齐次微分方程组的基本解组主要是计算其朗斯基行列式在任一点处的值如果此值不为零则是基本解组从刘维尔公式也可看出n个解组成的朗斯基行列在有定义的区间一点不为零(为零)则在整个有定义的区间上不为零(为零)这里我们要着重指出:任一点的选取必须在解的定义区间内否则上述结论不正确请看下例例 方程组                            有两个解                          它们的朗斯基行列式是                          在时这两个解是线性无关的当时,这似乎与上面的论述矛盾实际不然因为不属于解的有定义的区间事实上如果将原方程变形为                            再由线性方程组解的存在唯一性定理可以看出该方程的任一解在(-∞,)和(,+∞)上存在    例 设矩阵函数在上连续试证明若方程组               有相同的基本解组则   证明 设为基本解组,因为基本解组是可逆的故有                     于是()与通解结构有关的证明题    例  设是方程组                                       ()的n个线性无关解求证()的任何解X(t)恒可表为                     ()其中是满足                           的某些常数反之对于任何满足上式的常数的()式均是()的解[分析]非齐次方程组的通解等于它的齐次通解加上一个非齐次特解现在已知非齐次的n个线性无关解那么只要求出对应齐次通解即可由非齐次任意两个解之差是齐次解的性质可以求出齐次通解证明 令               显然是对应齐次方程组的解用反证法可以证明它们线性无关(请读者自证)所以构成对应齐次方程组的一个基本解组于是对于非方程组的任一解X(t)有                           这就证明了命题第一部分反之部分是显然的    例 试证线性非齐次方程组初值问题                                          ()解的唯一性等价于齐次方程组初值问题                                           ()的零解的唯一性    证明 记是对应齐次方程组()的基本解矩阵那么非齐次方程组()的任一解Y(x)可表为                                    ()其中C是n维向量是()的一个特解记现在()中代入初始条件有                         或                                             ()显然()的初值解唯一()对C有唯一解INCLUDEPICTURE"http:mediaopeneducnmediafilermipcwffchtmxxfdxxfdxxfdfilesimagegif"*MERGEFORMATINET另一方面()的任一解可表为                            代入初值条件有                                                  ()这样()的初值问题的零解唯一方程组()对C只有零解INCLUDEPICTURE"http:mediaopeneducnmediafilermipcwffchtmxxfdxxfdxxfdfilesimagegif"*MERGEFORMATINET命题得证   例 对于常系数线性齐次方程组()证明:    ()若A的所有特征根具有负实部则它的任一解当x→∞时趋于零.    ()若A的所有特征根的实部均不为正数且实部为零的特征根是单根则它的一切解在∞上有界.    ()若A的特征根中至少有一个具有正实部则它至少有一个解的范数当t→∞时趋于无穷大证明:以n=为例                                                       ()特证方程                 特证根                        ()若两个根都是负数且则任一解为                       若则任一解为                                若是复根则则任一解为                  显然有            ()若特征根负实数则通解为                    显然X(t)在∞上有界.    ()若特证根则对应解为                          显然                  ()与刘维尔公式有关的证明题    例 证明:如果则线性齐次微分方程组()至少存在一个解在区间x,∞上是无界的这里x是给定实数.证明 此题用刘维尔公式证明设是线性齐次微分方程组()的n个解组成的朗斯基行列式则由刘维尔公式有                        下面用反证法假设方程组的所有解都在x,∞上有界那么它的任意n个解所组成的朗斯基行一式有                        另一方面由已知条件另一方面由已知条件                     INCLUDEPICTURE"http:mediaopeneducnmediafilermipcwffchtmxxfdxxfdxxfdfilesimagegif"*MERGEFORMATINET                              这样由刘维尔公式推出矛盾.原题得证.()几个杂题   例 设是以为周期的连续函数试导出微分方程组                          有周期为的解的充要条件.    解 先求对应齐次方程组                           的通解为                    再求非齐次通解                    其中由于都是周期函数所以                    于是以为周期的充要条件是                        而                     即                    成立    例 试证:变换可将方程组                          化为常系数线性方程组(其中A是常数矩阵).    