求函数解析式的几种常用方法
一、高考要求:
求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.
重难点归纳:
求解函数解析式的几种常用方法主要有:
1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2.换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；
3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.
二、题例讲解:
例1．(1)已知函数f(x)满足f(logax)=
.(其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式.
命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.
知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.
错解
分析
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:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.
技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法.
解:(1)令t=logax(a>1,t>0;0
1,x>0;01时f(x)等于( )
A.f(x)=(x+3)2－1 B.f(x)=(x－3)2－1
C.f(x)=(x－3)2+1 D.f(x)=(x－1)2－1
3.已知f(x)+2f(
)=3x,求f(x)的解析式为_________.
4.已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________.
5.设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为
，求f(x)的解析式.
6.设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式.若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.
7.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.
8.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5.
(1)证明:f(1)+f(4)=0;
(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；
(3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式.
四、参考答案:
1.解析:∵f(x)=
. ∴f［f(x)］=
=x,整理比较系数得m=3.
答案:A
2.解析:利用数形结合，x≤1时，
f(x)=(x+1)2－1的对称轴为x=－1,最小值为－1，又y=f(x)关于x=1对称，
故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为－1.
答案:B
3.解析:由f(x)+2f(
)=3x知f(
)+2f(x)=3
.
由上面两式联立消去f(
)可得f(x)=
－x.
答案:f(x)=
－x
4.解析:∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,
∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b)x+a+b=bx+x+1.
故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=
,b=
,∴f(x)=
x2+
x.
答案:
x2+
x
5.解:利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)=
.
6.解:(1)设x∈［1,2］,则4－x∈［2,3］,
∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x),
又因为4是f(x)的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4.
(2)设x∈［0，1］，则2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,
又由(1）可知x∈［0,2］时，f(x)=－2(x－1)2+4,
设A、B坐标分别为(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1
,
则|AB|=2t,|AD|=－2t2+4,S矩形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令S矩=S，
∴
=2t2(2－t2)·(2－t2)≤(
)3=
,
当且仅当2t2=2－t2,即t=
时取等号.
∴S2≤
即S≤
,∴Smax=
.
7.解:(1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由Rt△ABD可得PA=
;当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=
;当P点在DA上运动时，PA=4－x,故f(x)的表达式为:
f(x)=
(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解.
如原题图，当P在线段AB上时，△ABP的面积S=0；
当P在BC上时，即1＜x≤2时，
S△ABP=
AB·BP=
(x－1）；
当P在CD上时，即2＜x≤3时，
S△ABP=
·1·1=
；当P在DA上时，
即3＜x≤4时，S△ABP=
(4－x).
故g(x)=
8. (1)证明:∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(4)=f(4－5)=f(－1),
又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0.
(2)解:当x∈［1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0
得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，
解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).
(3)解:∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，
∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,
又y=f(x).(0≤x≤1)是一次函数，
∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),
∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,f(1)=k·1=k,∴k=－3.
∴当0≤x≤1时，f(x)=－3x,
当－1≤x＜0时，f(x)=－3x,
当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=－3(x－5)=－3x+15,
当6＜x≤9时，
1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.
∴f(x)=
.
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