数学学习中的学法指导

数学学习中的学法指导 【 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 综述】 本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍，第一就是要不断掌握有用的先进武器——数学公式、定理；第二，要加强对数学概念的学习理解，在一些利用概念分析，可能减少计算一的试题中，应尽量减少计长算量，提高解题效率；第三，提供了一个面对较难试题的思维策略：反客为主，欲擒故纵……第四，其它 【要点讲解】 §1. 武器精,巧解题 若能不断掌握一些有用的课外公式,无论是解高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 ,还是解数竞试题都是有用的，尤其是高考现今强调创新，出活题考能力；而高中数竞一试又往高考靠，并且数竞从来就是在出活题考能力（当然它要求的知识面更广，基础更坚深），二者关系极为密切，这一节，我们介绍两个课外的有用公式实理，供大家参考。 1．等差数列 中， ① 证明 例1.设等差数列 满足 且 Sn为其前n项之和，求Sn中最大者。 （1995高中全国数竞赛题） 分析：若等差数列 中，满足 则Sn最大。或当Sn=Sm时， 取最大值 解：　 由题设： 得 故由等差数列前n项和是二次函数，可见 是最大和 说明 本题若用常规解法，就需由题设 ，求得 再去解 求得n=20.计算量较大。 例2.等差数列 ， 的前n项和分别为Sn与Tn，若 （1995年全国高考试题） 分析 本题若按解答题做，推理、论证计算相当繁杂，但若利用公式①就非常简单 解 ∴ 例3.设等差数列的前n 项和为Sn,已知 , 求公差d的取值范围. 解: 即 又∵ 故 2．三面角余弦公式 在如图三面角O—ABC中。设面角∠AOB=Q, ∠AOC=Q1，∠BOC=Q2, 二面角A—OC—B 大小为 ，则有公式 ，② 称为三面角余弦公式或三射线定理。当 时，就是主几课本中复习题的公式。它的证明可在如图的基础上，作CA、CB分别垂直OC、于C、连AB，分别在△AOB、△AOC、△BOC得用三角函数可分别将AB、BC、AC用Q、Q1、Q2及OC的关系 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 出，最后再在△ABC中利用余弦定理求得公式② 本公式无论在高考试题还是竞赛试题,多有应用。 例4.已知二面角M—AB—N是直二面角，P是棱上一点，PX、PY分别在平面M、N内，且 。求 大小?(1964,北京赛题) 解:利用三面角余弦公式 得 ∴ 例5.已知四面体S—ABC中， ， ，设以SC为棱的二面角为 ，求 与 、β关系。 解：由三面角余弦公式及题设，得 ， ，故有 解之，得 例6.已知正四棱锥P—ABCD的侧面与底面夹角为L，相邻两侧面的夹角为β,求证： （1981 上海竞赛题） 证：设PO是棱锥的高，O是底面ABCD的对角线交点 作OE⊥AD， 则PE⊥AD， 从而∠PEO是侧面与底面所成角 ； 作BF⊥PC，连DF，易证∠DFB即两侧面间所成二面角的平面角β. 设侧棱长为a，底面边长为b。则侧高为 ，则由三面角余弦公式有 = = = 又由三面角P—BCD知 ∴ 例7.如图正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成 面角，则异面直线AD 与BF所成角的余弦是_____________。（1996年全国高考试题） 解 ∵AD，BF所成角，即BC与BF所成角，由三面角余弦公式，有 说明：由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中，显然课外的公式，担供了极其简捷的解法，若不用这二公式，尽管问题也能解决，但要繁杂得多 这里我们才给了两个课外的有用公式，在本教程的其它章节，更介绍了许多有用的方法和公式定理，也希望同学们在今后的解题实践中，不断总结，发现更多更好的解题方法，策略和武器，为不好数学，争取得更大成绩而努力， §2 大概念 小计算 要学好数学，一定要重视概念的学习 例8.已知集合 的值。（1987．