证明 作变换令则代入方程组有                                             于是原方程组化为常系数线性方程组                            例 求解方程组                        解 由例当时作变换将方程组化为方程组                                               ()                         ()的对应的齐次方程组                          的特征方程的特征根为它的通解为                          用待定系数法求()的形如                          的特解其中a,b,c,d是待定系数可得特解                                             于是()的通解为                                 ()对()作的逆变换最后得到原方程组的通解                        习题课 四 内容小结    本章主要内容有    ()通过把n阶线性微分方程化成等价的一阶线性微分方程组得到n阶线性微分方程的基本理论和解的基本性质:      ①解的存在惟一性定理注意解的存在区间的整体存在性      ②齐次方程的所有解构成一个n维性空间齐次方程的通解由基本解组的线性组合构成.非齐通解的结构.      ③线性无关解的判别法.      ④解与系数的关系即刘维尔公式.    ()n阶线性微分方程的解法.      ①求常系数齐次线性方程基本解组的待定指数函数法.      ②求一般非齐次线性方程解的常数变易法.      ③求特殊形非齐次常系数线性方程解的待定系数法.    ()线性微分方程特别是二阶线性微分方程在电学、力学等实际问题中有着广泛应用本章主要介绍了弹簧振动和电振荡两个例子.通过这两个例子的学习要学会利用微分方程解决实际问题的基本方法.习题选讲   ()有关解的存在惟一性的证明题    例 试验证函数均是方程                                      ()之满足初值条件y()=,y’()=的解这是否与定理的结论相矛盾为什么    解 易于验证均是方程的解且显然满足同一初值条件                        y()=,但这与定理并不矛盾因为就二阶线性方程来说定理要求二阶导数的系数等于这样方程()应化为                                       ()显然方程()的系数在x=点不连续故不满足定理的条件因而也不能保证解惟一例 已知方程                                          ()其中p(x),q(x)在区间(a,b)上连续求证:如果(x)是方程()定义在(a,b)上的解且满足初值条件则(x)=在(a,b)上恒成立    证明 由已知条件方程()的任一解在区间(a,b)上存在且惟一又y(x)≡显然是()的解并且这个零解满足初值条件这样与零解满足同一初值条件由解的惟一性y(x)≡    例 在解惟一的情况下n阶线性齐次微分方程的非零是否可以与x轴相交    答 显然n阶线性齐次微分方程有零解y≡那么在解惟一的情况下它的非零解是否可以与x轴相交呢这要看在什么空间里以二阶方程                    为例且设p(x)q(x)在(-∞+∞)上连续显然该方程有零解y(x)≡设y=y1(x)是它的一个非零解那么在三维空间(x,y,y′)内这个非零解绝对不能与x轴相交否则破坏解的惟一性如果在二维空间即平面上看这个非零解就可以与x轴横截相交()但不能与x轴相切这由解的惟一性定义是显然的    例 设方程中的p(x)和q(x)在a,b上连续且p(x)<试证:对于方程的任一非零解y=y(x)函数为严格单调递增函数其中    证明 设y=y(x)是该方程的任一非零解那么  由于y=y(x)是非零解则对定义区间上任一点x均不能有同时为零否则与解的惟一性矛盾因为原方程显然有零解.又因此有成立即是严格单调递增函数()与朗斯基行列式和刘维尔公式有关的证明题    例 试讨论下列函数组在它们的定义区间上是线性相关的还是线性无关的?       ()       ()       ()       ()    解 以()为例其余同样处理.                  取x=则 因此函数组线性无关    例 试举一例说明函数的朗斯基行列式只是函数组在某区间上线性相关的必要条件而非充分条件.    解 考虑函数组                显然                    即对所有x恒有,但y,y在(∞∞)上是线性无关的.为此只需证明要使等式                          c对(∞∞)上一切x成立,必需.实际上若取对有                    显然它不能在(∞)上恒等于零从而不能在(∞∞)上恒等于零.同样对也可类似讨论    例 设在方程中p(x)在区间I上连续且恒不为零试证它的任意两上线性无关解的朗斯基行列式是在区间I上的严格单调函数    证明 由                    有             得W(x)为区间I上的严格单调函数 ()关于解的渐近性的证明题    例 试讨论当p,q取什么数值时方程的一切解当x→∞时都趋于零该题与下面的例一起考虑.    例 试讨论当p,q取什么数值时方程的一切解在a,∞上有界其中a是某确定的常数解 特征方程         特征根        为相异实根时通解为 为重根时通解为     为复根时通解为当时当一切解有界    例 在方程中在a,∞上连续且,试证明已知方程的任一解y(x)均有    证明 先求齐次通解                        再用常数变易法求非齐次特解令                        是非齐次特解则满足                解得                  原方程通解为                在通解两边取极限有                   其中前两个极限为零而                最后一个极限同样处理.于是得到                              ()关于二阶线性齐次方程解的零点    例 已知方程p(x),q(x)在(a,b)上连续如果y(x),y(x),是方程的二个线性无关解且a,b是y(x)的两个相邻的零点(a,b则y(x)在(a,b)上有且仅有一个零点    证明 不妨设                   又设                则由  存在x(a,b)有y(x)=    其次证明在(a,b)上y(x)仅存在一个零点.采用反证法假设xx是y(x)在(a,b)上的两个相邻零点且设x,x,重复上面讨论对调y与y的地位可知在(xx)内存在一点x*使y(x*)=这与a,b是y(x)的两个相邻零点矛盾.    