1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
双基达标 限时20分钟
1．“x2>2 012”是“x2>2 011”的 ( )．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由于“x2>2 012”时，一定有“x2>2 011”，反之不成立，所以“x2>2 012”是“x2>2 011”
的充分不必要条件．
答案 A
2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 因|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|.
答案 B
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 ( )．
A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1
解析 当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以
f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案 A
4．给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件．
解析 “直线l与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l与平面α垂直”．
答案 充要条件
5．下列不等式：①x<1；②0
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
意．
答案 ②③④
6．判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由．
解 p是q的充分不必要条件．
∵p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；
q：x≥－1或x≤5就是实数集R.
∴P⊆R，也就是p⇒q，qp，
故p是q的充分不必要条件．
综合提高（限时25分钟）
7．在△ABC中，“sin 2A＝eq \f(\r(3),2)”是“A＝30°”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 若A＝30°，显然有sin 2A＝eq \f(\r(3),2)，但sin 2A＝eq \f(\r(3),2)时，在△ABC中，有2A＝60°或
2A＝120°，即不一定有A＝30°，故“sin 2A＝eq \f(\r(3),2)”是“A＝30°”的必要不充分条件．
答案 B
8．在下列3个结论中，正确的有 ( )．
①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解析 对于结论①，由x3<－8⇒x<－2⇒x2>4，但是x2>4⇒x>2或x<－2⇒x3>8或x3<－8，
不一定有x3<－8，故①正确；对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2
＝BC2，故②错；对于结论③，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2[来源:学.科.网Z.X.X.K]
＋b2≠0，故③正确．
答案 C
9．设集合A＝{x|x(x－1)<0}，B＝{x|0a和条件q：2x2－3x＋1>0，则使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝________．
解析 依题意a>0.由条件p：|x－1|>a
得x－1<－a，或x－1>a，
∴x<1－a，或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，
得x1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤\f(1,2)，,1＋a≥1，))解得a≥eq \f(1,2).
令a＝1，则p：x<0，或x>2，[来源:学_科_网]
此时必有x1.
即p⇒q，反之不成立．
答案 1
11．已知p：x<－2或x>10，q：1－m≤x≤1＋m2，若綈p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解 綈p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m2}，
∵綈p是q的充分不必要条件，∴AB.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m2>10，,1－m<1＋m2，))∴m>3.
故所求实数m的取值范围为(3，＋∞)．
12．(创新拓展)证明：“0≤a≤eq \f(1,6)”是“函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．
证明 充分性：由已知0≤a≤eq \f(1,6)，对于函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2，
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上是减函数．[来源:学科网ZXXK]
当a≠0时，由已知00,\f(1,a)－1≥4))⇔0
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