Matlab关于微分方程的解法

Matlab关于微分方程的解法 MATLAB使用龙格-库塔-芬尔格（Runge-Kutta-Fehlberg） 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 来解ODE问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。在有限点内计算求解。而这些点的间距有解的本身来决定。当解比较平滑时，区间内使用的点数少一些，在解变化很快时，区间内应使用较多的点。 为了得到更多的有关何时使用哪种解法和算法的信息，推荐使用helpdesk。所有求解方程通用的语法或句法在命令集中头两行给出。时间间隔将以向量t=[t0,tt]给出。 命令ode23可以求解(2,3)阶的常微分方程组，函数ode45使用(4,5)阶的龙格-库塔-芬尔格方法。注意，在这种情况下x’是x的微分不是x的转置。 在命令集中solver将被诸如ode45函数所取代。 命令集  龙格-库塔-芬尔格方法 [time,x]=solver(str,t,x0)      计算ODE或由字符串str给定的ODE的值，部分解已在向量time中给出。在向量time中给出部分解，包含的是时间值。还有部分解在矩阵x中给出，x的列向量是每个方程在这些值下的解。对于标量问题，方程的解将在向量x中给出。这些解在时间区间t(1)到t(2)上计算得到。其初始值是x0即x(t(1)).此方程组有str指定的M文件中函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出。这个函数需要两个参数：标量t和向量x,应该返回向量x’(即x的导数)。因为对标量ODE来说，x和x’都是标量。在M文件中输入odefile可得到更多信息。同时可以用命令numjac来计算Jacobi函数。 [t,x]=solver(str,t,x0,val)        此方程的求解过程同上，结构val包含用户给solver的命令。参见odeset和表1，可得到更多信息。 Ode45                      此方法被推荐为首选方法。 Ode23                      这是一个比ode45低阶的方法。 Ode113                    用于更高阶或大的标量计算。 Ode23t                      用于解决难度适中的问题。 Ode23s                    用于解决难度较大的微分方程组。对于系统中存在常量矩阵的情况也有用。 Ode15s                    与ode23相同，但要求的精度更高。 Ode23tb                    用于解决难度较大的问题，对于系统中存在常量矩阵的情况也有用。 Set=odeset(set1,vak1,set2,val2,…)  返回结构set,其中包含用于ODE求解方程的设置参数，            有关可用设置的信息参见表1。 Odeget(set,’set1’)               返回结构set中设置set1的值。 有许多设置对odeset控制的ODE解是有用的，参见表1。例如，如果要在求解过程中画出解的图形，可以输入：inst=odeset(‘outputfcn’,’odeplot’);.也可使用命令odedemo。 表1    ODE求解方程的设置参数 RelTol     给出求解方程允许的相对误差 AbsTol    给出求解方程允许的绝对误差 Refine      给出与输入点数相乘的因子 OutputFcn  这是一个带有输入函数名的字符串，该字符串将在求解函数执行的每步被调用：odephas2(画出2D的平面相位图)。Odephas3(画出3D的平面相位图)，odeplot(画出解的图形)，odeprint(显示中间结果) OutputSel  是一个整型向量。指出哪些元素应该被传递给函数，特别是传递给OutputFcn Stats      如果参数Stats为on,则将统计并显示出计算过程中资源消耗情况 Jacobian… 如果编写ODE文件代码以便F（t,y,jocobian）返回dF/dy,则将jacobian设置为on Jconstant…如果雅可比数df/dy是常量，则将此参数设置为on Jpattern… 如果编写ODE文件的编码以便函数F（[],[],jpattern）返回带有零的稀疏矩阵并输出非零元素dF/fy,则需将Jpattern设置为on Vectorized…如果编写ODE文件的编码以便函数F(t,[y1,y2……])返回[F(t,y1)  F(t,y2)…],则将此参数设置成on Events…    如果ODE文件中带有参数‘events’，则将此参数设置成on Mass…      如果编写ODE文件编码以实现函数F(t,[],‘mass’)返回M和M(t),应将此参数设置成on MassConstant…如果矩阵M(t)是常量，则将此参数设置成on MaxStep…    此参数是限定算法能使用的区间长度上限的标量 InitialStep…  给出初始步长的标量。