例 已知方程p(x),q(x)在a,b上连续证明方程的任一非零解在a,b上只能有有限个零点分析 本题是要证明二阶线性齐次方程零点具有孤立性即如果x=x是非零解y(x)的一个零点则存在x的一个邻域使得y(x)在该邻域内除x=x外不再有零点    证明 (反证法)否则在区间a,b内存在无限点列xx…xn…使得非零解y(xn)=,n=,,…且当n→+∞时xn→xx∈a,b由于y(x)是连续的有             因为y(x)是方程的解故存在再根据函数极限与数列极限的等价关系有                  上面两式表明y(x)满足:y(x)==根据定理有y(x)≡这与y(x)是非零解的假设矛盾    例 已知方程p(x),q(x)在a,b上连续且q(x)<证明方程的任一非零解在a,b上最多只有一个零点    证明 用反证法.假设非零解y=y(x)在a,b上有两个相邻零点xx且不妨设                    用乘方程两端有              或表为                    上式两端从x到x积分得               由上面分析可见上式左端<右端>此为矛盾命题得证()二阶线性非齐次方程的边值问题    例 设p(x),q(x)f(x)在上连续试证明方程                                      ()满足条件y()=y()=的解惟一的充要条件是:方程                                         ()只有零解满足条件    分析 此问题称为两点边值问题我们可以用代数方程组解的存在定理加以解决    证明 设()的通解为                                      ()则()的通解是                                ()这里y(x)y(x)是()的一个基本解组而y*(x)是()的一个特解    在()中代入边值条件y()=y()=有                                    ()若()对C,C有惟一解(等价于()满足y()=y()=有惟一解)当且仅当                                         ()现设是()的满足条件的解往证(这等价于()中)将边值条件代入有                                       ()方程组()对只有零解当且仅当                                         ()由()式与()式显然原题得证.习题课 五   第章 自测题    一、填空题    .方程的所有常数解是()    .若y=y(x)y=y(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解则用这两个解可把其通解表示为()    若方程M(x,y)dxN(x,y)dy=是全微分方程同它的通积分是()    设M(x,y)是可微曲线y=y(x)上的任意一点过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是()    答案    .    .    .    . 二、单选题    .方程是(         )    (A)可分离变量方程           (B)线性方程    (C)全微分方程               (D)贝努利方程    答案:(B)    .方程过点()有( )    (A)一个解                  (B)两个解    (C)无数个解                 (D)三个解    答案:(C)    .方程x(y-)dxy(x-)dy=的所有常数解是(   )    (A)y=±,x=±,               (B)y=±    (C)x=±                                      (D)y=,x=    答案:(A) .若函数y(x)满足方程且在x=时y=,则在x=e时y=(       )    (A)        (B)            (C)           (D)e    答案:(B)    三、求下列方程通解或通积分    .                                  四、设y=y(x),y=y(x)是一阶线性非齐次方程的两个互不相同的解证明此方程的任一解y=y(x)恒满足                     四、设y=y(x),y=y(x)是一阶线性非齐次方程的两个互不相同的解证明此方程的任一解y=y(x)恒满足                    其中C为常数    五、在方程中当时    求证:该方程满足初值条件x()=x的初值解x(t),有成立    五题的证明:记x(t)=x(t,,x)    由常数变易公式有                         注意易证收敛必有所以有成立 第章 自测题    一、填空题    若在(∞∞)上连续则方程的任一非零解(    )与x轴相交    方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是(               ).    连续是保证方程初值解唯一的(          )条件    方程ysinx=ex的任一解的存在区间必是(   ).    答案:不能满足的平面区域    充分()    二、单选题    方程过点()的解为此解的存在区间是()(A)(-∞+∞)      (B)    (C)(-∞)          (D)[+∞]    答案:(B)    方程满足解的存在    唯一性定理条件的区域是(   )    (A)全平面               (B)y>的上半平面    (C)y<的下半平面       (D)除去x轴的全平面    答案:(D)    方程是否存在奇解(   )    (A)无奇解                (B)有奇解    (C)不一定                (D)可能有奇解    答案:(A) 函数f(x,y)=|y|对y是否满足李普希兹条件(  )    (A)不满足             (B)满足    (C)可能满足           (D)可能不满足    答案:(B)    三、求方程的奇解并画出积分曲线与奇解相切的图形    四、若(u)在(∞,∞)上连续可微且当u≠时<求证:方程的任一解y=y(x)均在(∞,∞)上存在且当y(x)是非常值解时那么y(x)是严格单调函数    三题解答:这是克莱洛方程通解为                        包络线的方程为                    消去c得                        由于故为奇解    四题提示:    .方程在全平面满足解的存在唯一及延展定理条件    .