第一学期第二十次课
4.2.2子空间的交与和，生成元集
定义4.13 设
，则
是V的一个子空间，称为由
生成的子空间，记为
。易见，生成的子空间的维数等于
的秩。
定义4.14 子空间的交与和
设
为线性空间V/K的子空间，定义
，称为子空间的交；
，称为子空间的和。
命题4.9
和
都是V的子空间。
证明：
由命题 ，只需要证明
和
关于加法与数乘封闭即可。
事实上，
，则
，
。由于
均是V的子空间，则
，于是
，
关于加法封闭，
，
，
，于是
，
关于数乘封闭；
，则由
的定义，
，使得
，而
，则
，
关于加法封闭，
，
，使得
，由于
，则
，
关于数乘封闭。
证毕。
命题4.10 设
是V的子空间，则
和
均为V的子空间。
4.2.3 维数公式。
定理4.1 设V为有限维线性空间，
为子空间，则
。
这个定理中的公式被称为维数公式。
证明：
设
，
，
，
，
取
的一组基
（若
=0，则
，基为空集）
将此基分别扩充为
的基
，
，
只需要证明
是
的一组基即可。
首先，易见
中的任一向量都可以被
线性表出。事实上，
，则
，其中
，
而
EMBED Equation.DSMT4
于是
可被
线性表出。只要再证明向量组
线性无关即可。
设
，
其中
则
，（*）
于是
，
，
于是
，记为
。
则
可被
线性表示，则
，
带入（*），有
，
由于
是
的一组基，所以线性无关，则
，
带回（*），又有
，
于是向量组
线性无关。
证毕。
推论2.1 设
都是有限为线性空间V的子空间，则：
。
证明：对t作归纳。
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