巧求最值问题八种方法下载_在线阅读_7

巧求最值问题八种方法如何求“最值”问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。一、利用配方求最值例1：若x,y是实数，则的最x2xyy23x3y1999小值是。分析:由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。原式=111(x22xyy2)(x26x9)(y26y9)1990222=111(xy)2(x3)2(y3)21990222显然有(x-y)≥0,(x-3)≥0,(y-3)≥0,222所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0时,得x=y=3时,代数式的值最小，最小是1990；例2，设x为实数，求y=1的最小值。x2x3x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平第2页共7页方式中的x取值相同。由于y=1=1,要求y的最小x22x1x21(x1)2(x)21xx值，必须有x-1=0,且1，解得x=1,x0x于是当x=1时，y=1的最小值是-1。x2x3x二、利用重要不等式求最值例3：若xy=1,那么代数式11的最小值x44y4是。分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，11=11111=1()2()22··x44y4x22y2x22y2(xy)2所以：11的最小值是1x44y4三、构造方程求最值例4：已知实数a、b、c满足：a+b+c=2,abc=4.求a、b、c中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。解：设c为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c,ab=4,则a、b可以看作4的两x2(2c)x0cc第3页共7页根，因为a、b是实数，所以4，即(2c)24·0c,,得因为c是c34c24c160(c2)(c2)(c4)0c2或c4,最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5:使取最小值的实数x的值x24(8x)216为.分析:用一般方法很难求出代数式的最值,由于x24(8x)216=,于是可构造图形,转化(x0)2(02)2(x8)2(04)2为:在x轴上求一点c(x,0),使它到两点A（0，2）和B（8，4）的距离和CA+CB最小，利用对称可求出C点坐标，这样，通过构造图形使问题迎刃而解。解：x24(8x)216=.(x0)2(02)2(x8)2(04)2于是构造如图所示。作A（0，2）关于x轴的对称点A′(0,-2),,令直线A′B的解析式为y=kx+b,3则0kb2解得k48kb8b2第4页共7页所以3,令y=0,得8.yx2x43即C点的坐标是88(,0),所以当x时　，x24(8x)216有最小值，33五、利用判别式求最值例6::求y=3x26x5的最小值5x2x1解：去分母可以整理出关于x的一元二次方程,,因为x为实数,所以△(y6)x2(2y12)x(2y10)0≥0得:4≤x≤6,解得,故y的最小值是4六、消元思想求最值例7：已知a、b、c为整数，且a+b=2006，c-a=2005，a 试题）分析由题：由于是求三个未知数的最大值，设法将其转化成一个未知数的形式，由题设可得b=2006-a，c=2005+a，将其代入原式得：a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a又a+b=2006,a、b均为整数，a

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