如果给定的区间太大，算法就使用一个较小的步长 MaxOrder…  此参数只能被ode15s使用，它主要是指定ode15s的最高阶数,并且此参数应是从1到5的整数 BDF…        此参数只能被ode15s使用，如果倒推微分公式而不是使用通常所使用的微分公式，则要将它设置为on NormControl…如果算法根据norm(e)<=max(Reltol*norm(y),Abstol)来步积分过程中的错误，则要将它设置成on 下面举几个例子 例1 （a） （a）求解下面的ODE: 创建函数xprim1,将此函数保存在M文件xprim1.m中： function xprim=xprim1(t,x) xprim=-x.^2; 然后调用MATLAB的ODE算法求解方程。然后画出解的图形： [t,x]=ode45(‘xprim1’,[0,1],1); plot(t,x,’-‘,t,x,’o’); xlabel(‘time t0=0,tt=1’); ylabel(‘x values x(0)=1’); 得到图1，MATLAB计算出的点用圆圈标记。 图1  由函数xprim1定义的ODE解的图形 （b） （b）           解下面的ODE过程是等价的： 首先创建xprim2,将此函数保存在M文件xprim2.m中： function xprim=xprim2(t,x) xprim=x.^2; 然后调用MATLAB的ODE算法求解方程。然后画出解的图形： [t,x]=ode45(‘xprim2’,[0,0.95],1); plot(t,x,’o‘,t,x,’-’); xlabel(‘time t0=0,tt=0.95’); ylabel(‘x values x(0)=1’); 得到图2.  注意：在MATLAB中计算出的点在微分绝对值大的区域内更密集些。 图2  由函数xprim2定义的ODE解的图形 （c） （c）           求解 可使用与（b）中相同的函数，只要改一下初始数据即可： [t,x]=ode45(‘xprim2’,[0,1],-1); plot(t,x); xlabel(‘time t0=0,tt=1’); ylabel(‘x values x(0)=-1’); 给出图3 图3  给定新的初始数据，由函数xprim2定义的ODE解的图形 （d） （d）           求解下面方程组并不难： 这个方程组用在人口动力学中。可以认为是单一化的捕食者---被捕食者模式。例如，狐狸和兔子。 表示被捕食者， 表示捕食者。如果被捕食者有无限的食物，并且不会出现捕食者。于是有 ，这个式子是以指数形式增长的。大量的被捕食者将会使捕食者的数量增长；同样，越来越少的捕食者会使被捕食者的数量增长。而且，人口数量也会增长。 创建xprim3,将此函数保存在M文件xprim3.m中： function xprim=xprim3(t,x) xprim=[x(1)-0.1*x(1)*x(2)+0.01*t;… -x(2)+0.02*x(1)*x(2)+0.04*t]; 然后调用一个ODE算法和画出解的图形： [t,x]=ode45(‘xprim3’,[0,20],[30;20]); plot(t,x); xlabel(‘time t0=0,tt=20’); ylabel(‘x values x1(0)=30,x2(0)=20’); 给出图4 在MATLAB中，也可以根据 函数绘制出 图形，命令plot(x(:2),x(:1))可绘制出平面相位图，如图5。 图4  由函数xprim3定义的ODE解的图形 图5  由函数xprim3定义并根据函数x2计算出的x1值的曲线图 例3 对于某些a和b的值，下面的问题比较难解： 方程由下面的M文件stiff1.m定义: function stiff=stiff1(t,x) global a;    %变量不能放入参数表中 glabol b; stiff=[0,0];    %stiff必须是一个冒号变量 stiff(1)=a-(b+1)*x1+x(1)^2*x(2); stiff(2)=b*x(1)-x(1)^2*x(2); 下面的M文件给出一个比较困难的问题： global a;a=100; global b;b=1; tic; [t,X]=ode23(‘stiff1’，[0 10],[1 3]); toc size(t) 运行后得到的结果如下： elapsed_time= 72.1647 ans= 34009 使用专门解决复杂问题的解法ode23s,将得到较好的结果： elapsed_time= 1.0098 ans= 103 对于边界值问题，除了微分方程，还有边界处的值。