2012年高考数学 冲刺60天解题策略 专题六 解析几何 第三节 直线与圆锥曲线的位置关系

解析几何直线与圆锥曲线的位置关系 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等直线与圆锥曲线的关系是高考的必考内容，是命题的热点也是难点.一般出现一小（选择题或填空题）一大（解答题）两道，小题通常属于中低档题，难度系数为0.5-0.7左右，大题通常是高考的压轴题，难度系数为0.3～0.5左右. 考试要求：(1) 直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之中,在高考中以高难度题、压轴题出现，主要涉及弦长，弦中点，对称，参变量的取值范围，求曲线方程等问题.突出考查了数形结合，分类讨论，函数与方程，等价转化等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 思想方法. （2）直线与圆锥曲线联系在一起的综合题要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联系方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 题型一 直线与圆锥曲线的交点问题 例1 在平面直角坐标系 中,经过点( 且斜率 的直线 与椭圆 有两个不同的交点P和Q.（1）求 的取值范围.（2）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数 ,使的向量 与 共线？如果存在,求 值;如果不存在,请说明理由. 点拨:(1)设出L的方程 与椭圆组成联立方程组,再利用判别式法求出 的范围. (2)利用向量共线的充要条件及韦达定理即可解出 ,再根据 的取值范围确定 是否存在. 解： (1)由已知条件,直线 的方程为 代入椭圆方程得 ① 整理得( 直线 与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 △= 解得 即 的的取值范围为 (2)设P( , 则 = 由方程①得 又 而A 所以 与 共线等价于 解得 由(1)知 矛盾,故没有符合题意的常数 . 易错点: 忽视 的取值范围导致错误. 变式与引申 1.已知双曲线 的右焦点为F,若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率是( ) A．(1,2 B． C．[2，+∞ D． 题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题 解（1）：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由 ，解得 ，所以 = EMBED Equation.DSMT4 ． 当且仅当 时， 取到最大值 ． （2）：由 得 ， ， EMBED Equation.DSMT4 …………② 设 到 的距离为 ，则 ，又因为 ， 所以 ，代入②式并整理，得 ， 解得 ， ，代入①式检验， ，故直线 的方程是 或 或 ，或 易错点：（1）忘记均值不等式的应用导致寸步难行.（2）忘记弦长公式与点到直线的距离公式导致出错. 变式与引申 2.设椭圆 与直线 相交于A ﹑B两点，点C是AB的中点，若 OC的斜率为 求椭圆的方程. 题型三 直线与圆锥曲线中点弦的问题 例3 已知双曲线的方程为 （1）求以A（2，1）为中点的弦所在直线的方程； （2）以点B（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，请说明理由. 点拨:（1）利用设而不求法和点差法构建方程，结合直线的斜率公式与中点坐标公式求出斜率.也可设 点斜式方程,与双曲线方程联立，利用韦达定理与中点坐标公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要验证直线与双曲线是否有交点. 解：（1）设 是弦的两个端点，则有 两式相减得 ① ∵A（2，1）为弦 的中点，∴ ， 代入①得 ∴ .故直线 的方程为 （2）假设满足条件的直线存在，同（1）可求 由 得 ∵△= ∴所求直线与双曲线无交点. ∴以B(1,1)为中点的弦不存在. 易错点：存在性问题的结果通常是难以预料的，求时通常可求得，但不是充要条件，因此学生容易忽视. 变式与引申 3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F ，直线 与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是 （ ） A． B． C． D． 题型四 有关对称问题 解：（1）因为点P在椭圆C上，所以 即 在 ，故椭圆的半焦距c = ， 从而 所以椭圆C的方程为 . （2）法一：已知圆的方程为 所以圆心 ，设 8由题意得 得 eq \o\ac(○,1) 因为A,B关于点M对称，所以 代人 eq \o\ac(○,1)得 即直线L的斜率为 ，所以直线L的方程为 EMBED Equation.3 （经检验，所求直线方程符合题意） 法二：设 已知圆的方程为 所以圆心 .从而可设直线L的方程为 代入椭圆C方程得 因为A,B关于点M对称，所以 ，所以直线L的方程为 EMBED Equation.3 （经检验，所求直线方程符合题意） 易错点：单独求解A,B两点运算量很大，容易出错.采用“设而不求”简单方便. 变式与引申 4. 在平面直角坐标系 中，过定点 作直线与抛物线 相交于 两点. (1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求 面积的最小值； (2)是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值？ 若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由. 本节主要考查：1. 的位置 关系可分为，相交，相离，相切.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物 线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但不相切.有一个公共点是直线与抛物线，双曲线相切的必要条件，但不是充分条件. 2.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 点评：当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求来计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往能事半功倍. 习题6-3 1. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. B. 5 C. D. 2. 已知 (1,1)为椭圆 内一定点，经过 引一弦，使此弦在 （1，1）点被平分，此弦所在的直线方程. 3．直线L：y=kx+1,抛物线C: ，当k为何值时L与C有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点. 4. 直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点 （1）当k为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上； （2）当k为何值时，A、B两点在双曲线的两支上； （3）当k为何值时，以A、B为直径的圆过坐标原点. 5．（2011年高考重庆卷·文）如图6-3-3，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 （Ⅰ）求该椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程； （Ⅱ）设动点P满足： ，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】 变式与引申 1. C 提示：过点F且倾斜角为 的直线L与双曲线的右支有且只有一个交点的充要条件是：直线L与双曲线的渐近线平行（即一条渐近线的斜率 = ）或直线L与双曲线的左，右两支各有一交点.