一阶线性非齐次微分方程
一、线性方程
方程
1
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果
,则方程称为齐次的;
如果
不恒等于零,则方程称为非齐次的。
a) 首先,我们讨论1式所对应的齐次方程
2
的通解问题。
分离变量得
两边积分得
或
其次,我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数
换成的未知函数
,即作变换
两边乘以得
两边求导得
代入方程1得
,
于是得到非齐次线性方程1的通解
将它写成两项之和
不难发现:
第一项是对应的齐次线性方程2的通解;
第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程
的通解。
解:
由此例的求解可知,若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需套用公式。
二、贝努利方程
方程
叫做贝努利方程。
当
时,它是一阶线性非齐次微分方程
当
时,它是一阶线性齐次微分方程
当
时,它是一阶非线性的微分方程,通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。
具体解法如下:
令
,方程化为关于
的一阶线性非齐次微分方程
【例2】求贝努利
的通解。
解 :
,
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