在一维下这意味着至少有两个条件。现在举量哥如下的例子： 假设要研究一根杆的温度分布情况。这根杆一端的温度是T0,另一端的温度是T1;如图6所示。 令y(x)表示这根杆的温度，函数f(x)表示加热源。 从时间t=0开始，在相当长的时间内加热这根杆，直至达到平衡状态。这就是所谓的定常值或稳定状态。这个定常值可由下面的方程模型表示： 假设这根杆两端为：x=0和x=1。 假设在其两端又一根固定的柱子（或者可以看成是一个连接两个岛屿的桥），如图7所示。 令y(x)表示加载函数g(x)后弯曲的柱子。此问题需要有两个关于此柱子两端的边界条件。假设这根柱子非常牢固的固定在墙上，即y在墙上的导数是0。可以得到下面的ODE,其中介绍了自然协调系统： 由于存在边界值问题，不可能象解决初始值问题一样一次只执行一步地来解决问题。因此必须解一个同时给出所有未知参数的方程组。 假设又一个ODE,函数y(x)是它的解。用近似的差分来代替微分方程就能解这个ODE问题。为了能这样做，必须将区间分成有限数量的点：x0,x1,………..xM,其中xj+1=xj+,然后计算出区间内各点的近似值y()=y(),并给出确定的边界值，如y0和yM或更多的值；如图8所示。 解y(x)的导数可由有限的差分代替，如下： 如果用这些差分方程来代替ODE中的导数，就能得到一个所有未知的yi的方程组。其系数矩阵是一个有序区间，此区间的宽度决定于这个微分方程的导数个数。 例3 根据前面的温度模型的方程研究一下杆的温度分布，将所有的导数换成不同的差分并得到： 其中fj=f(xj)。为了简单起见，设M=6,即给定的y0和y6，而y1,y2,….y5 为未知变量。于是就有 注意，y0=T0和yM=T1必须移到方程组的右边。此时得到的矩阵是一个对角矩阵，其对角线上的元素为2，并且上一对角线和下一对角线上的元素为1。 下面解此问题的文件temperature.m。用户必须先给出分段数及f(x)(用点符号)，最后给出T0和T1。有关稀疏矩阵的更多信息参见其他资料。 %杆上的温度分布，用T0和T1分别表示两端温度 %这根杆放在x坐标的0和1 区间上，并被分成M个子区间，每个子区间的长度为1/M %创建稀疏矩阵方程Ax=b并求解 %矩阵A是对角阵，并以稀疏矩阵的形式存储 clear; M=input(‘Give the number of subintervals (M):’); Deltax=1/M; xx=0:deltax:1; funcStr= input(‘give f(x),the extra heat source(e.g.,x.^3):’,’s’); T0=input(‘Give y(0) (left): ’); T1=input(‘Give y(1) (right): ’); %构造 对角阵和方程右边b vectorOnes=ones(M-1,1); A=spdiags([-vectorOnes,2*vectorOnes,-vectorOnes],[-1 0 1],M-1,M-1); x=xx(2:end-1);  %x为区域内的值。 f=eval(funcStr);  %响应的f(x)的值。 b=deltax^2f; b(1)=b(1)+T0;  %对边界值x=0,x=1 进行特殊处理。 b(end)=b(end)+T1; b=b’; %解线性方程 y=A\b;  %y在区间内：j=1:M-1. y=[T0;y;T1];  %y在整个区间内：0<=x<=1. clf; %上面图形表示外部热源。 %下面图形表示杆上的热分布。 subplot(2,1,1); plot(x,f); grid on; title(‘External heat source f(x).’,’FontSize’,14); subplot(2,1,2); plot(xx,y,’r’); grid on; title(‘Tempearture distribution in a rod.’,’FontSize’,14); 将区间分成等份，根据方程f(x)=在图9中可以得到解。 图9 例4 如果把前面柱子问题中的导数替换掉，即用 近似值表示解，就可以得到： 将其重写为： 这是一个真正的线性方程组，其中用M-3个方程来解M-3个未知数：。如果M=10,则有： 解是一个5对角矩阵，运用运算符能很快且有效的解此方程！