高中概率与统计复习知识点与题型

概率与统计知识点与题型 3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念： （1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件； （2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件； （4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)= 为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值 ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥； （3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件； （4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质： 1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A    与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生 1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤； ①求出总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）= 3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念： （1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P（A）= ； （1） 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则 也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量， 是连续函数或单调函数，则 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为： ξ取每一个值 的概率 ，则 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. … … P … …             有性质① ；  ② . 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 即 可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是： [其中 ]  于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作 ～B（n·p），其中n，p为参数，并记 . ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“ ”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为 ，事A不发生记为 ，那么 .根据相互独立事件的概率乘法分式： 于是得到随机变量ξ的概率分布列. 1 2 3 … k … P q qp … …               我们称ξ服从几何分布，并记 ，其中 5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取 件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为 .〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定 ＜ 时 ，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为 . ⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把 个产品编号，则抽取n次共有 个可能结果，等可能： 含 个结果，故 ，即 ～ .[我们先为k个次品选定位置，共 种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， ，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 … … P … …             则称 为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 的数学期望： ①当 时， ，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 时， ，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当 时， ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ξ 0 1 P q p       ⑵单点分布： 其分布列为： . ⑶两点分布： ，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： 其分布列为 ～ .（P为发生 的概率） ⑸几何分布：   其分布列为 ～ .（P为发生 的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为 时，则称 为ξ的方差. 显然 ，故 为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 越小，稳定性越高，波动越小. 4.方差的性质. ⑴随机变量 的方差 .（a、b均为常数） ξ 0 1 P q p       ⑵单点分布： 其分布列为 ⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： ⑸几何分布：   5. 期望与方差的关系. ⑴如果 和 都存在，则 ⑵设ξ和 是互相独立的两个随机变量，则 ⑶期望与方差的转化：     ⑷ （因为 为一常数） . 三、正态分布. 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间 内的概率等于它与x轴.直线 与直线 所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数 叫做ξ的密度函数，由于“ ” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. 2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为： . （ 为常数，且 ），称ξ服从参数为 的正态分布，用 ～ 表示. 的表达式可简记为 ，它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差：若 ～ ，则ξ的期望与方差分别为： . ⑶正态曲线的性质. ①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线 对称. ③当 时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当 ＜ 时，曲线上升；当 ＞ 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. ⑤当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为 ，则称ξ服从标准正态分布. 即 ～ 有 ， 求出，而P（a＜ ≤b）的计算则是 . 注意：当标准正态分布的 的X取0时，有 当 的X取大于0的数时，有 .比如 则 必然小于0，如图.  ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若 ～ 则ξ的分布函数通 常用 表示，且有 . 习题 1．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是          （  ） A．                 B．                 C．                 D． 2．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概 率是          （） A．                 B.             C.             D. 3．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是 ,那么至少有1人解对的概率 是                                                            （） A.         B.     C.     D. 4．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率 是                                                                () A.           B.             C.             D. 5．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和 为偶数的概率是                                        （    ） A、     B、     C、       D、 6．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名