形如
的二元二次多项式的因式分解
分解形如
的多项式，常用的方法有：求根法、待定系数法、双十字相乘法和双零分解法。当然结合多项式的特点可以采用灵活的方法，如若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。现举例说明：
方法一、求根法
利用求根法因式分解，形如
的二元二次多项式可看成关于
（或
）的一元二次多项式。用求根公式求出两根
，则原式＝
。在实数范围内，原多项式分解成两个一次因式，必须是关于
的方程的判别式是
的一次式的完全平方式，为此这个判别式的判别式必须是0。
例1、
为何值时，
能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。
分析：把上面的多项式看成
的一元二次式，令这个一元二次式为0，解出
的两个值
，则原式＝6
，这里只须研究
何值时，
是
的一次式即可。
解：设
＝0，把此式看成关于
的一元二次方程，则该方程的判别式：
，
要使方程的解为
的一次式，
必须为完全平方式，那么判别式的判别式
必须是零。
＝
，∴
（1）、当
时，由
解得
则原式＝
＝
（2）、当
时，由
解得
则原式＝
练习： 把
分解因式 答案：原式＝
方法二：待定系数法
用待定系数法因式分解的一般步骤：
1、 根据多项式的特点，确定所能分解成的形式。要尽量减少待定系数的个数，以利求解。
2、 利用多项式恒等定理，列出以待定系数为未知数的方程或方程组。
3、 解方程组，如方程或方程组有解，则原式可以分解为所设的形式；如果无解，则原方程组不能分解为所设的形式。
如果方程组有解，把解得的待定系数的数值代入所设的分解式中。
例2、
为何值时，多项式
可分解为两个一次因式的积。
分析：先设可分解成两个一次式，原式中的
是
的项未知系数。为使待定系数尽量少，可先考虑
，所以可设：原式＝
，也可以先考虑
，所以可设：原式＝
，这里只解前者。
解：设
＝
∵
＝
∴
＝
由两边对应项系数相等得：
，解此方程组得
或
∴当
时，原式可分解为
＝
；
当
时，原式可分解为
＝
练习：
为何值时，
能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。
答案：解得
∴原式可分解为
＝
说明：上面方法是常用的两种方法，特别是求待定系数很有效；不含待定系数的也可用双十字相乘法。
方法三、双十字相乘法
双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。
其理论依据：若
可分解为
，则当
时，
＝
例3、把
分解因式。
解：可先用十字相乘法，把
分解，
，然后再用十字相乘法
，于是原式＝
。
练习：分解因式
答案：原式＝
方法四、双零分解法
理论依据：若
可分解为
，则当
时有
；当
时有
。因此在分解上述二元二 次多项式时，可令
得关于
的二次三项式
分解为
；再令
得关于
的二次三项式
并分解为
；注意这里两分解式中的常数项应相同，如果不同就要变形使其相同。这时有
＝
。
例4、分解因式
解：令
有
＝
；
令
有
＝
所以有
＝
练习： 分解因式
答案：原式
方法五：分析二次项、常数项法
若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。
例5、若多项式
有一个因式
，则另一个因式为＿＿。
解：由于多项式
有一个因式
，且原式二次项中含有
和
，所以另一个因式中必有一次项
；同时原式常数项中有－3，所以另一个因式中应有常数项－1。综上所述：原多项式的另一个因式为
练习：多项式
有一个因式
，求它的另一个因式
答案：
＝
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