全国赛题改编） 分析：根据集合元素的互异性，由N知X，Y皆不为0，又由M=N，故知 可见 ，从而xy=1，进而x、y可求 解：由题设知x、y≠且xy=1，∵ 且M=N，∴ 解方程组 得x=y=-1，舍去x=y=1(∵与元素互异矛盾) 代入原式=-2+2-2+…-2= -2. 说明：这时重在概念分析，计算量较小。 也可发先就x、y是否为1讨论后得出原式=4002 或 ；进而去求x、y的值，舍去4002-解，得出-2的正确结论。 例9.过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，求 的值 （2000年全国高考） 分析：本题若按解答题作，需对一般情况进行计算，比较繁杂，而若概念清楚，再结合抛物线道径长，可见令p=q即可迅速求解。 解 令p=q，则 由抛物线 ，可见 ，根据通径长为 ，应选C。 例10 如图, OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分。求母线与轴的夹角的余弦值 分析 若能洞察旋转体体积求法真谛，本题从题设可转化为以PO原圆锥体积之半，于是可轻松地得出方程 解 设原圆锥母线长为1，则底半径经 ，（ 为圆锥顶角之半），高 ， ，设AD⊥PO于D，则 于是 由 　 ，得 解得 ， 应选C 说明：在这一节中，我们主要介绍了解题中减少计算量的一种方法，希望同学们加强概念理解，尽量通过多思，找到巧解妙算解决问题的办法。在今后的章节中，我们还会介绍更多的不同于课内知识的数学概念和方法，希望大家能够认真学习，掌握各类问题的解法。 §3 反客为主，欲擒故纵 数学习题的解决，往往都不是一帆风顺而是充满艰险的。 例11.若 试求 的值 分析 欲求有关 的下弦，要先去求有关β的函数关系β( ),然后再消去β从而得出 的欲求值,这种策略,不妨称之为“反客为主，欲擒故纵，”在很我场合这种策略行之有效。 解 由①得 由②得 . 于是 化简得 ∴ (已舍绝对值>1的另根) 例12.已知 求证： 分析 题设中有 的三角函数，并有参数a、b、c。但题断中不含 的三角函数，可见应设法消去 ，为此应先求出 关于a、b、c的关系，再设法消去 。 证：由已知易得 由①可见 代入②，再化简即得 说明：这一节，我们介绍了一种遇到疑难问题时，可能采用的解决问题的思想方法，也即是战争中的正面强改不下时，就考虑迂回进攻的战略战术，在数学竞赛试题的解决中，应时刻准备应予这种情况的出现。 例13.当x=-1, x=0, x=1, x=2时，多项式 取整数值，求证：对于所有整数X，这个多项式都取整数值。（1988 俄） 证：注意到 （★） 由题设知 d=p(0), a+b+c+d=p(1), 都是整数，故a+b+c也是整数。又 p(-1)=2b-(a+b+c)+d 是整数，故2b也是整数，而 p(2)=6a+2b+2(a+b+c)+d 是整数，可见6a也是整数。又易证 是整数，从而由（★）可证各P(x)是整数。 说明 为证P（x）是整数，就需证明a、b、c、d是整数系数，这里借助于构造★式,转证6a、2b，a+b+c，d为整数，从而证出p（x）是整数，这也是迂回证法，竞赛数字中采用的方法很多，希望大家认真,能认真坚持学习。 【同步达纲练习】 1．①试通过已知锥体,台体公式，概括出一般的拟柱体公式 其中 分别表示上、下底面积， 表示中截面积。 ②用上述公式求解 若三棱柱ABC— 中，若E、F分别为AB，AC中点，平面E F将三棱柱分成体积为 ， 的两部分,则 ： =________.（1990年全国高考题） ★★2.设|m|≤2，试求关于x的不等式 恒成立的x取值范围 ★★3.关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围. 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 【同步达纲练习】 1．①注意利用 ； ②特殊化原三棱柱为边长为2的正三棱柱，易求得 ，代入拟柱体公式，得 2．构造函数 ，求系数x范围。 (Ⅰ)当|x|>1时, (Ⅱ)当|x|<1时, (Ⅲ)|x|=1 时, X=1 综上， ，原命题成立。 3．解关于a的方程，得 (Ⅰ)当 (Ⅱ) 时, 当 (Ⅲ)又由 可见 时 故 继续阅读