即y=kπ,k=,±±,…是方程的常数解    对平面内任一条形区域                     上述条形区域内任一解必在(∞∞)上存在且是严格单调函数  第章 自测题    一填空题    若A(x)在(∞,∞)上连续那么线性齐次方程组的任一非零解在空间(     )与x轴相交    方程组的任何一个解的图象是(   )维空间中的一条积分曲线    向量函数组Y(x),Y(x),…,Yn(x)线性相关的(   )条件是它们的朗斯期行列式W(x)=    线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于(      )个    答案:不能 n, 必要 n    二单选题    线性非齐次方程组的所有解(     )     (A)构成一个n维线性空间    (B)构成一个n维线性空间    (C)不是线性空间    (D)构成一个无穷维线性空间    答案:(C)    若A(x),F(x)≠在(∞,∞)上连续那么线性非齐次方程组的任一非零解是否可以与x轴相交(    )    (A)可以与x轴相交          (B)不可以与x轴相交    (C)也许可以                (D)也许不可以    答案:(A)两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组(    )    (A)不可以                  (B)可以    (C)也许不可以              (D)也许可以答案:(A)                          若是线性齐次方程组的一个基解矩阵T为非奇异n×n常数矩阵那么T是否还是此方程的基解矩阵(    )    (A)是                        (B)不是    (C)也许是                    (D)也许不是    答案:(A)    三、求方程组                              的通解     四、求方程组                        的通解    五、设W1(t)和W2(t)是线性齐次微分方程组                        的两个基本解组的朗斯基行列式试证W1(t)=CW2(t)其中C是一个不为零的任意常数  第章 自测题    一填空题    .若和是二阶线性齐次方程的基本解组则它们(   )有共同零点    .二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是(     )    .在方程y″p(x)y′q(x)y=中p(x),q(x)在(∞,∞)上连续则它的任一非零解在xOy平面上(  )与x轴横截相交    .n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个(  )维线性空间    答案:不能线性无关可以n    二、单选题    .在方程y″p(x)y′q(x)y=中若p(x),q(x)在(∞,∞)上连续则它的非零解在xOy平面上(  )与x轴相切    (A)可以                 (B)不可以    (C)也许可以             (D)也许不可以答案:(B)    .函数,在区间[a,b]上的朗斯基行列式恒为零是它们在a,b上线性相关的(   )    (A)充分条件             (B)必要条件    (C)充分必要条件         (D)充分非必要条件   答案:(B)    .n阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间(   )    (A)是                    (B)不是    (C)也许是                (D)也许不是   答案:(B)    .方程y″xy′xy=sinx的所有解的最大存在区间一定是(   )    (A)(∞,∞)          (B)(∞,)(C)(,∞)            (D)    答案:(A)    三、求下列方程的通解    1.y″y=sinx          2.    四、在方程y″p(x)y′q(x)y=中若p(x),q(x)在(∞,∞)上连续且存在x0(∞,∞)使该方程的两个解y1(x),y(x)同时在x0处取极值试证明y1(x),y2(x)不能是该方程的基本解组答案:(A)    第章 自测题    一、填空题    纯量方程中当a<时其零解是(  )稳定的    方程组的奇点类型是(    )    平面系统的奇点类型是(    )    如果平面自治系统的解唯一那么它在相平面上的轨线一定是(   )的    答案:渐近 鞍点 鞍点 唯一.    二、单选题    是一个(   )的V函数                         (A)正定的                     (B)负定的    (C)常正的                     (D)常负的    答案:(C)    一阶方程中当a=时其零解是(    )    (A)渐近稳定的                 (B)稳定的    (C)不稳定的                   (D)不存在的    答案:(B)    平面自治系统的闭轨都是极限环吗(  )    (A)都是                         (B)都不是    (C)一定是                       (D)不一定是    答案:(D)    相平面上的一条闭轨它在(t,x,y)空间上所对应的积分曲线(   )    (A)只有一条                     (B)只有二条    (C)有无数条                     (D)只有三条    答案:(C)三、用李雅普诺夫方法判断方程组                    的零解的稳定性    四、确定系统                    的奇点()的类型    三题解.取由于 所以方程组的零解是稳定的.    四题解.特证根又        同理    因此原方程的奇点()是鞍点.unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknow

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新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

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