即 .综合得 所以 2. 解：设A ，则 的解由 两式相减得 即 ① 再由方程组消去y得 由 ② 由①②解得 故所求的椭圆的方程为 3. D 提示：依题意有 则双曲线方程为 .设M 则 ，两式相减得 再由 ， ， ，所以由 ，得 所以双曲线的方程为 ，故选D 4. 解法一：(1)依题意，如图6-3-1，点 的坐标为 ，可设 ， 直线 的方程为 ，与 联立得 消去 得 . 由韦达定理得 ， . 于是 . ， 当 时， . (2)假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，如图6-3-2 的中点为 ， 与 为直径的圆相交于点 ， 的中点为 ， 则 ， 点的坐标为 . ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 . 令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为 ， 即抛物线的通径所在的直线. 解法二：(1)前同解法1，再由弦长公式得 EMBED Equation.DSMT4 ， 又由点到直线的距离公式得 . 从而 ， 当 时， . (2)假设满足条件的直线 存在，其方程为 ， 则以 为直径的圆的方程为 ， 将直线方程 代入得 ， 则 . 设直线 与以 为直径的圆的交点为 ， 则有 . 令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为 ， 即抛物线的通径所在的直线. 习题6-3 1．D 提示：双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y, 得有唯一解,所以△=, 所以,,故选D. 2．解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 ，弦的两端点（ ）， ）. 由 消去 得 （ ∴ ∴ 故弦所在的直线方程为 .即 . 解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 ，且设弦的两端点坐标为（ ）， ），则 ，两式相减得 ∵ ∴ .∴ . ∴此弦所在的直线方程为 . 3. 解：将 和C的方程联立 ，消去y得 ① 当k=0时，方程①只有一个解 .此时 ∴直线 与C只有一个公共点（ ），此时直线 平行于抛物线的对称轴. 当k≠0时，方程①是一个一元二次方程， △= . （1） 当 时，即k﹤1且k≠0时， 与C有两个公共点，此时称直线 与C相交; （2） 当 时,即k=1时， 与C有一个公共点，此时称直线 与C相切； （3） 当 时，即k＞1时， 与C没有公共点，此时称直线 与C相离. 综上所述，当k=1或k=0时，直线与 与C有一个公共点；当k﹤1且k≠0时，直线 与C有两个公共点；当k＞1时，直线 与C没有公共点. 4. 解：由消去y，得 ① 当时，由且 （1）当交点A、B在同一支上，则 或，又 （2）A、B在双曲线两支上时，， （3）设 ， ，由①得： ②， ③ 又 ，所以 ，所以 把②③代入上式得： . 5．解：（I）由 解得 ， 故椭圆的标准方程为 （II）设 ，则由 得 因为点M，N在椭圆 上，所以 ， 故 设 分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 图� EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 图� EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� PAGE 1 用心 爱心 专心 _1351006306.unknown _1351324455.unknown _1351346154.unknown _1351346188.unknown _1351346204.unknown _1351593776.unknown _1369376406.unknown _1372225085.unknown _1372225192.unknown _1372225358.unknown _1372225374.unknown _1372225336.unknown _1372225150.unknown _1369376521.unknown _1372224972.unknown _1372225023.unknown _1369376548.unknown _1369376625.unknown _1369376658.unknown _1369376580.unknown _1369376531.unknown _1369376452.unknown _1369376474.unknown _1369376425.unknown _1351593850.unknown _1351969116.unknown _1369376365.unknown _1369376389.unknown _1369047624.unknown _1351968601.unknown _1351968961.unknown _1351969115.unknown _1351968697.unknown _1351968555.unknown _1351968576.unknown _1351968515.unknown _1351968491.unknown _1351593807.unknown _1351593815.unknown _1351593796.unknown _1351401463.unknown _1351593626.unknown 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_1351346171.unknown _1351346162.unknown _1351346166.unknown _1351346168.unknown _1351346169.unknown _1351346167.unknown _1351346164.unknown _1351346165.unknown _1351346163.unknown _1351346158.unknown _1351346160.unknown _1351346161.unknown _1351346159.unknown _1351346156.unknown _1351346157.unknown _1351346155.unknown _1351336886.unknown _1351337399.unknown _1351346150.unknown _1351346152.unknown _1351346153.unknown _1351346151.unknown _1351337578.unknown _1351337610.unknown _1351337530.unknown _1351337110.unknown _1351337180.unknown _1351337327.unknown _1351337134.unknown _1351336945.unknown _1351337082.unknown _1351336900.unknown _1351335554.unknown _1351335964.unknown _1351336205.unknown _1351336313.unknown _1351336187.unknown _1351335739.unknown _1351335805.unknown _1351335654.unknown _1351335238.unknown _1351335431.unknown _1351335497.unknown _1351335256.unknown _1351324928.unknown _1351325020.unknown _1351324674.unknown _1351012601.unknown _1351321216.unknown _1351321974.unknown 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