2.1 空间点.直线.平面之间的位置关系
2.1.1 平面
(1)平面概念的理解
直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分。
注：抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄。
(2)平面的表示法
①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面。
②字母表示：常用等希腊字母表示平面。
(3)平面的基本性质
公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
符号表示为：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A∈α，B∈α，C∈α
注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α，且B∈β?α∩β=l，且P∈l
公理的推论：
推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
(1) 空间两条直线的位置关系
共面直线：
1 相交直线：在同一个平面内，有且仅有一个公共点;
2 行直线：在同一个平面内，没有公共点;
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
(2)平行直线
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a∥c、b∥c?a∥b
定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等或互补。
(3)两条异面直线所成的角
注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°）。
②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出。
③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般
方法
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：
(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点。
(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现。
(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围。
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面位置关系有且只有三种：
(1)直线在平面内：有无数个公共点；
(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；
(3)直线与平面平行：没有公共。．
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
(1)两个平面平行：没有公共点；
(2)两个平面相交：有一条公共直线。
基础习题
1.空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，AC=BD，判断四边形EFGH是什么图形？
1.
分析
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：判断四边形EFGH是什么图形，只要找出EF与HG，EH与FG的关系，为了找出他们之间的关系，添加辅助线，作为中间量过渡。
解析:如图：连接BD，因为EH是
的中位线，所以
且
同理得
且
，所以
连接AC，
同理得
因为AC=BD
所以 四边形EFGH是菱形
点评：这是一类非常基础而常见的问题，考查的公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行，一般要证两直线平行，只需要找到一条直线使它与要证的两直线都平行即可。有时这条直线在图中比较难找，可添加辅助线。
2.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且
，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点。
2.分析：要证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该点在第三条直线上。
解析：因为E、H分别是边AB、AD的中点，所以EH是
的中位线，即
，
因为
，所以
，
所以四边形EFGH是梯形，它的两腰EF、GH必相交于一点，设交点为P
，所以
同理
，而平面
所以P在平面ABC与平面ADC的交线AC上
所以直线EF、GH、AC交于一点。
点评：在空间几何中，平面几何证多线共点的方法仍然适用，只是在思考中就考虑到空间几何的新特点。公理3是证明空间线共点的主要依据。对公理3不会应用，就想不到EF，GH延长相交。
3.正方体
中，E分别是
的中点，求直线AE与BD所成角的余弦值。
3.分析：要求异面直线所成的角，一般把异面直线平移到同一平面内，再用平面几何的公式来计算。
解析：作
的中点F，连接DF、BF，得
，所以
是直线AE与BD所成的角。
设正方体的边长为2,在
中，
，所以
是等腰三角形。
在等腰
中，作BD的中点G，连接FG，则
，所以
点评：由于异面直线所成的角是通过平面来定义的，所以求异面直线所成的角时，将一条或或两条平移到某一点转化为平面几何问题后，利用解三角形来求角。解决这类问题，通常经过“作（平行线）－证（平行）－算（解三角形）”三个步骤，其中，作平行线是关键。
4.如图，
是直三棱柱，
，点F是
的中点，若
，求
与
所成的角的余弦值。
4.分析：要求异面直线
与
所成角，就想办法把
，
移到同一个平面中，但在直三棱柱中，比较难把
，
移到同一个平面中，由
想到把直三棱柱，构造成一个正方体，再把
或
平移。
解析：如图，把直三棱柱，补成一个正方体
，作
的中点E，连接BE，易得
，所以
是直线
与
所成的角。
设
，在
中，
，
在等腰
中，作
的中点G，连接EG，则
，所以
点评：把异面直线平移到同一平面内，常用的方法有构造三角形中位线，平行四边形，平行线分线段成比例定理的推论等，有时比较难直接平移，我们就可以用构造长方体或正方体的方法。
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